浅谈数学归纳法的逻辑基础

数学归纳法的逻辑基础目前有三种看法,一部分学者认为数学归纳法的逻辑基础是归纳法,一部分学者认为是演绎法,还有一部分学者认为归纳法和演绎法二者结合是数学归纳法的逻辑基础。对于此可以从数学归纳法的由来和美中逻辑基础的代表思想及其发展过程进行探讨。     

中国人眼中的欧几里得《几何原本》

《几何原本》由意大利传教士利玛窦在16世纪末传入中国，全书共15卷。科码窦与徐光启合作将《原本》前6卷译成中文。1856年，李善兰与英国人传烈亚力合作，将全书15卷译成中文。西方数学传入中国伴随着尖锐的斗争。数学不仅仅是一种技术意义下的“工具”，而是与我国固有文化极不相同的一种文化。     

关于数学归纳法

为什么说数学归纳法是严格的科学的证明方法?数学归纳法的原理是什么?数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式?这些问题是笔者参与编写上海市高一数学新教材时常常思考的，希望本文能澄清数学归纳法教学中的一些模糊认识．     

数学家小故事阿基米德

古时候，人们从生活实践中积累了丰富的几何知识。公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得对它们进行了系统整理，写成一部数学巨著《几何原本》，也叫《原本》。书中先给出少数定义、数学事实和原理，然后以它们为依据，严格推演出数百个结论，成为后世数学科学研究的典范。     

关孝和的球体积计算

球体积的计算是一个十分古老的课题,公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》第12卷里提出如下命题:“球体积(V)与它的直径(D)的立方成正比。”此即     

欧几里得与几何《原本》

欧几里得是希腊论证几何学的集大成者之一。关于他的生平我们所知甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典。公元前300年左右应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。据传，托勒密王曾问欧几里得有无学习几何的捷径，欧几里得回答说：“几何学无王者之道。”另一则轶事说，有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问：“学了这些我能获得什么呢？”欧几里得叫来一个仆人吩咐说：“给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么。”欧几里得写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作。     

柏拉图立体

人类祖先早在采集和狩猎的过程中逐渐从自然界认识了“形”的概念:一棵参天大树、一轮皎洁明月、一道绚丽彩虹……出土的新石器时代的陶器上的几何图案充分说明了几何知识的萌芽早于书写文字的发明。随着农业的产生和发展,土地丈量等实践     

浅析使用数学归纳法中的逻辑错误

数学归纳法是根据数学归纳原理，综合运用归纳、演绎推理，而以演绎推理为主的一种特殊的数学证明方法。采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时的两个步骤，第一步的验证是证明时递推的基础，第二步的递推是证明中递推的根据，两个步骤联系在一起，才能断定所证命题成立。不理解数学归纳法的实质和两个步骤各起的作用，死套步骤解题，就会犯错误。     

关于均值不等式的历史注记

对于今天的数学学习者来说，阅读古代数学文献似乎已经没有什么意义．学习平面几何，不必拿欧几里得（Euclid，前3世纪）《几何原本》当课本；学球体积，不必去弄懂阿基米德（Archimedes，前287～212）《论球与圆柱》中冗长的数十个命题；学习微积分，不必去啃牛顿（I．Newton，1643～1727）高深的《自然哲学之数学原理》；     

关于数学归纳法教学

高中的数学归纳法是一个教学难点，特别是学生对于原理的理解，从教学过程来看；国内关于数学归纳法的教学已有一种统一，甚至包括所举的典例，这里我们对这两种思路加以比较，以期对大家有所启发。     

数学归纳法的"变着"

著名苏联数学家柯尔莫戈洛夫院士说过:"善于进行严密的逻辑推理,对一个数学家来说,十分重要的逻辑成熟的标志,是理解数学归纳法的原理和正确运用这个原理的技能."     

明末清初阿基米德数学的传入

阿基米德是人类历史上最伟大的数学家之一．其研究的数学独树一帜，不仅内容新颖，而且方法也很独特．他的很多工作都蕴含了现代微积分的思想．由此，在西方中世纪后期，其著作被重新发现之后，学习和研究阿基米德的数学曾成为一时之潮流．这样，当明末清初西方传教士一特别是一些受过高等数学教育的传教士来到中国传播西方科学的时候，阿基米德数学也被传了进来．     

关于数学归纳法在几何分类问题上的应用

素质教育不仅要求教育者教育、教学思想观念更新,更需要教学手段和方法的换代.当今的数学教学逐渐向知识的实践性、方法的灵活性、思维的广延性发展.因此在现在的数学教学中需要渗透适量、适度的开放性问题来激活学生的思维,开阔他们的视野尤显重要.     

数学归纳法的逻辑原理及其在模型论中的应用

本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理以及表现形式.模型论是一门理论性很强的学科,模型论中的很多命题和定理的证明很繁琐、复杂,而数学归纳法为这些证明提供了一个合理、思路清晰并且利于理解的证明过程.     

关于数学归纳法的几个问题

数学归纳法是中学数学教学内容中的重点与难点之一.重点是因为数学归纳法使用面比较广;难点则是因为它是学生第一次接触从有限到无限的认识方式,也初步认识自然数的"后继"特征,同时涉及到的知识和技巧较多.本文讨论了数学归纳法与归纳法的关系、数学归纳法的理论依据、基本形式和教学中较多出现的现象等.     

数学归纳法的逻辑原理及其在图论中的应用

本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理、图论证明中运用数学归纳法的类型问题,使读者对数学归纳法及数学归纳法在图论中的应用问题有一个全面的认识.     

关于数学归纳法变化类型的两个注记

讨论了用数学归纳法原理对类型为P(A,B)和P(A,B,C)的命题作出证明时,应当具有的基本形式。     

经验归纳法与数学归纳法的应用浅析

经验归纳法和数学归纳法是数学发现与证明的2个重要方法,正确应用这2种归纳法,在数学教学和与自然数有关的证明中有着重要的意义.