函数奇偶性的应用浅析

<正>函数的奇偶性是函数的四大性质之一,对于定义在D上的函数f(x),若对任意的x∈D,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数;若对任意的x∈D,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。函数性质在解题中有着广泛的应用,下面就对函数奇偶性在解题中的应用进行浅析。1.利用奇、偶函数的定义求函数值例1(2014年高考湖南理3)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和     

例析函数的奇偶性

函数奇偶性是函数的一项重要性质.高考中,常与函数其他性质结合出题.多角度、深层次、全面分析、研究函数奇偶性概念,形成合理的知识链条,有助于解决与此相关的函数综合题.一、定义及剖析设函数y=f(x),对任意x∈D,-x∈D,若有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数,若有f(-x)=-f(x),则f(x     

巧用奇偶函数定义的变形讨论函数奇偶性

数学教科书上定义了奇函数和偶函数:对定义域内任意 x,若都有 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数:若都有 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数.并据此定义来判断函数的奇偶性,一般来说,凭此能判断得了.可是,有部分函数直接利用上述定义去判断奇偶性,却判断不了,甚至会得出错误的结论.但是对上述定义进行如下     

论函数的奇偶性问题

一、函数的奇偶性的定义设函数的定义域为数集D,如果对于任意的x∈D都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么f(x)叫做偶函数;若对任意x∈D都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数.如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们就说函数f(x)具有奇偶性,不具备奇偶性函数叫做非奇非偶的函数.     

函数奇偶性的多种理解

深入分析函数奇偶性的定义特点,可以得到以下多个方面的理解.分述如下: 1.从定义理解 设y=f(x),x∈A,如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.     

巧用转化与化归思想避免分类讨论

<正>在广东省惠州市第一中学的一次期末考试中有一道这样的试题:例设函数f(x)=x²-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x2-|x-a|,x∈R,a∈R。(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)已知a≥0,若对任意x∈R都有f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围。命题人给出的答案是这样的:解法1:(1)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),f(x)=x²-|x-a|,f(-x)=(-x)2-|x-a|,f(-x)=(-x)²-|-x-a|=x2-|-x-a|=x²-|x+     

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性是函数的重要性质,它既有"式"的形式:f(-x)与f(x)的关系;又有"形"的形式:图象的对称性.本文将从三类函数入手分析如何判断函数奇偶性.一、一般函数奇偶性的判断一般函数奇偶性的判断适合用定义法,用定义判定函数奇偶性要从三"看"入手,即:一"看"定义域是否关于原点对称;二"看"函数解析式在定义域内的等价变形;三"看"f(-x)与f(x)的关系,其中f(-x)=-f(x)(?)f(x)+f(-x)=0(?)f(-x)/f(x)=-1,即f(x)满     

奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为:设y=f(x)(x∈A),如果对于任意x∈A,都有f(-x)=f(x),则称函数y=f(x)为偶函数;如果对于任意x∈A,都有f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为奇函数.     

运用函数性质求函数的解析式

函数的解析式也叫表达式,是函数的三要素之一.在代数中求函数的解析式,尤其是运用函数的奇偶性、对称性、周期性求函数解析式是一类重要问题,仅举几例,供大家参考.一、利用函数性质求分段函数解析式例1已知的f(x)定义域为R,且对一切x∈R满足f(2 x)=f(2-x),f(7 x)=f(7-x)(1)若f(     

三角函数中的参数求值或求范围问题

三角函数中的参数求值或求范围问题实际上是一般函数中此类问题的具体化,仍然包括等式恒成立、不等式恒成立以及函数最值三大类型,下面举例加以单述.1等式恒成立型这一类型包括奇偶性概念、周期性概念、存在性问题三种,解决方法有一般定义法或先用特值求解再进行证明两个思路.例1若f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,求θ的值.若是偶函数呢?解法1(定义法)因为f(x)=3sin(2x+θ)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即3sin(-2x+θ)=-3sin(2x+θ)对x∈R恒成立,即sin(-2x+θ)=sin(-2x-θ)对x∈R恒成立,所以-θ+2kπ=θ,即θ=kπ(k∈Z)为所求.解法2(…     

函数奇偶性与周期性的一种关系

函数的奇偶性与周期性有如下一种关系:定理1设函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,且f(a-x)=f(a x)(a≠0),则函数y=f(x)必是周期函数,且2a是它的一个周期.证明:由f(x)是偶函数知,对任意x∈R,有f(-x)=f(x).又因为     

判断函数奇偶性的七类陷阱题

一、忽视复合函数中变量的范围致错例1已知函数f(x2-1)=lg(xx2-22),试判断f(x)的奇偶性.错解令t=x2-1,则x2=t+1.∴f(t)=lgtt-+11,即f(x)=lgxx-+11.∵f(-x)=lg--xx+-11=-lgxx-+11=-f(x),∴f(x)为奇函数.解析函数奇偶性是建立在定义域关于原点对称的前提条件下的,因此应首先求出原函数的定义域.若定义域不关于原点对称,则原函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称,则再用奇偶性的定义判断.此题由xx2-22>0,即x2>2,∴t=x2-1>1,故得函数f(x)的定义域为｛x｜x>1｝,关于原点不对称,所以f(x)为非奇非偶函数.二、忽视函数的定义域致错例2判断函数y=…     

谈函数奇偶性

一、深入领会教材中函数奇偶性定义的完整性,定义有两层意思1) 定义域是对称区间 2) 恒有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)这两层意思忽略其一都可能产生错误。 二、关于f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)能否成立的判断。 介绍了除教材上讲的函数有奇函数、偶函数、奇偶皆非之外,还有一类函数奇偶皆是的条件。 三、判定函数奇偶性的方法和步骤 1)定义域不是对称区间情况。 2)定义域是关于原点对称区间情况 3)据几个函数和、差、积、商的奇偶性的判定; 4)复合函数奇偶性的判别。     

函数的性质

本讲介绍函数的奇偶性,单调性,周期性,有界性,凹凸性及其在数学竞赛中的应用. (一)奇偶性1.若定义在I上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;其图象关于原点对称,若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;其图象关于y轴对称.     

判断函数奇偶性常见错误例析

在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时,有以下几种常见错误。1．概念不清例1．判断函数f(x)=3x~2,x∈(-2,2)的奇偶性。错解:∵f(-x)=3(-x)~2=3x~2=f(x),∴题给函数是偶函数。剖析:由奇(偶)函数的定义,“对于函数定     

解恒成立问题的几种主要方法

解函数综合题时,经常能遇到含参数不等式恒成立问题,处理这样的问题对解题能力的要求比较高,本文介绍几种处理恒成立问题的几种主要方法.一、特殊值法若函数f(x)>0(或f(x)<0)对x∈A恒成立,则对特定的x0∈A,有f(x0)>0(或f(x0)<0)【例1】已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的m,n∈R,恒有f(m n)=f(m) f(n),当x>0时f(x)<0恒成立,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性和单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的值域.解:(1)在f(m n)=f(m) f(n)中,令n=-m得f(0)=f(m) f(-m),在此式中令m=0得:f(0)=f(0) f(0)则f(0)=0∴f(m) f(-m)=0即f(-m)=-f(m),对一切m∈R恒成立.…     

判断函数奇偶性的常见方法

根据奇偶函数的定义,对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立。所以,f(-x)必须有意义,即-x也必须属于函数定义域。由于x与-x关于原点对称,因而函数的定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的前提条件。所以在判断函数奇偶性时,必须先看其定义域是否关于原点对称。如果一个函数的定义域关于原点不对称,则该函数为非奇非偶函数。如果一个函数的定义域关于原点对称,判断其奇偶性常见方法有以下三种:     

例说函数奇偶性的几种判断方法

在函数奇偶性概念的学习中,应多方面、多角度地思考概念的内涵,要掌握函数奇偶性定义的等价形式,注重寻求简捷的解题方法．函数奇偶性的定义是:如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) (或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)．函数奇偶性的定义反映在定义域上:若f(x)是奇函数或偶函数,则对于定义域D     

奇偶函数图象对称性的推广及应用

<正>我们知道,奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称.用数学符号语言可以描述为:若函数f(x)对于定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))成立,则称函数f(x)为奇函数(或偶函数).这一定义从数的方面描述了奇(偶)函数图形的特征,有助于数形结合解决问题.一、函数奇偶性与图象对称性的推广利用函数图象变换的有关规律,结合函数奇偶性的定义与性质,我们不难得到函数图象对称性的如下两个结论.     

单调函数一个性质的应用(高一、高二、高三)

由函数单调性的定义可知:若函数y=f(x)在区间I上单调,且x1、x2∈I,则f(x1)=f(x2)-x1=x2.根据问题的特点,构造恰当的函数,利用以上性质可以解一类求值题.