n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，这一结论有着不可低估的作用．下面以各地数学竞赛试题为例来说明．     

“n^2与（n＋1）2之间没有自然数的完全平方数”的巧应用

任意自然数n，n^2与（n＋1）^2之间没有自然数的完全平方数，这是一个非常明显的数学事实．这一结论在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时，有着不可低估的作用．下面以数学竞赛试题为例来说明．     

完全平方数

完全平方数是数论中较为常见的一类问题,经常出现在各种数学竞赛中．在解决与完全平方数有关的问题时,需要用到完全平方数的性质及整数的有关知识,比如：     

n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数 n,n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数,这是一个非常明显的数学事实.在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时,这一结论有着不可低估的作用.下面以各地数学竞赛试题为例来说明.例1 对于任意自然数 n,试说明,数 n~4 2n~3 2n~2 2n 1不可能是完全平方数.     

解答与“完全平方数”有关的竞赛试题的一般方法

在数学竞赛试卷中,频繁出现这样的一类问题：求自然数凡,使得关于凡的一个二次多项式n2＋an＋b的值是完全平方数（其中a,b为常数）。在此,笔者给出解答这类问题的一般方法,即设参数、配方,对多项式进行因式分解,同时将常数分解成整数乘积的形式,然后构造方程组,进而求出满足题设条件的自然数和所设参数的值．举例介绍如下：     

完全平方数的简单性质及应用

1 性质(1)任何一个完全平方数的个位数只能是:0,1,4,5,6,9.(2)个位数是2,3,7,8的数一定不是完全平方数.(3)相邻两个完全平方数之间的数一定不是完全平方数.(4)个位数字和十位数字都是奇数的数一     

n∑i=1i,n∑i=1（2i-1）^3何时为完全平方数

n∑i=1 i,n∑i=1(2i-1)3何时为完全平方数?欲彻底解决这个有趣的问题,需要Pell方程的有关结论.     

二次域■(p～(1/2))中的完全平方数

运用Pell方程的知识,借助于不定方程的解题方法,对二次域■(p～(1/2)的基本单位的范进行研究.给出了Pell方程的解,并证明了对于任意素数p,存在无穷多个形如py2±1的完全平方数,进一步说明了对于任意无平方因子数d,存在着无穷多个形如dy2+1的完全平方数.     

初中数学竞赛基础知识专题系列讲座 第三节 完全平方数

为配合一线师生课外竞赛辅导学习,我刊特以初中数学竞赛大纲为依据,策划、组编了“初中数学竞赛基础知识专题系列讲座”,自2011年第7期起,每期刊登两个专题,每个专题内容包括“内容精讲”“典例简析”“针对训练”三部分,敬请读者关注．有意参与撰稿的老师可以电询编辑部预约．     

一个完全平方数问题的解法及其思考

有关完全平方数的问题在全国各类竞赛中屡见不鲜,本文就2010年全国初中数学联赛（武汉赛区）第12题的解法作一些探讨,并提出教学中的思考,供读者参考．     

有约束条件的完全四边形与数学竞赛题(上)

有约束条件的完全四边形除具有一般完全四边形的优美性质外，还由于各种不同的约束条件，而具有一些特殊的优美性质．许多数学竞赛试题就是以这些优美性质为背景或根据这些特殊的优美性质而命制或等价表述出来的．[第一段]     

形如1＋1/2k~2n（n＋1）的平方数

多项式整数值中的完全方幂问题是数论中引入关注的研究课题.最近,BenczeM.提出了找出所有可使1＋9/2n（n＋1）是平方数的正整数n的问题.本文利用Pell方程的解的结论,对k2-8为素数时进行了研究,找出此时所有的可使1＋1/2k~2n（n＋1）是平方数的正整数n.     

一个完全平方数问题的解法及其思考

<正>有关完全平方数的问题在全国各类竞赛中屡见不鲜,本文就2010年全国初中数学联赛(武汉区)第12题的解法作一些探讨,并提出教学中的思考,供读者参考.     

形如1＋（（4n（n＋1）s^2）/（s^2-1））的平方数

设n为正整数,S为大于1的正奇数.找出了所有可使1＋（（4n（n＋1）S2）/（S2-1））为平方数的正整数n.     

高中数学竞赛中常用的思想方法递推方法及其应用

通过建立递推关系解决问题的方法称之为递推方法.在某些与自然数有关的问题解决过程中,如果能根据题设条件建立恰当的递推关系式,往往能使问题得到顺利地解决.利用递推方法解题的一般步骤是:(1)用 a_n 表示所求问题的个数,并求出初始值     

λK_(n,n)的P_(2k+1)-因子分解

给出了当d=gcd(λ,4k)≠1时,平衡完全二部多重图λKn,n存在P2k+1-因子分解的充分必要条件为n=0(mod 4k(2k+1)/d)。     

不等式nn+1＞(n+1)n的若干证明方法

苏教版选修2-2第99页复习题14：“试比较n^n＋1与（n＋1）^n的大小,分别取n=1,2,3,4,5加以试验．根据试验结果猜到一个一般性结论,并用数学归纳法证明．”     

一道2012克罗地亚数学竞赛题的探究

2012年克罗地亚数学竞赛试题如下: 试题 已知n、d是正整数,满足d| 2n2.证明:n2 +d不是一个完全平方数. 笔者思考将条件一般化,试题是否可以推广呢?即若已知n、m、d是正整数,满足d| mn2,那么n2 +d是不是一个完全平方数呢?     

与整数有关的平面几何问题

把传统的平面几何知识与古老的整数理论相结合,是国内外数学竞赛试题中一类常见题型．解这类问题除了应用几何知识和整数的性质（奇偶性,整除性,质数和合数的性质,完全平方数的性质等）外,还要用到一些数学的思想和方法．下面结合例题作介绍．     

在n~2与(n+1)~2之间至少有一个素数

此问题是我国著名数学家华罗庚先生在《数论导引》素数排列章节中提出的最后问题。本文根据孙子定理,成功的解决了这一问题。