对最速问题的讨论

我们知道质点自半径为R的空心球的最高点P由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面，如图1所示．可以证明所需的时间始终恒定，且等于√4R/g如果将半径分别为r和R两个球O1、O2相切，那么质点从O1球面上的任一点P，通过相切点滑到O2的球面上，如图2所示，所需时间是否也相等呢?     

(二十三)圆一章测试卷(A卷)

一、填空题（每空2分，共36分）：1．在的内接△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，E是BC的中点，AE交BC于D，则BD＝；2在中，弦AB经过弦CD的中点P，AB＝16cm，AP：PB—3：l，则CD一；3．在OO中，AB是直径，长为10／了cm的弦CD垂直平分OA于E，则OO的面积为4．在圆内接四边形＊＊CD中，若上B。＊D一4：5，则／B一，／D一；5．在圆内接三角形中，若三内角度数的比是2：3：4，则此三角形最小角所对的弧的度数是6．在00中，AB是直径，AC是弦，OD上AB交AC于D．若AD·AC—32，则AB一．；7在圆外切四边形ABCD中，若AB—2…     

一道世锦赛试题的解答及拓展

题目过椭圆x^2/9＋y^2/5=1内一点M（√2,√2）作两条弦AB和CD,过点A、B作椭圆的两切线交于点E,过点C、D作椭圆的两切线交于点F,则直线EF的方程——．     

2010罗蒙诺索夫数学奥林匹克

1．解不等式 （√3-√2）^（log2 3）4-x^2≤（√3＋√2）^-（log3 2）^2x-1.2．在等腰△ABC的底边AC上取一点E,分别在两腰AB、BC上取点D、F,使得DE／／BC,EF／／AB．若BF：EF=2：3,问：△DEF的面积占△ABC的面积的几分之几？     

简证一道西部数学奥林匹克题

题目如图1,AB、CD是⊙O中长度不相等的两条弦,AB与CD交于点E,⊙I内切⊙O于点F,且分别与弦AB、CD切于点G、H过点O的直线l分别与AB、CD交于点P、Q,使得EP=EQ,直线EF与直线l交于点胍证明：过点M且与AB平行的直线是⊙O的切线．     

圆的知识与运用单元测试题

一、选择题 1．如图1,己知AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB,BC= 6,AC=8,则sin∠ABD的值是( )． A．4/3 B．3/4 C．3/5 D．4/5 2．用一把带有刻度的直角尺：①可以画出两条平行的直线     

《圆的有关性质》单元测试题

一、填空题（每小题5分,共40分）1．在①O中？半径R＝lOom,弦M＝16cm,则AB弦的弦心距等于＿＿＿＿cm．2．在①O中,弦M＝12cm,C｝2：tri＞的中点,直径CD交AB于E,OE＝SCll,则CD的长是cm．3．在①O中,弦AB＝18cm,E是AB的中点,CD上AB于E,交①O于C、D,且CE＝3cm,则①O的半径的长是cm．4．如图1,在OO中,若／BOC＝12ry,则／A一图1图25．如图2,在①O中,若／A（＝60,则／ACB6．如图3,在圆内接四边形ABCD中,若／BAC＝2／CAD,则上BDC与／DBC的关系是7．如图4,①O;和①O。相交于A、B两点,且①O。…     

包装一下 探究会更精彩

人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》第38页有这样一个例题： 例1如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2且∠1=∠2,求证：     

圆中计算“失根”剖析

圆的有关计算中,如果题中没有给出图形或忽视题中隐含条件,往往会造成失根．举例剖析如下．例1已知①O半径为scm,弦ABVCD,AB＝6cm,CD＝scm,求AB和CD之间的距离解如图互,连OB、OD,作OE上AB于E,交CD于F,则OF上CD．图1图2剖析本题失根的原因是忽视了两弦在圆心的异侧．如图2,仿上可求得EF＝OE＋OF＝7（cm）正确的答案是Icm或7cm．·例2在①O中,弦AB是内接正三角形的一边,弦AC是内接正六边形的一边,则／BAC解如图3,连OA、OC,由题意得AfOAC＝6ry,AfOAB＝300．图3图4,剖析上述解法忽视点C可能在AB外,…     

圆中常见辅助线作法

一、涉及到有关弦、弦心距、弦长时，常作垂直于弦的直径例１．如图１，已知CD为⊙O的弦，且∠COD＝９０°，CD＝樤２，A为(CD中点，弦AB交CD于H，且∠BHD＝６０°，求AB．分析：连结OA交CD于F，作OG⊥AB于E．利用CD长，∠COD＝９０°，求半径OA的长；再利用∠BHD＝６０°，求∠OAE的度数，进而在Rt△OAE中求AE长，从而求出AB．二、涉及到直径时，常作直径所对的圆周角（直角）例２．如图２，已知：AB为⊙O直径，PC切⊙O于C，PE⊥AB交AC于F，交AB于E，交⊙O于G，求证：PF＝PC．证明：连结BC，有∠１＝∠２P…     

两点球面距离的求解方法

两点球面距离的计算是高中数学教材的难点．对它定义的理解及其计算,最能体现球的性质,最能培养学生对空间图形的识别和想象能力．计算两点的球面距离有三个步骤：一是计算线段AB的长：二是计算AB对球心O所张的球心角∠AOB;三是计算大圆弧长AB．下面通过三种不同情况进行例证．     

探究一个向量问题

例题在四边形ABCD中．已知｜AB｜=2√3，｜BC｜=5，｜CD｜=3√5，｜DA｜=4√2，求AC·BD的值。     

2005年北方数学奥林匹克数学邀请赛

第一天 一、AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙0的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点．求证：PA=QB．     

数学问题与解答 2009年第8期问题解答

771．如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B，弦CD//AB，割线PCE交⊙O于E，求证：DE平分AB．     

蝴蝶定理的猜想推理推广

1蝴蝶定理的介绍 蝴蝶定理是初等几何中的近代名题之一,它于1815年在西欧出版的杂志《男士日记》上问世．题目是：过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD与EF,连结ED、CF交AB于P、Q,求证：PM=QM,如图1．由于题中图形的圆内部分像一只蝴蝶,因此取名为“蝴蝶定理”．     

几种独特转化方法的运用

一、一般和特殊转化 例1如图1所示，A、B、C、D是圆周上的四点，且AB＋CD=AD＋BC，如果弦AB的长为8，弦CD的长为4，那么图中阴影部分面积的和是——（π取3）．     

球面距离公式的推导及应用

球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．常见问题是求地球上两点的球面距离．对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB．下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式．     

向量数量积与抛物线的焦点弦

本文就向量的数量积与抛物线的焦点弦及焦点三角形面积问题进行研究,得出两个新定理：定理1,若｜AB｜是过抛物线y^2=2px（p〉0）焦点F的弦长,且^→BF-^→FA=λ,则｜AB｜=2λ/p;定理2,若AB是过抛物线y^2=2px的焦点弦,O为坐标原点,且^→BF-^→FA=λ,则SΔOAB=P/2√λ．     

有关圆问题的双解举例

有关圆的问题是中考常见题型，当题目中没有给出确定的图形时，由于点、线与圆的位置关系不明确，常常会出现双解或多解．因此，解这类题要全面、周密，以防漏解．例１在⊙O中，圆心角∠AOB的度数是１００°，则弦AB所对的圆周角的度数是．分析：如图１，弦AB所对的圆周角有两个，顶点分别在弧A 和弧AD 上，它们互补，度数应为５０°或１３０°．例２如图２，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB＝２，AC＝２√，在图中画出弦AD，使AD＝１，则∠CAD的度数为．分析：弦AD与AC在直径AB的同侧时，∠CAD的度数为６０°－４５°＝…     

论证球面上两点间的距离

在立体几何中关于球面上两点间的距离是这样叙述的:“在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点间的球面距离。”对于“最短距离”,我认为可以用下面方法进行论证。设AMB是经过球面上两点A、B的任意小圆⊙O_1的劣弧,ANB是过球面上两点A、B的大圆弧。将⊙O_1绕弦AB旋转,使⊙O_1所在平面与ANB所在大圆⊙O重合。