逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题

逆用无穷递缩等比数列各项和∑^＋∞ a=1 a1q^n=a1/1-q（｜q｜〈1）可以证明竞赛试题．下面举三例以说明．     

用∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1)解一类竞赛题

我们知道,无穷递缩等比数列{a1qn-1}的各项和公式为 ∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1). 对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成a1/1-q(|q|＜1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式 1/nn∑i=1ai≤m√1/nn∑i=1ami 或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.     

用(|q|＜1)解一类竞赛题

我们知道,无穷递缩等比数列{a1qn-1}的各项和公式为 　　∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1). 　　对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成a1/1-q(|q|＜1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式 　　1/nn∑i=1ai≤m√1/nn∑i=1ami 　　或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明. 　　……     

运用无穷递缩等比数列的求和公式解化学计算题

等比数列的前n项求和公式为：Sn=a1/1-1（q为公比，｜q｜〈1）运用无穷递缩等比数列的求和公式解化学计算题，能提高解题能力，促进思维的发展．     

公式Sn=A·q^nA的一些应用

我们已经知道等比数列前n项和Sn(q≠1)公式为Sn=(a1(1-q^n))/1-q.在这个公式中若令a1/1-q=-A即可得Sn=Aq^n-A(A≠0，q≠1)．由此可得一个非常数的等比数列其前n项和具有Sn=Aq^n-A这样的特征．这个公式形式简洁，其应用较广．下面是这个公式的一些简单应用．     

例说无穷递缩等比数列求和公式的解题功能

对于无穷递缩等比数列{a1q^（n-1）}（0〈｜q｜〈1）的求和公式：     

利用S=a1/1-q证明一类分式不等式

我们知道,无穷递缩等比数列各项和S=a1/1-q(a1是首项,q是公比),利用这个公式证明型如n∑i=1 ai/1-qi≥P这类难度较大的分式不等式,比常规的证明方法要简便得多,且思路单一,易于操作.现举例说明如下.     

关于多项式唯一性问题

推广了Adams-Straus关于多项式唯一性的一个定理，得到结果：设p与q皆为非常数的多项式，a1，a2，…，ak及b为k＋1个互异有穷复数，若↑k∏↓i=1（p-ai）=0〈=〉q-b=0，并且有d[↑k∏↓i（z-ai）]/dx｜x=b≠0，则p≡q。     

化简为繁亦神奇——等比数列求和公式的逆用

无穷等比数列{an}的前n项和Sn=a1 a1q … a1qn-1=a1(1-qn)/1-q(其中公比q≠1),各项和S=a1 a1q … a1qn-1 =a1/(1-q)(|q|<1),如果把这两式的左边看作右边的展开式,逆向用之,     

关于亚纯函数的微分多项式的特征函数的研究

设f（z）是｜z｜〈R（0〈R〈＋∞）上的亚纯函数,ai（z）（i=0,1,2,…,n-1）为｜z｜〈R上的n个全纯函数,且｜ai（z）≤1,f（0）≠0,f（0）≠0,f（z）的每个零点的级大于或等于m,f（z）的每个极点的级大于或等于s;再设g（z）=f^（n）（z）＋an-1（z）f^（n-1）（z）＋…＋a1f＇（z）＋a0f（z）,其中g（0）≠0,g＇（0）≠0,g（z）-bj的级分别为nj（nj≥2）,g（0）≠bj（j=1,2,…,q）,且（q-1）n＋1/（q-1）m＋1/q-1∑j=1^q1/nj（1＋n/s）〈1.则对0〈r〈R,存在与n,l,m,s,q,bj,nj有关的正常数A、B和C,使得T（r,f）≤A（log^＋｜f（0）｜＋log^＋｜g（0）｜＋log^＋1/｜g（0）｜＋log＋1/｜g＇（0）｜）＋B（logR/R-r＋log＋1/R＋log^＋R）＋C.     

逆用等比数列求和公式,巧解非等比数列问题

设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列, (1)若q≠1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1(1-qn)/1-q (*) (2)若|q|<1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+…=a1/1-q (**) 逆用上述等比数列求和公式,可巧解许多非等比数列问题.     

用“假设法”解题也要创新

现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,…     

等比数列求和公式的逆向应用

当公比q的绝对值│q│〈1,时,等比数列{a1q^n-1}的各项的S=a1/1-q,即     

五类数列极限的求法

一、公式型 若{an}是等比数列,其前n项和为Sn,公比q满足|q|<1,则limSn=a1/1-q.     

先求"(┐)p"防遗漏

例1 已知p：｜3x-4｜〉,q：1/x^2-x-2〉0,则┐p是┐q的什么条件？ 解法一 由p：｜3x-4｜〉2，得p：x〉2或x〈2/3，所以┐p：2/3≤x≤2，即┐p：{x｜2/3≤x≤2};     

集合与简易逻辑同步训练

一、选择题1.设集合M=｛x｜x=k2 14,k∈Z｝,N=｛x｜x=4k 12,k∈Z｝,则().A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=2.四个条件b>0>a、0>a>b、a>0>b、a>b>0中,能使1a<1b成立的充分条件的个数是().A.1B.2C.3D.43.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.命题p:若a、b∈R,则｜a｜ ｜b｜>1是｜a b｜>1的充分而不必要条件;命题q:函数y=姨｜x-1｜-2的定义域是(-∞,-1]∪[3, ∞),则().∪≠∪≠A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真5.…     

关于Hardy-Hilbert不等式的多参数推广

对Hardy-Hilbert不等式进行了研究,并将其进一步改进如下：若p〉1,1/p＋1/q=1,0〈A,B≤1,an,bn≥0,使0〈∑∞n=0apn〈∞,0〈∑∞n=0bqn〈∞,则∑∞m=0∑∞n=0ambn/Am＋Bn＋1〈{∑∞n=0（π/Bsin（π/p）-（3p-B）（ p-1）/6p（2An＋）11/p）anp}1/p{∑∞n=0（π/Asin（π/p）-（3q-A）（q-1）/6q（2Bn＋1）1/q）bnq}1/q.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.     

一道世界数学团体锦标赛试题的全方位探讨

2011年世界数学团体锦标赛青年组个人赛第三轮第12题： 若椭圆x^2/m＋y^2/n=1和双曲线x^2/p-y^2/q=1（m,n,p,q∈R^＋）的公共焦点为F1,F2,M是两曲线的一个交点,且｜MF1^→｜·｜MF2^→｜=1,求1/2n＋2/q的最小值．     

公式Sn=A·q^n—A的一些应用

我们已经知道等比数列前n项和公式为Sn＝(a1(1-qn))/(1-q)(q≠1),在这个公式中若令(a1)/(1-q)＝-A,即可得Sn＝Aqn-A(A≠0,q≠1).由此可得一个非常数的等比数列,其前n项和具有Sn＝Aqn-A这样的特征.这个公式简洁便用,其应用较广.下面是这个公式的一些简单应用.     

带电粒子在正交电磁场中的运动分析

如图 1所示 ,质量为 m、电量为 q的粒子图 1以初速度 v0 垂直射入均匀正交的电场和磁场中 ,电场强度和磁感强度分别为 E和B,粒子所受重力不计 .当 q E≠ qv0 B时 ,粒子的轨迹为一条曲线 ,这是一条什么样的曲线呢 ?能否写出该曲线的方程呢 ?很多教师和学生对此存在疑问 ,笔者在本文中将运用微分方程的知识对此作一深入的分析 ,供读者参考 .由于 q E、qv0 B、v0 三者在同一平面内 ,因此粒子的运动轨迹为一条平面曲线 ,根据牛顿第二定律有mdvdt=-q Ej qv× B .=-q Ej qi j kvx vy 00 0 -B=-q Ej-q Bvyi q Bvxj=-q Bvyi (q Bvx-q…