费恩斯列尔——哈德维格尔不等式的简化证明

《数学通讯》一九八三年第十一期刊登了王玉怀同志编译的“费恩斯列尔——哈德维格尔不等式”(以下简称不等式)证明过程相当烦锁,不易读者理解和掌握。本文直接用余弦定理就可使证明,大为简化,并得到不等式两端之差的表示式 “不等式”是说,对任意边长为a、b,c的三角形,有a~2+b_2十C~2≥4 S3~(1/3)+Q其中S为三角形的面积,Q=(a-b)~2+(b-c)~2+(c- 我们的结论是如下等式     

一个涉及两个三角形的不等式的别证

1981年,’重庆市第二十三中学数学教师高灵提出并证明了如下的不等式“’: 定理设三角形ABC及A产B尹C产分别有边长。、b、。及。‘、b,、c,,分别有面积△及△尹,则a,(b+c一a)+b‘(e+a一b)+e,(a+b一c)》4亿3△△‘(1)式中等号当且只当月BC及A声B尹C尹均为正三角形时成立. 1982年,中国科技大学教授彭家贵、常 10庚哲又给出了高灵的不等式(1)的一种巧妙证法〔么’.下面,笔者再给出(通)的一种更为简捷的证明方法,供参考. 证明由于熟知的费恩斯列尔—哈德维格尔不等式为a念+b笼+eZ》4了了△+(a一b)艺+(b一e)之+(e一a)么(2)令今4杯万△+2(aZ…     

费恩斯列尔——啥德维格尔不等式的一个类似

1919年著名的几何学家魏琴伯克首先提出并证明了如下的不等式: 已知三角形的边长为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4 3~(1/2)S……(1)等号当且仅当a=b=c时成立。这个不等式以形式简捷,对称优美而著称于世。1938年费恩斯列尔—哈德维格尔首     

逆用方程概念巧解题

我们有这样的体会,如果方程x~2+x+1=0的两个根是α~(-1)、β~2,则很容易知道等式α~(-2)+α~(-1)+1=0和β~4+β~2+1=0成立。但是,由等式α~(-2)+a~(-1)+1=0和β~4+β~2+1=0成立,就不容易想到α~(-1)、β~(2)是方程x~2+x+1=0的两个根。是因为人们在考虑问题时,常常习惯于按正向展开思维,而不习惯于按逆向展开思维的缘故。这种倾向影响解题,不利于思维的发展,在教学中要注意克服,要有目的地对学生进行逆向思维的训练。例如,在复习方程的有关解的定义、公式、法则的正向应用时,强调它们的逆向应用,这不仅可以使为数不少的数学问题得到简捷而巧妙的解法,而且对提高学生灵活应用知识的能力,培养良好     

数学趣题

“54”是中国青年节。请把1—9九个数码分别填入下式54~2=(··)~2 (··)~2 (··)~2-(·)~2-(··)~2使等式成立。提示:请利用已知的数字等式     

(-α)~2和-α~2

许多同学在处理形如(—α)~2和—α~2的问题时,常常误认为它们是一样的,其实它们之间有着本质的区别. 一、含义的区别 (—α)~2表示(—α)·(—α),底数为—α;而—α~2表示—(α·α),底数为α。二、读法的区别 (—α)~2读作“负α的平方”,而—α~2则读作“α平方的     

也谈化asinα+bcosα为一个函数的问题兼与淡异如同志商榷

淡异如同志在《关于化 asinα+bcosα为一个函数的问题》一文中(以下简称《淡文》,见本刊82年第5期《教材讨论》专栏)认为:“部编教材(高中一册)中,化 asinα+bcosα为一个函数的结论:asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))(其中(?)由 tg(?)=b/a 确定)”不妥.其理由是:“由 tg(?)=b/a 确定的(?)不是唯一的”,“其中有的(?)能使等式 asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+(?))成立,有的(?)则不能使上面等式成立”。并以“化-2~(1/2)/2sinα+2~(1/2)/2cosα     

W·H·Young不等式在初等数学中的一点应用

命题(Young不等式)设x_1>0,x_2>O,α>0-β>0;且α+β=1.那么x_1~αx_2~β≤αx_1+βx_2,当且仅当x_1=x_2时,等号成立. 证明作函数y=logx的     

一个不等式的加强

1938年,费恩斯列尔——啥德维格尔提出了如下的不等式: 设ΔABC的三边为a、b、c,面积为Δ,则 a~2+b~2+c~2≥4(3~(1/2))Δ+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2 (1) 其中等号当且仅当a=6=c时成立。 1983年,王玉怀首次把不等     

费尔马点的一个新公式

本文首先导出费尔马点的一个新公式,然后揭示此公式与芬斯勒—哈德维格不等式的关系,这样就自然显示出张延卫等三人在文[1]中给出的不等式来。 设a、b、c是ΔABC的三边,三角形的最大内角小于于120°,它的面积为S,F是费尔马点,FA=f_a,EB=f_b,FC=f_c,f=f_a f_b f_c.那么, f=2~(1/2)/2[a~2 b~2 c~2 4(3~(1/2))S]~(1/2). 证明:如图所示,任取     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

探讨例题的简捷解法

讲解例题,主要是教给学生解题的方法。在教学中应注意不断改进解法,以提高学生的解题能力。下面举三例以说明之。例一:已知sinα=asinβ……① tgα=btgβ……②求证:cosα=(a~2-1/b~2-1)~(1/2) 分析(1)从求证等式右边着手,只要从已知条件求出a,b代入右边即可。证法(一):分别由(1),(2)得a=sinα/sinβ分析(2)从求证等式没有β的三角函数着手,只要从(1),(2)消去β即可,这可由sin~2β+cos~2β=1办到     

海伦-秦九韶公式与一类几何不等式

古希腊数学家海伦(Heron,约公元一世纪)在《测量仪器》一书中首先提出求已知三角形三边的面积公式: 设△ABC的三边为a、b、c,半周长为p,面积为△,则我国南宋秦九韶(约公元十三世纪初叶至中叶)在《数书九章》一书中也提出了类似的面积公式: ①和②式形异实同,所以我们把它们叫做海伦—秦九韶公式。本文将利用海伦—韶九韶公式来证明一类涉及三角形的边、面积的几何不等式。读者将看到,利用海伦—秦九韶公式来证明一些著名的不等式,如魏琴伯克不等式、费恩斯列尔—哈德维格尔不等式、匹多不等式等,不仅简捷自然,而且还会得到它们的一些推广和加强式。为此我们先约定:a、b、c、p.△分     

CAUCHY—SCHWARZ不等式的推广

在《高等代数》(张禾瑞、郝钠新编)教材第八章给出了Cauchy-Schwarz不等式: 命题1 Cauchy-Schwarz不等式在一个欧氏空间里,对于任意的α,β有不等式 <α,β)≤<α,α><β,β> (1)     

关于Nesbitt不等式的研究

文[1]收录了如下的Nesbitt不等式:设S k是四面体A1A2A3A4的顶点Ak(k=1,2,3,4)对面的三角形面积,记41kkS S==∑,λ≥1,则414()23kk kSS Sλλ=≤∑?<.①笔者发现,对于n边形,也有定理在n边形A1A2An中,记A1A2=a1,A2A3=a2,,An A1=an,λ≥1,1nkks a==∑,则1()2(1)nkk knan s aλλ=?≤∑?<.②证明由常见不等式x1x2xnnα+α++α(x1x2xn)n≥+++α③(其中x1,x2,,xn,α∈R+,且α≥1),得11n(k)(1nk)k k kka nas a n s aλλ==∑?≥∑?221(1n k)k k knan sa aλ==∑?,由文[2]定理得2212121()()nnkk knk k kk kkaasa a sa a===∑?≥∑∑?222221…     

Weizenbck不等式的推广、加强及其它

在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c、S是它的面积,则有a~2＋b~2＋c~2≥4（3S）~（1/2）,这是我们熟知的Weizenbck不等式.     

Weisenb(o..)ck不等式的简证

Weisenb(o..)ck不等式: 设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S.则有 a2+b2+c2≥4(3)S.     

Erds-Bager不等式的再加强

设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,而α、β、γ和δ分别表示△AEF,△BFD,△CDE和△DEF的面积,则δ≥min{α,β,γ}。 (1) 最近,陈琦老师给出了Erdos-Bager不等式(1)的如下形式的加强: 3/δ≤1/α+1/β+1/γ。 (2)等号成立当且仅当D、E、F是△ABC边上的中点。注意到不等式: 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)~2。 (3) 自然可考虑(2)的进一步加强形式: 3/δ~2≤1/αβ+1/βγ+1/γα。 (4)     

裴多不等式的解析证明

裴多(Pedoe)不等式是指:设△ABC,与△A′B′C′的边长分别为α,β,γ与α′β′,γ′,面积分别为S与S′,那么α′~2(β~2 γ~2-α~2) β′~2(γ~2 α~2-β~2) γ′~2(α~2 β~2-γ~2)≥16SS′①其中等号当且仅当△ABC～△A′B′C′时成立。这个不等式自1979年传入我国后,以其外形的有趣对称,证法的多种多样引起了广泛的兴趣和讨论,出现了一些新的证法。本文用解析几何的方法给出它的证明。如图放置△ABC与△A′B′C′,则A与     

数学奥林匹克问题

本期问题 初57 S=[1 1/1~2 1/2~2]~(1/2) [1 1/2~2 1/3~2]~(1/2) … [1 1/1996~2 1/1997~2]~(1/2).试求与S最接近的整数。(陈宽宏 湖南省岳阳县熊市中学,414113) 初58 已知α、β、γ为△ABC的三内角,