关于直线y=x对称到关于直线y=kx+p对称的图像表达式

从函数的表达式判定其在坐标系中的几何特性是中学生的学习难点之一.现行高中教材里在介绍到反函数部分时,也就只证明了互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称.本文介绍另一个更具有启发性的一种证法,并沿着其思想方法探索出一般函数y=f(x)关于直线y=-x对称的函数表达式是y=-f-1(-x),最后用代数方法推出关于更一般的直线y=kx+p对称的函数表达式.     

函数图象中一类对称问题剖析

请先看下面的例子 :例 1　设函数 ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ=ｆ( 1 -ｘ)与 ｙ=ｆ( 1 +ｘ)的图象关于 (　　 )(Ａ)直线 ｙ=0对称(Ｂ)直线ｘ=0对称(Ｃ)直线 ｙ =1对称(Ｄ)直线ｘ=1对称学生往往容易错选Ｄ .什么原因呢 ?显然 ,学生将本题混同于下面的问题 :例 2　设 ｙ=ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的函数 ,若 ｆ( 1 -ｘ) =ｆ( 1 +ｘ) ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象关于直线对称 .在这类问题上产生混淆的现象还很多 ,为此 ,笔者对这类对称问题剖析如下 ,供参考 .探讨函数图象的这类对称问题 ,首先应分清研究对象 ,是讨论某一个函数图象自身的对称问题…     

巧用平移求曲线关于直线对称的方程

如何求曲线关于直线对称的方程呢 ?我们认为从曲线关于直线对称的本质出发 ,巧用平移从一个全新的角度来求曲线关于直线对称的方程 ,是解决该类问题的一种有效的方法 .下面举例说明 .一、巧设平移变换求曲线关于直线对称的方程 .例 1　求曲线Ｃ :3ｘ2 ｙ2 =4关于直线Ｌ :ｙ=ｘ 2对称的方程 .解 :设要求的曲线上任意一点Ｍ (ｘ ,ｙ) ,它关于Ｌ对称点为Ｍ′ ,令变换 :ｘ′=ｘ 2ｙ′=ｙ 则在该变换下 :Ｍ的坐标变成Ｍ(ｘ′-2 ,ｙ′) ,Ｌ的方程变成 :ｙ′ =ｘ′点 ,(ａ ,ｂ)关于直线ｙ =ｘ对称的点为 (ｂ ,ａ) ,∴Ｍ′的坐标为 (ｙ′ -2 ,ｘ…     

函数y=f(x)、x=f-1(y)和y=f-1(x)的本质关系

函数ｙ＝ｆ（ｘ）（设它有反函数）和它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,以及对换ｘ、ｙ之前的反函数形式ｘ＝ｆ－１（ｙ）这三者之间的关系,一直有很多同学含糊不清,本文简单归纳如下：１．从方程观点看,ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝ｆ－１（ｙ）是两个同解方程,而ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ...     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

关于初等函数图像的对称性

对称性是函数图像的重要特性之一 ,一方面学生难于理解 ,另一方面高考和高中会考中频繁出现。其对称性试题可分为两种类型 :一是解几中点对称问题 ;二是函数图像的对称问题。而现行高中数学课本中关于对称性的结论主要有 :(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形 ;偶函数的图像关于 ｙ轴成轴对称图形 ;(2 )函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图像和它的反函数 ｙ =ｆ-1(ｘ)的图像关于直线 ｙ =ｘ对称等。从历年高考和高中会考的试题来看 ,难度要比教材中出现的题要稍难一点。能否给出几个一般性的结论 ?回答是肯定的。笔者给出了一般性的几个命题 ,供同行参…     

对《曲线的运动与变换》一文的一点修正

《中学数学杂志》2 0 0 1年第 6期《曲线的运动与变换》一文中有一个结论是 :“函数ｙ =ｆ(ｘ)定义在Ｒ上 ,则函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)与ｙ=ｆ(Ｂ-ωｘ)的图象关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2 对称” .我认为 ,函数 ｙ= ｆ(ωｘ Ａ)与 ｙ =ｆ(Ｂ -ωｘ)的图象关于直线ｘ= Ｂ-Ａ2ω 对称 .事实上 ,若点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )是函数 ｙ =ｆ(ωｘ Ａ)图象上任意一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ωｘ0 Ａ) .设点Ｍ关于直线ｘ =Ｂ-Ａ2ω 的对称点为Ｎ(ｘ′,ｙ′) ,则有ｘ0 ｘ′2 =Ｂ-Ａ2ωｙ0 =ｙ′ ｘ′=Ｂ -Ａω -ｘ0 ,ｙ′=ｙ0因为 ｆ(Ｂ -ωｘ′) =ｆ[Ｂ-ω(Ｂ-Ａω -ｘ0 ) ] =…     

函数的定义域和反函数

不少同学在学习函数时 ,由于不了解定义域对函数性质的影响 ,因而不太注意定义域 .本文讨论定义域和反函数存在的关系 .课本是这样给出反函数的概念的 :一般地 ,函数 ｙ =ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)中设它的值域为Ｃ ,我们根据这个函数中ｘ、ｙ的关系 ,用 ｙ把ｘ表示出 ,得到ｘ=φ(ｙ) ,如果对于 ｙ在Ｃ中的任何一个值 ,通过ｘ =φ(ｙ) ,ｘ在Ａ中都有唯一的值和它对应 ,那么ｘ=φ(ｙ)就表示 ｙ是自变量 ,ｘ是自变量 ｙ的函数 ,这样的函数ｘ= φ(ｙ) (ｙ∈Ｃ)叫做函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ)的反函数 ,记作ｘ =ｆ- 1 (ｙ) ,习惯写为ｙ =ｆ- 1 (ｘ) .ｙ=ｆ(…     

对称性问题综述

近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、…     

一望而解2002年部分高考题

20 0 2年高考数学试题的解法灵活多样 ,丰富多彩 .其中许多试题不需动笔就能一望而解 ,答案一见得知 .1 活用性质例 1　函数ｙ =2ｘ1 ｘ,ｘ∈ (-1 , ∞ )图像与其反函数图像的交点坐标为 .解　利用性质“函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像和它的反函数ｙ=ｆ-1(ｘ)的图像关于直线ｙ=ｘ对称” ,易知两函数图像若有交点 ,则交点必在对称轴ｙ=ｘ上 ,那么由ｙ=2ｘ1 ｘ=ｘ(ｘ>-1 )即得ｘ=0或ｘ =1 ,从而ｙ=0或ｙ=1 ,故交点坐标为 (0 ,0 ) ,(1 ,1 ) .2 逆向思考例 2　函数ｙ =ａｘ 在 [0 ,1 ]上的最大值与最小值的和为 3 ,则ａ =.简析 :反过来考虑 ,易知 ,函…     

奇函数、偶函数图象定理的推广

由奇函数、偶函数的图象定理知 :若ｆ( -ｘ) =-ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于原点对称 ;若 ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ) ,则函数 ｆ(ｘ)的图象关于 ｙ轴对称 .下面我们研究此结论的推广情况 .1 若 ｆ(ａ -ｘ) =-ｆ(ａ+ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ ,0 )对称 ;2 若 ｆ( -ｘ) =2ａ -ｆ(ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于点 ( 0 ,ａ)对称 ;3 若ｆ(ａ-ｘ) =ｆ(ａ +ｘ) ,则函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ａ对称证明　 1 由 ｆ(ａ-ｘ) =-ｆ(ａ +ｘ)得 ,函数ｆ(ａ+ｘ)是奇函数 ,从而函数 ｆ(ａ+ｘ)的图象关于原点对称 ,由此得函数ｆ(ｘ)的图象关于点 (ａ …     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

不求反函数巧解题

在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1　若ｆ(ｘ) =3ｘ-4 ,则ｆ- 1 ( 2 ) =.解　设ｆ- 1 ( 2 ) =ａ ,则ｆ(ａ) =2 ,即3ａ-4 =2 ,ａ=2 ,∴ｆ- 1 ( 2 ) =2 .例 2　已知ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ≥ 1) ,又ｆ- 1 (ｍ)= 4,则ｍ =.分析　∵ｆ- 1 (ｍ) =4,∴ｆ( 4 ) =ｍ ,∴ｍ =42 =16.例 3　若ｆ(ｘ) =3ｘ2 +2 (ｘ ≥ 0 ) ,则ｆ- 1 [ｆ( 2 ) ] = .分析　应用结论 :若函数ｙ=ｆ(ｘ) (ｘ∈Ａ ,ｙ∈Ｃ)存在反函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ) ,则ｆ[ｆ- 1 (ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ｃ) ,ｆ- 1 [ｆ(ｘ) ] =ｘ(ｘ∈Ａ) .由上易知ｆ- 1 …     

浅谈坐标转移法在函数对称性问题中的应用

对称性是函数的重要性质之一 ,函数对称性问题又常常与函数的奇偶性、周期性以及原函数等性质融为一体 ,具有较强的综合性和抽象性 ,学生感到难以理解和把握 ,以致成为教学中的难点 .笔者经多年的教学实践 ,发现运用方程的观点 ,将函数解析式看作曲线的方程 ,利用解析几何中的坐标转移法去解决 ,显得既简单又直观 ,学生容易接受 .这是我在平时教学中的一点拙见 ,以飨大家 .例 1　已知函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数与ｙ=ｇ(ｘ)的图象关于点Ｐ(ａ ,ｂ)对称 ,则ｇ(ｘ)可表示 (　　 ) .(Ａ)ｇ(ｘ) =ａ+ｆ- 1(ｂ+ｘ)(Ｂ)ｇ(ｘ) =2ａ-ｆ- 1(2ａ -ｘ)(Ｃ)…     

一次习题课的教学情节

以前常感叹一类题在课堂上讲过多遍 ,学生仍然做不对 .自从在陕西师大参加中学骨干教师国家级培训 ,并学习了罗增儒老师的《中学数学课例分析》后 ,方感到水能载舟、也能覆舟的深刻道理 .看来 ,教师讲题的过程 ,不仅仅是师生间共同追求一个正确结果的过程 ,更应该是师生间以解题为依托共创人生体验、知识精华的过程 .下面我把一次习题课的教学情节呈现给各位同仁 ,企求赐教 .1　展示问题 ,创设情境问题 1　对于函数 ｙ =ｆ(ｘ) ,若满足 ｆ(ｘ -1 )=ｆ(1 -ｘ) ,那么 ｙ =ｆ(ｘ)的图象(　　 ) .Ａ .关于直线ｘ =0对称Ｂ .关于直线ｘ =1对称Ｃ …     

例说体现能力的一题多解

20 0 2年广西普通高中毕业会考数学题(2 5 ) :已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 1(ｘ≥ 1)的图像是ｃ1,ｃ1关于直线ｙ-ｘ =0对称的图形为ｃ2 .(1)求ｃ2 对应的函数表达式 ;(2 )设Ｍ、Ｎ是曲线ｃ2上不重合的任意两点 ,请证明直线ＭＮ与直线ｙ=ｘ必相交 .本题考查反函数的概念、图像、性质 ,求反函数 .考查直线与抛物线位置关系的判断、证明 .特别是第二问 ,问题设置的背景为考生所熟悉 ,但留给学生思维的角度广阔 ,能激活学生的思维 ,考查应用相关知识的能力 .除给出的参考答案外 ,还有很多更灵活的证法 .以下给出七种解法 ,期望读者从中得到启发 .考试…     

解析几何的两类对称问题

一、关于点的对称问题1 点关于点的对称点点关于点的对称是最基本的中心对称问题 ,可通过中点公式解决 .一般地 ,设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于点Ｍ(ａ ,ｂ)对称的对称点为Ｑ(ｘ0 ′,ｙ0 ′) .则ａ =ｘ0 +ｘ0 ′2 ,ｂ=ｙ0 +ｙ0 ′2 ,或 ｘ0 ′=2ａ -ｘ0 ,ｙ0 ′=2ｂ -ｙ0 .2 曲线 (包括直线 )关于点的对称曲线曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线为 ｆ( 2ａ -ｘ ,2ｂ -ｙ) =0 .证明　设点Ｑ(ｘ ,ｙ)是曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ａ ,ｂ)的对称曲线上的任一点 ,则Ｑ关于点Ｍ(ａ ,ｂ)的对称点Ｐ(ｘ′ ,ｙ′)应在曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0上 …     

导数在高考中的三项基本应用

应用 1:利用导数的几何意义解题函数 ｙ =ｆ(ｘ)在ｘ0 处的导数的几何意义 ,就是曲线 ｙ =ｆ(ｘ)在点Ｐ(ｘ0 ,ｆ(ｘ0 ) )处的切线的斜率 .例 1　若抛物线ｙ =4ｘ2 上的点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离最短 ,则点Ｐ的坐标为 .　　解 :在抛物线 ｙ =4ｘ2 上求一点Ｐ到直线ｙ =4ｘ - 5的距离为最短 ,即找一点Ｐ使过该点的切线与直线 ｙ =4ｘ - 5平行 .对函数ｙ =4ｘ2 求导 ,得 ｙ′ =8ｘ ,所以曲线上任一点的切线斜率ｋ =8ｘ .令 8ｘ =4 ,求出ｘ=12 ,代入抛物线方程得ｙ=1.故Ｐ 12 ,1.应用 2 :利用导数求函数的单调区间一般地 ,设函数ｙ =ｆ(ｘ)在…     

利用y=f（x）与y=f^—1（x）间的关系解题

函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）的图像关于直线ｙ＝ｘ对称，这是学生都非常熟悉的一个性质，但对它们之间的其它性质却知之不详，或者知而不会用．本文试图通过实例来阐明它们的用法．函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）与ｙ＝ｆ（ｘ）性质间的关系如下：１．定义域和值域的互换性．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域和值域分别为ｙ＝ｆ－１（ｘ）的值域和定义域．２．同单调性．ｙ＝ｆ（ｘ）在某个区间上是增（或减）函数，则ｙ＝ｆ－１（ｘ）在相应区间也是增（或减）函数．３＊．同为奇函数或同为非奇非偶函数．注意偶函数的定义域若不是｛０｝，则它不存…     

函数f(x)图像与f-1(x)图像交点的性质及其应用

20 0 2年全国高考文科第 (14 )题 :函数ｙ=2ｘ1+ｘ(ｘ∈ (- 1,∞ ) )图像与其反函数图像的交点坐标为 .其答案是 (0 ,0 )、(1,1) .对这道题 ,一般的解题思路是 :先求出其反函数ｙ=ｘ2 -ｘ(ｘ∈ (-∞ ,2 ) ) ,再解ｙ =2ｘ1+ｘ与ｙ=ｘ2 -ｘ组成的方程组即得所要求的交点坐标 .而有的同学的解题思路是 :先解ｙ=2ｘ1+ｘ与ｙ=ｘ组成的方程组 ,认为所求得的解就是所要求的交点坐标 .这种解法虽然简捷 ,结果也正确 ,但不知是否合理 ?下面我们对函数ｙ=ｆ(ｘ)的图像与其反函数ｙ=ｆ- 1 (ｘ)的图像交点的性质进行一些探讨 ,便知第二种解法有一定的道…