IMO中的组合几何问题(上)

组合几何是一个古老而又新鲜的分支,它熔欧氏几何内容和组合数学的思想、方法于一炉,为数学竞赛命题者所青睐,几乎每届IMO都少不了它。本期刊出文章的第一部分,以IMO试题为例,就计数原则和结构——构造两个专题进行剖析,相信会受到关心这一问题的读者欢迎。     

IMO中的几何问题(下)

本文专题研究IMO中与圆有关的问题.     

IMO中的几何问题

本文以IMO的若干赛题为例,采用几何变换(旋转、对称、平移、相似等)的观点处理,简捷明快,解题过程抓住主要线索,理清解题思路,而不沉溺于细节的描划.     

IMO中的数论问题(下)

本文以lMO赛题为例,灵活运用数论基础知识,论述了如何处理竞赛中经常出现的不定方程问题。本文连同上期所载上半部一起,将使读者对lMO中的数论问题有一个较为完整清晰的了解。     

IMO中的不等式问题(上)

本文以第1至第27届 IMO 为背景,剖析了不等式这个热门题目,侧重阐明不等式证明的方法和技巧,有的还作了引申,把读者思维引向更高的层次。     

IMO中的数论问题(上)

作者余红兵、单壿·初等数论问题,是IMO及其他竞赛中的热门话题。本文结合IMO赛题,介绍了数论中的有关知识,如带余除法,最大公约数,素数及其特性,唯一分解定理,同余等,剖解了12个例题,对于有兴趣的读者,无疑是一份宝贵的资料。     

IMO中的不等式向题(下)

三几何不等式在各种竞赛中常遇到。证明这类不等式,除了几何方法外,还常用三角方法及代数方法。特别是关于三角形的不等式     

几何中的组合优化问题

所谓组合最优化,就是选定一个离散的目标函数,确定在怎样的安排下,使目标函数的值达到最优。它属于应用数学的范畴,是离散数学的一个分支。研究的对象是有限(或可数无限)个元素(或物体)的满足各种条件的最佳配置或安排。在计算机科学迅速发展、广泛应用的今天,对组合优化提出了越来越高的要求,同时也极大地促进了这方面的研究,这是一个年轻而有为的学科。把组合优化的思想、方法用到欧氏几何中,就是选择一个几何量,以达到     

IMO中的代数不等式问题研究(Ⅰ)

分析研究了国际数学奥林匹克竞赛中的代数不等式问题,认为:它已成为发展中的奥林匹克数学的重要组成部分.这类问题的解决,体现了人的数学探索能力、创造性思维能力、灵活分析问题与解决问题的能力,实质是融数学机智、数学精神、数学文化、数学气质、数学修养于一体的人的全面发展.     

组合几何问题

内容概述 1.几何计数问题所需知识不多,但机智灵活,千姿百态,最具有竞赛的特点. 2.染色问题本质是分类.对于一个无穷集合,若把它的所有元素分为有限的若干类,至少有一类含有无穷多个元素,这实际上是抽屉原理在无穷集上的推广.可应用这一原理来解决有关存在性问题. 3.覆盖的定义: 设G和F是两个平面图形.如果图形F,或由图形F经过有限次的平移、旋转、对称等变换后得到的大小形状不变的图形F1的每一点都在图形G上,我们就说     

几何计数问题(下)

(本讲适合初中 )例 4　如图 8,锐角△ABC的 3条高线相图 8交于H .问图 8中共有多少个三角形 ?解法 1 :直接在图上数 (容易产生重复与遗漏 ) .解法 2 :分类计算 (逐步拼组法 ,在例 2中见过 ) .( 1 )△ABC被 3条高线剖分为 6个互不重叠的小三角形 ,称为素三角形 .( 2 )由 2个相邻的素三角形组成的三角形有 3个 :△AHB、△BHC、△CHA .( 3)由 3个相邻的素三角形组成的三角形有 6个 :对△AHB而言 ,可以添上△HBD ,也可以添上△HAE组成三角形 ,分别得△ABD、△ABE ;同理有△BCE、△BCF、△CAD、△CAF .( 4 ) 4个相邻的素三角形…     

第47届IMO预选题(下)

1．有n（n≥2）盏灯L1,L2，…，Ln它们要么开着，要么关着．我们每秒钟按照下列方法同时改变某些灯的开关状态：若前一秒钟Li（i=1，2，…，n）和与其相邻的灯（当i=1或i=n时，仅有一盏灯与其相邻，其他情况有两盏灯与其相邻）处在相同的开关状态，则将Li关上；否则，将Li开着．开始时，只有最左边的一盏灯是开着的．证明：     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

第39届IMO试题解答(下)

16.求最小的整数n(n≥4),满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d可以被20整除。 解:我们先考虑模20的不同剩余类,对有k个元素的集合,共有(1/2)k(k-1)个整数对,如果(1/2)k(k-1)>20,即k≥7,则存在两对(a,b)和(c,d),使aa b=c d(mod20),且a、b、c、d互不相同. 一般地,我们考虑一个由9个不同元素构成的集合,假设在这个集合中有7个或更多的元素属于模20的不同剩余类,则由前面的推导可知,能找出四个不同的数a、b、c、d,使a b-c-d被20整除,假设在这个集合中至多有属于模20的六个不同的剩余类,则一定存在4个数,对模20是同余的,或有两对数分别对模20是同余的,对这两种情况,我们仍能找出a、b、c、d,使a b-c-d被20整除.     

第46届IMO预选题(下)

组合部分 1．一幢房子有偶数盏灯分布在若干个房间内，每个房间内至少有3盏灯．每盏灯恰和另外一盏灯共用一个开关（不一定是同一个房间中的灯）．每改变一次开关的状态，共用这个开关的两盏灯同时改变它们的开关状态．证明：对于一个初始状态，都存在有限次操作，使得每个房间中的灯既有开着的，又有关着的．     

初二(下)几何试题

一、填空（每小题３分，共３９分） １．等腰梯形的周长为３０ｃｍ，腰长为７ｃｍ，则中位线长＝＿ｃｍ。 ２．如图（１），ｌ１／／ｌ２／／ｌ３，ＡＤ＝２ｃｍ，ＢＥ＝３ｃｍ，＝，则ＣＦ＝ ３．在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是＿。 ４．若 ３ｘ－ ４ｙ＝０，则 ｙ： ｘ＝，（ｘ—ｙ）：（ ｙ＋ ｘ）＝。 ５．已知ａ：ｂ：ｃ＝３：４：５，ａ＋ｂ－ｃ＝４，则ａ＝＿，４ａ＋２ｂ－３ｃ＝＿。 ６．若两个相似多边形的面积之比为４：２５，则它们周长之比为＿。 ７．如图（２），ＡＢＣ…     

几何不等式初步 (下)

3 与面积有关的不等式问题 例8在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上．求证：     

力学问题中的几何(高一、高三)

例1 如图1,质量为m的滑块可在倾角为α的斜面上以α=1/2gsinα加速下滑,若用一水平力F作用于滑块,使它静止在斜面上.求推力F的范围(设滑块与斜面间的静摩擦因数与动摩擦因数相同). 解 (1)由α=1/2gsinα可求出摩擦因数μ=1/2tanα,用正交分解法可求出F力的范围:     

一个组合几何问题初探

若点集Ｍ中每两点之间的距离只能取ｎ种不同的数值，则称Ｍ为ｎ－阶点集。直线上、平面上、空间中含点的数目最多的ｎ－阶点集分别记为Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ，其中所含点的数目记为ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ。本文对Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ的结构及ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ的估计进行讨论，得到了一些有趣的结果。     

一个组合几何问题初探

若点集Ｍ中每两点之间的距离只能取ｎ种不同的数值，则称Ｍ为ｎ－阶点集。直线上、平面上、空间中含点的数目最多的ｎ－阶点集分别记为Ｌｎ、Ｒｎ、Ｓｎ，其中所含点的数目记ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ．本文对Ｌｎ、Ｐｎ、Ｓｎ的结构及ｌｎ、ｐｎ、ｓｎ的估计进行讨论，得到了一些有趣的结果．