一个公式推导的背后

定比分点公式是平面解析几何中的一个重要的公式，在课本中，公式的推导主要思想是将有向线段P1P2投影到坐标轴上，化P分P1P2的比为M分M1M2^-所成的比，因此有     

“上”改为“间”好——谈谈中学数学教材,平面解析几何,线段定比分点的有关问题

“上”改为“间”好——谈谈中学数学教材，平面解析几何，线段定比分点的有关问题吉林省九台市第三中学董森中学数学教材平面解析几何有关线段的定比分点一段叙述如下：有向直线上的一点Ｐ，把ｌ上的有向线段Ｐ１Ｐ２分成两条有向线段Ｐ１Ｐ和ＰＰ２。如图点Ｐ分线段Ｐ１...     

线段定比分点的向量公式及应用例举(一)

线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于P1、P2的任意一点,O是平面内任意一点,设OP1=a,OP2=b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有OP=a1++λλb.证明:如图1,因为P1P=OP-a,.PP2=b-OP,P1P=λPP2,所…     

"线段的定比分点"探究及典例分析

1 知识探究 1) 线段的定比分点 设P1与P2是直线l上的两点,点P为直线l上不同于P1、P2的任意一点,若存在一个实数λ,使得→P1P＝λ→PP2,则λ叫做P分有向线段→P1P2所成的比,P点叫做有向线段→P1P2的定比分点.     

定比分点公式中λ的妙用

有向线段Ｐ1Ｐ和ＰＰ2 数量的比叫做点Ｐ分Ｐ1Ｐ2所成的比 ,通常用λ表示这个比值 ,λ =Ｐ1ＰＰＰ2 ,点Ｐ叫做Ｐ1Ｐ2 的定比分点 .若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的内分点 ,则λ>0 ;若点Ｐ为Ｐ1Ｐ2 的外分点 ,则λ <0且λ≠ - 1;若Ｐ与Ｐ1重合 ,则λ =0 .我们可根据λ取值的正负来讨论Ｐ的位置 ,也可根据Ｐ的位置来讨论λ.下面举例说明 .例 1　已知Ｐ(3,- 1)、Ｍ(6 ,2 )、Ｎ(- 3,3) ,直线ｌ过Ｐ点且与线段ＭＮ相交 ,求直线ｌ的倾斜角的取值范围 .解　设ｌ交ＭＮ于Ｑ(ｘｑ,ｙｑ) ,又设ｌ的方程为ｙ+1=ｋ(ｘ- 3) ,λ =ＮＱＱＭ ,由定比分点公式得ｘｑ =- 3+6…     

线段定比分点公式在几何证题中的应用

证明几何题 ,我们一般常采用综合分析法 ,这确是行之有效的重要方法 ,但在证明过程中有时却过于复杂 ,不易理解 .而用解析法来证明就可以简化证明 ,且思路清晰易于理解 .下面利用线段的定比分点公式来解决一些几何题目 .线段定比分点公式 :用点的径向量表示 :对于有向线段Ｐ1Ｐ2 (Ｐ1≠Ｐ2 ) ,如果点Ｐ满足Ｐ1Ｐ=λ·ＰＰ2 (λ≠ -1 ) ,则称点Ｐ是把有向线段Ｐ1Ｐ2 分成定比为λ的分点 ,Ｏ是空间任意一点 ,则ＯＰ =ＯＰ1+λＯＰ21 +λ .例 1　如图 1 ,设△ＡＢＣ的三个顶点为Ａ、Ｂ、Ｃ ,同一平面上有一点Ｐ ,今取Ｑ、Ｒ、Ｓ ,使ＰＣ∶ＣＱ …     

由定比分点的定义引发的探究

“设P1，P2是直线l上的2个点，点P是l上不同于点P1，P2的任意一点，则存在一个实数λ，使得P1P→=λPP2→，λ叫做点P分有向线段P1P2→所成的比”这是高中数学教材第一册（下）给线段定比分点所下的定义．笔者发现，只要对定义中的等式P1P→=λPP2→稍加变形，即可得到一个与线段定比分点坐标公式极为相似的向量形式结论．下面以定理的形式给出这一结论，并对其进行空间拓广．     

线段定比分点公式的向量形式

对有向线段的定比分点坐标公式及其应用大家都很熟悉 ,而对该公式的向量形式及由此衍生出的系列性质和应用的认识则要逊色得多 .本文试对此作一探索 ,以期抛砖引玉 ,使对定比分点公式的理解更趋完善 .定理 1　设Ｐ1 、Ｐ2是直线ｌ上的两点 ,点Ｐ是ｌ上不同于Ｐ1 、Ｐ2 的任一点 ,且Ｐ1 Ｐ=λＰＰ2 ,Ｏ是此平面内任一点 ,则　　　　ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .上式称之为线段定比分点公式的向量形式 .证明　ＯＰ=ＯＰ1 + Ｐ1 Ｐ ,①ＯＰ =ＯＰ2 + Ｐ2 Ｐ ,②① +② ·λ ,得(1 +λ) ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ2 ,∴ＯＰ =ＯＰ1 +λＯＰ21 +λ .当…     

直线的第二参数方程及其应用

直线的第二参数方程及其应用大连开发区第一中学邹楼海陕西合阳黑池中学王民生一、直线的第二参数方程图１已知直线ｌ过二定点Ｍ（ｘ１,ｙ１）、Ｎ（ｘ２,ｙ２）,设Ｐ（ｘ,ｙ）为ｌ上任意一点,它分线段ＭＮ的比ｔ＝ＭＰＰＮ,由定比分点的坐标公式,得ｌ的参数方程为...     

巧用定比分点公式的向量形式解题

<正>x=x1+λx2/1+λ是同学们所熟悉的线段的定比分点公式.其实,这只是线段定比分点公式的一种表示形式,而它的另一种形式——向量公式,恐怕大多数同学还     

直线与圆

☆基础篇 第一课时有向线段与定比分点 诊断检测 理解有向线段的数量、长度,点P分P1P2所成的比并能活用定比分点公式是学好解几起点,你站在起点上了吗?请做如何诊断练习: 一、选择题 1.设点P在有向线段AB的延长线上,P分AB所成的比为λ,则()(上海试题) (A)λ<-1.(B)-1<λ<0. (C)0<λ<1.(D)λ>1. 2.直线l经过点A(-5,-3)、B(-1,0)及第一象限内的点C,记点C分AB所成的比为λ则() (A)λ<-1.(B)-1<λ<0. (C)-5<λ<-1.(D)λ<-5或-1<λ<0.     

定比分点公式推导方法的重要启示

现行解几课本在推导线段的定比分点公式时,利用的是射影思想。这就是将平面直角坐标系中,一条线段上三点所分成的两条线段长度比,转化为它们在坐标轴上的射影之比,其实质是运用平行线分线段成比例定理,化二维的两点问的距离为一维的有向线段数量的绝对值,使所需比例式大为简化,从而达到运算简捷,合理的目的。事实上,射影思想是解决解几中许多问题的一种十分重要的方法。例1 设有双曲线S:xy=1,通过点A(a,     

对定比分点向量公式、向量基本定理的理解与应用

如图1,设P．（x1,y1）、P2（x2,y2）是直线l上的两点,点P是l上不同于P1、P2的任一点,则存在一个实数λ,使P1P=λPP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比,则OP=（OP1＋λOP2）/（1＋λ）,我们把它称为定比分点向量公式．     

线段定比分点公式的几种推导及定比λ

线段定比分点公式是解析几何的基本公式．本文用射影、平面几何、向量的坐标等四种方法对线段定比分点公式进行了推导．针对学生在学习和运用线段定比分点公式时所出现的错误，进一步讨论了定比A的范围．设直线上两点P1、P2坐标分别为（x1，y1）、（x2，     

定比分点公式在代数中的应用

有向线段的定比分点公式是一个结构整齐、富于对称的公式.当λ趋向于-1时,P趋向于无穷远点;当λ＞0时,P为内分点;当λ＜0时,P为外分点;当λ=0时,P与P1重合;当P与P2重合时,λ不存在.定比分点公式不但在解析几何中有十分广泛的应用,而且对于一些代数问题,若能恰当运用,也可以拓宽解题思路,开阔视野,培养创造性思维.下面举例说明定比分点公式在代数中的应用.     

关于“线段的定比分点”

定比λ＝ＡＰ／ＰＢ,表示的是点Ｐ分有向线段ＡＢ的比。关于点Ｐ的实际位置与λ取值的对应关系问题,以往许多书刊虽有论述,但都缺乏系统性和直观性,这也是“线段的定比分点”成为教学难点的重要原因。本文通过建立特殊的坐标系,详细讨论了这种对应关系,实践证明这给...     

线段的定比分点新解

新教材中关于点P分有向线段→↑P1P2所成比是这样定义的：设P1P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使→↑P1P=λ→↑PP2，λ叫做点P分有向线段→↑P1P2所成的比。这是平面向量中关于定比分点的一种崭新的定义。对于这个定义的理解和教学，笔者认为和旧教材应有所区别。     

线段的定比分圆

定义若圆上任意一点到点A与B的距离之比恒为常数λ（λ〉0,λ≠1）,则称该圆分有向线段丽所成的比是λ,该圆称为有向线段丽的AB的定比分圆．     

线段的定比分圆

定义若圆上任意一点到点A与B的距离之比恒为常数λ（λ〉0,λ≠1）,则称该圆分有向线段丽所成的比是λ,该圆称为有向线段丽的AB的定比分圆．     

由定比分点坐标公式引发的思考

有向线段的定比分点及其坐标公式应用非常广泛，该公式推导的核心是利用向量的线性关系．