解分式方程的简捷方法

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程求解．常用的转化途径是在已知方程的两边都乘以最简公分母．在具体实施过程中，对于某些分式方程，若巧用一定的方法，可使求解过程更简捷，一、观察分析法例1解方程分析因方程主、右两边分式的分母相同，所以可采用光移项、合并的方法．解移项，得经检验知X＝1为已知方程的解．二、等式性质法例2解方程分析该方程左、右两边分式的分子、分母各相差一个常数，为此，可利用等式性质求解．解根据等式性质，已知方程可化为解之，得X＝1经检验知X一11为已知方程的解．例3解方程分析注意2。解已知…     

分式方程的简捷解法

解分式方程的基本思路是去分母转化为整式方程来求解．但对于某些分式方程,若应用基本方法求解,则变形过程较繁杂;若采用一些技巧,可使求解更简捷．一、巧观察Lx一JLx－J解观察方程两边分式的分子与分母,可经检验,x。4是原方程的根二、巧加减解已知方程两边同减去2,得经检验,。＝】是原方程的解·三、巧拆项创3解方程：解将第二个分式拆项,得经检验,X＝1是原方程的根．四、巧提取解原方程化为经检验,。＝5是原方程的根．五、巧降次解由多项式除法,将已知方程变形,得经检验,x＝9是原方程的根．六、巧通分侧6解方程：（W4P10…     

巧用通分法解分式方程

《分式》一章介绍了可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．在解题时,如果遇到（或者可以化为）形如的分式方程．若ａ－ｂ＝c－ｄ,这类分式方程采用去分母的方法来解比较繁难;若采用方程左、右两边各自通分的方法,则能找到解题的捷径．请看下面几例．例１解方程：分析直接去分母运算太繁,方程两边各自通分,可化繁为简．解方程两边各自通分,得解之,得经验验,是原方程的解．例２解方程：分析此方程的特点是：各分式的分子和分母的次数相同,这样的方程一般可将每个分式化成整式与分式的和的形式,使分子降次后再用各自通分法求解…     

打破常规灵活求解──分式方程巧解四例

解分式方程的主要思想是通过去分母，化分式方程为整式方程．但是，对于某些分式方程，若按这种常规解法，将不胜其烦．若能根据方程的特点，打破常规，施以特殊方法，常能化难为易，化繁为简，达到灵活求解的目的．下面举四例加以分析．例1解方程分析若直接去分母，比较麻烦；若将方程两边分别通分，则十分简捷．用方程两边分别通分，得于是有一X＋3一0或（X－5）（。·－6）一（l－7）（一8）．由一X＋3＿0得Xl一3．由（X－5）（X－6）一（X－7）（X一8）得13。。一z”经检验x；一3、X。一tr都是原方程的根。一———一‘—”一“2”…     

解分式方程的思想方法

解分式方程的基本思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解;或通过换元,将复杂的分式方程转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程来求解．例回解方程：解方程两边同乘以（X－4）（X－5）,得2x（x－4）＋x－5＋1＝x2－9x＋20．移项、化简、整理,得x2＋2X-24＝0．解此整式方程,得X1＝4,x2＝-6．经检验知x＝4是增根．原方程的解是x=-6．分析此方程若采用去分母的方法转化为整式方程,则将得到一元四次方程．这是很难求解的,因此此题宜用换元法．先把它转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程…     

分式方程的特殊解法

有些分式方程，若按照一般的方法去解，往往需要进行繁琐的计算，而且有时还会出现难解的高次方程；如果注意它们的结构特征，用特殊的方法来解，则能化繁为简．下面介绍几种方法，供同学们参考：例１解方程：分析方程两边各自通分，原方程可变为所以（Ｘ＋２）（Ｘ＋４）＝（Ｘ－６）（Ｘ－４）．整理得１６Ｘ＝１６．Ｘ＝１，经检验，Ｘ＝１是原方程的解．例２解方程：分析将方程中分子的次数降低，原方程可变为整理得用两边各自通分法解方程得Ｘ＝７．经检验知Ｘ＝７是原方程的解．例３解方程：分析将方程两边分别加减常数，即将原方程中…     

解分式方程的思想方法和常用技巧

解分式方程的基本思想是：通过适当的变换把分式方程转化为整式方程求解。转化的基本方法是去分母．但如何去分母，则大有文章可作．去分母得当．求解简捷；去分母不当，求解繁难。因此需要学习和掌握分式方程的常用技巧．一、两边分别通分化简后再去分四例1解方程分析若直接去分母，则运算量较大；若方程两边分别通分，比简后再去分母，则运算简捷．解原方程可变形为去分母，得再化简，得6X一u．．”．x一3．经检验知，X一3是原方程的解．二、拆（添）项比简后再去分母例2解方程：分析若直接去分母，则运算繁杂；若拆项化简后两边分别通分…     

分式方程话检验

同学们在解分式方程时，常常对所求得的解不加检验而出现增根问题．老师也一再强调解分式方程时验根必不可少，千叮咛万嘱咐，可同学们对这个问题并不真正理解．下面我们根据分式方程求解的过程来讨论这个问题．我们知道，解分式方程的基本思想是去分母将下程变形转化为整式方程求解．在去分母的过程中，随着方程未知数取值范围的扩大，就有可能出现增根．为确保分式方程的解准确无误，“驻林就成为必不可少的步骤．例如：方程两边同乘以（X－1），并整理得解此方程，得x1＝1，x2＝2．那么X1、X2都是原方程的解吗？我们将X1＝1、X2＝2代入…     

特殊分式方程的解题技巧

解分式方程的基本方法是“去分母,化为整式方程来求解”．但有些特殊分式方程单用这一方法,往往会出现高次方程,不易解出．但若善于抓住特征去分析、联想,施用一些技巧,常可化繁为简,变难为易．现举数例说明,供同学们参考．例１解方程：分析由观察不难发现．根据这一特征,采取方程两边分别通分的办法,可使方程解答化繁为简．解原方程两边分别通分,得或（ｘ－４）（ｘ－５）＝（x－３）（ｘ－６）无解．经检验知是原方程的解。例２解方程：分析由观察知：每个分式的分子是两数之差的形式,分母是相同两数之和的形式．若采取各个分…     

分式方程话检验

“解分式方程必须检验”，这是教材中和老师在教学时不断强调的问题．为什么要检验？又如何去检验呢？本文将作必要的疏导．在学习分式方程之前，我们学习了含有字母系数的方程的解法．例如：从方程中可知，去分母．得整理得因”为a尹b，所以x＝＝－——．”，、一”—”””·””一rt－b在上面的解法中，因为题目本身隐含着ah学0，故根据方程的同解原理2知，方程①与原方程同解；又根据同解原理1知，方程②与方程①同解；又因为a一b，所以a－b举0．因此再根。。、L。。。。、＾。。（awb）‘、，，。据方程的同解原理2知，X—－——为原…     

一道课本习题的多种解法

在学习解无理方程时,李老师让大家做这道题：解方程（课本P56练习2：③）汪菁同学想,解无理方程的思想方法是,方程两边各自平方,使之变形为有理方程．于是她这样解：移项得．两边平方,得x－2=4-4x＋x2化简,得x2－5x＋6＝0．解得x1=2,x2＝3．检验：x=2是原方程的解．李然同学想,换无法是解无理方程的常用方法．此题中,被开方数有代数式X－2,有理式中也有X－2．于是他这样解：设y,原方程变为y2－y＝0．y1＝0,yZ＝l,即MM＝0,得21＝2;或／三方。1,得。2＝3．经检验：x。2是原方程的解．叶斌同学困式分解这一章学得较好．当他…     

巧转化 妙解题

有些分式方程,用一般方法解很繁琐,往往要使用一些技巧,而这些技巧的实质就是转化,归纳起来,主要有以下两类．一、化异分子为同分子分析注意到各分式的分子分母中二次项系数相同,一次项系数与常数项分别互为相反数．故左右两分式的分子与分母各自相加可消去一次项与常数项,保留相同的二次项．解方程两边同时加上1,得根据分式相等的条件,得Zx‘二0或xZ＋x－3＝xZ－x＋l．解得xl二0,12二2·经检验,＝l二0,12＝2都是原方程的根．例2解方程：分析方程左右两边的两个分式的分子都是1,分母都相差2,故方程两边各自通分,即可得分子…     

巧用拆项法解分式方程

解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程，变形的手段是去分母．在解题过程中，针对题目的特点，打破常规解法．另觅新路，可使求解过程简捷．本文介绍用拆项法解一类分式方程．例1解方理解之，得X一人经检验知X一7是原方程的根．例2解方程呼原方程可化简，得两个不同的数。＋6与x－2的商不为1，故原方程无解．例3解方程呼原方程可变珍为解原方程可化为经检验知。—一19t）5处原方程的憎恨．原方程无解．1”’“叼＊刀1”；7二／解原方程可变形力显然原方程无解．练习题解下列厅程：巧用拆项法解分式方程@宋俊奎$山东淄博市第五中学…     

无理方程的几种特殊解法

一道无理方程,往往有多种解法,要使解题简便,可因方程的不同情况而异。下面对无理方程的几种特殊解法介绍如下：一、观察法左边两根互为倒数,右边分为互为倒数的两数,观察得出简单方程．检验知,X1,X2都是原方程的根．二、换元法借用新未知数可求解．则原方程化为U＋V＝1或V＝1－U．又U3＋V2＝（x－2）＋（3－x）＝1解得由解得X1＝2,经检验知,它们都是原方程的根．三、混合换元法新设未知数与已知方程中的未知数混合使用求解．例1．解方程SX’＋X—X八Z河一220．解：设y一、沈L刁,则原方程化为：y’＋X－Xy－l—0,即付一1…     

解分式方程的特殊技巧

解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程．本文介绍几种转化技巧——拆项、合并、换元、分贝．一、拆项＆＠＃＃。＆＠￥芋一半。上，Q6n＆，简化方程而求解‘＿．、＿＿＿3122例1解方程一＞＋＝＝－一一一一一一”“”“”””’“x＋3x‘edZx311一互（1994年山东省中考题）分析一百7一二一一一下可拆成两项工三一x‘＋Zr－3““’”—”“””，1羊，可通过拆项而化简方程．l＋7”“”————“”一”、。。r。、’。。—·解原方程可他为33·32——＞卜——－——一——－Ix＋3xlZ＋31x化简，得上L＝－1．N＝－4．经检验，…     

初一(上)数学期考模拟题

一、填空题（每题2分,共30分）1．一个数的相反数是3,这个数是＿．2．比较大小：一千一号．,。u－—·、、·4——5’3．绝对值不大于2的整数是＿．4．已知12．3’＝151．29,那么（－0．123）’＝5．用代数式表示：a与b的差除以a、b两数和的平方的商是＿．6．已知两个方程一5x＝2和2（x＋k）一3＝0的解完全相同,则k＝、、．7．已知女a”－’b’与sa’b’－”是同类项,则m＝,n＝8．十2X2－3X＋l＝6X2－10．9．若4x‘”－3ym是三次单项式,则m＝10．最大的负整数是,绝对值最小的数是＿．11．若方程。＋a—l＝l的解是x＝－2,则a12．…     

巧解一类方程

九年制义务教育三年制初中教材代数第三册P51有这样一道习题：解关于X的方程其求解过程为：去分母得即经验根知x1、x2均适合原方程,因此它是原方程的解．由此可得结论：若利用此题的结论,可以巧解一类方程,下面举例说明．例1解方程（初中代数第三册P49练习2(2))．由上述结论得解方程（2）得43＝3＋／而,34＝3－／而．经检验,它们都是原方程的解．例2解关于x的方程x＋－－M。a十六（A数＄三册PSIB组1（2》．解令y＝x－1,则原方程变为y十万“＼a一回）＋M．y（互且由上述结论得：y＝a—1或且y”7I’－－－·x＝a或x＝＝－．－－－…     

第三类线性分式方程的简便解法

所谓线性分式方程,是指形如的微分方程,一般分三种类型加以考查。第一类,C1=C2=0,此时方程（1）是齐次方程,容易求解。第二类,C12＝C22≠0,且k。此时可用代换a2x＋b2y=u把方程（1）化为变量可分离方程,也不难求解。比较麻烦的是第三类,即的情形。对此,各种文献上介绍的方法都是一样的：先解代数线性方程组得到x＝a．y=β．再作变换则方程（1）就可化为新变量X、Y的方程这是齐次方程,求解后再作代换X=x－a,Y=y－β,即得原方程（1）的解。为什么会想到先解代数方程组（2）,再作变换（3）呢？一般教材中很少加以解释,令初学…     

方程1/(x a) 1/(x b)=0的启示

众所周知，分式方程的解是均数的相反数．显然，如果c d=a b，那的解也是从而可推知的解也为因此得如下命题1如果a b=c d，且a、b、c、d互不相等，那么分式方程1/x a-1/x d=1/x c-1/x b的解是x=-a b c d/4.证明由1/x a-1/x d=1/x c-1/x b可得（若不然，则有与已知条件矛盾）利用这个结论，可简洁地解一些分式方程例1解方程解这个方程满足命题1的条件，所以方程的解是注利用命题1解分式方程不会产生增根，故验根这一步骤可略去．例2解方程：解原方程可变形为：由命题1，原方程的解为命题1中的x换成关于x的整式、分式、根式，也有类似结论．命…     

巧用方程“解”的意义解题

初学一元一次方程，对方程解的意义，可以从以下两个方面来理解：一方面把x＝a代人关于x的方程中去，如果左右两边的值相等，那么x＝a是这个方程的解；另一方面，如果x＝a是方程的解，那么用。代换方程中的x后，方程两边的值一定相等．理解了方程的“解”的意义，许多数学问题就可以迎刃而解．例1若关于x的方程5x＋13＝k和5x＋3k＝27的解相同，试求k的值解首先解方程5x＋13＝k，得因为已知的两个方程是同解方程，则由方程“解”的意义，得．解得k＝10例2k为何值时，方程的解是2．解因为已知方程的解是2，即x＝2，由方程“解”的意义，把x＝2…