一道全国数学竞赛题引出的两个公式

2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-…     

整式的乘除

基础篇课时一　整式的乘法诊断练习一、填空题1.210.(-0.5)10=.2.(-2.4x2y3)(-0.5x4)=.3.a3.a3+(a3)2=.4.(-2a)(3-a)=.5.(a+2b)(a-3b)=.二、选择题1.10m.10n等于(　　)(A)100m+n.　　　　(B)100mn.(C)10m+n.(D)10mn.2.计算(x4)2+(x5)3得(　　)(A)2x8.　　　　　　(B)x23.(C)x8+x15.(D)2x15.3.(-an-1)2等于(　　)(A)-a2n-1.(B)a2n-1.(C)a2n-2.(D)-2an-1.4.单项式8a3b3与(-2ab)3的积是(　　)(A)-16a6b6.(B)16a6b6.(C)-64a6b6.(D)-48a6b6.三、解答题1.计算:(1)(-35a2x)(-23bx5)2.(2)5x(x2+3x-1)-(2x+3)(x-5).2.化简并求值:(y-1)(y2-6y-9…     

对1999年竞赛题中一道试题的看法

《1999年全国初中学生化学素质和实验能力竞赛》复赛试题中有这样一道题 :测得某溶液中含 Cu2 ,K ,SO42 -,Cl-四种离子 ,且阳离子的个数比为 Cu2 ∶ K =3∶ 4,则 SO42 -与 Cl-的个数比可能是 (　　 )。A .3∶ 2　 B.1∶ 3　 C.1∶ 8　 D.2∶ 5此类题前几年在刊物上曾有评述 ,分析如下 :设 Cu2 的个数为 3 m个 ,则 K 的个数为4m个 ;SO42 -的个数为 an个 ,Cl-的个数为 bn个(即 SO42 -与 Cl-的个数比为 a∶ b) ,可得如下关系式 :2× 3 m 1× 4m=2× an 1× bn10 m =( 2 a b) n至此很容易看出 ,无论 a,b为何值 ,总能找到与之相…     

构造算式求条件代数式的值

先化简,后求值是求代数式的值的一般方法.但对于求某些条件代数式的值的问题,特别是对于竞赛题,若能灵活地应用已知条件,挖掘隐含条件,巧妙构造算式,则可简化计算过程,从而达到快捷获解之目的.例1若a2+a=1,求a4-3a2+2的值.解:由a2+a=1得a=1-a2.∴原式=(a4-2a2+1)+(1-a2)=(1-a2)2+(1-a2)=a2+a=1.注:这里充分运用了1-a2=a这一降次的隐含条件.例2已知a2+a-1=0,求a3+2a2+3的值.解:由a2+a-1=0得a2+a=1.∴原式=a3+a2+a2+3=a(a2+a)+(1-a)+3=a+(1-a)+3=4.注:这里运用了隐含条件a2+a=1凑配代入而得解.例3已知m+n+k=0,求证:m3+m2k+n2k+n3-mnk=0.证明:…     

八年级数学单元测试题（人教版）

(测试范围:第十五章整式)测试时间:120分钟总分:100分一、细心填一填(每题2分,共20分)1.有一单项式的系数是2,次数为3,这个单项式可能是!!!!.2.x·2x4 (x2)3=!!!!.3.计算:(a-2b)(a2 2ab 4b2)=!!!!.4.(4x2y-2x3y)÷(-2xy)=!!!!.5.一个十位数字是a,个位数字是b的两位数表示为10a b,交换这个两位数的十位数字和个位数字,又得到一个新的两位数,它是!!!!,这两个数的差是!!!!.6.有一道计算题:(-a4)2,李老师发现全班有以下四种解法,①(-a4)2=(-a4)!(-a4)=a4·a4=a8;②(-a4)2=-a4×2=-a8;③(-a4)2=(-a)4×2=(-a)8=a8;④(-a4)2=(-1×a4)2=(-1)·2(a4)…     

1986年合肥市高中数学竞赛试题和解答

第试 一、选择题:(每小题5分,不选给1分) 1.等差数列{a。}的a:=3,a:。。=36,则a:+a。。等于(C), (A)36,(B)38,(C)39,(D)42。 2。设f(x)二xZ+x一z,A={。}1《n(200,n是整数,B={夕!夕=f(n),n〔A},jll.lJ集合Bn{2爪}m是整数}的元素的个数是(A),(A)100,(B)51,(C)36-(D)以上都不对。 f(。)二n么+n一2二(n+2)(n一1)丫(。+2)一(n一z)=3.,.f(n)必是偶数,又。。姜n时,f(m)羌f(n) 3.设a、日是两个平行平面,从a内取5点,从日内取4点,以这些点为顶点确定三棱锥,则这些三棱锥的最多个数是(i〕) (A)60,(B)80,(C)90- (D)120。 〔’考C二+C孟C幸+C孟…     

江苏省第十五届初中数学竞赛第1试试题及解答

初一年级一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.1.在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中,最大的是(　　)(A)-|-3|3　　　　(B)-(-3)3(C)(-3)3(D)-332.“a的2倍与b的一半之和的平方,减去a,b两数平方和的4倍”用代数式表示应为(　　)(A)2a 12b2-4(a b)2(B)2a 12b2-a 4b2(C)2a 12b2-4(a2 b2)(D)2a 12b2-4(a2 b2)3.若a是负数,则a |-a|(　　)(A)是负数　　　(B)是正数　　　(C)是零(D)可能是正数,也可能是负数4.如果n是正整数,那么表示“任意负奇数”的代数式是(　　)(A)2n…     

数学奥林匹克初中训练题(89)

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.设a>0,f(x)=xa-a(x+a)(x≥-a),记f(x)的最小值为m(a).若m(a)=-2006a,则a等于().(A)8020(B)8016(C)2006(D)20052.若(m+6)(m+5)-(n+6)(n+5)=2006m(m-1)-2006n(n-1),且m≠n,则下列四个结论中,正确的是().(A)m+n必不是一个常数(B)m+n=2006(C)m+n=42001107(D)m+n=22000157图13.如图1,⊙O的弦AB与CD交于点P,AO与CD交于点Q.若AO⊥CD,∠AOD=2∠PAC,则下列四个结论中,正确的是().(A)D、O、B三点共线(B)A、D、O、P四点共圆(C)P为△AOC的内心(D)QB⊥OC4.方程m2-n2+3m-7n-2=0的整数解(m,n)的个…     

整式的乘除检测题(A)

中学生数理化·八年级数学·华师大版一、选择题1.计算(-a2)5的结果是().A.-a7B.a7C.-a10D.a102.如果(a2bm)3=a6b9,则m等于().A.6B.6C.4D.33.下列各式计算中,正确的是().A.54÷5=54-0=54=625B.38÷33×33=38-3-3=33=27C.(-2)20÷(-2)17=(-2)20-17=(-2)3=-8D.(-a3)4=-a3×4=-a12     

30分钟智力冲浪

1.数p是10,12,q这3个数的平均数的23倍,则用含p的式子表示q是().(A)23p-22(B)43p-22(C)2p-22(D)2p 112.解关于x的方程a6x a=2 3x.3.若关于x的方程||x-2|-1|=m有三个整数解,则m的值是().(A)3(B)2(C)1(D)04.若关于x的方程m(x-m) n(x n)=0有无穷多个解,则m,n应满足的关系是.5.a,b,     

2003年高考数学综合训练试题

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设a为给定的实常数且|a|<2,那么集合M={x|x2-3|x|-a2+2=0,x∈R}的子集的个数是()(A)8.(B)12.(C)16.(D)15.2.设数列{an}是公比为a(a≠1)首项为b的等比数列,Sn是它的前n项和,则对于任意n∈N,点(Sn,Sn+1)()(A)在直线y=ax-b上.     

2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n.求a2+a4+…+a2n的值为().(A)3n(B)3n-2(C)3n2-1(D)3n2+12.若sinx+siny=1,则cosx+cosy的取值范围是().(A)[-2,2](B)[-1,1](C)[0,3](D)[-3,3]3.设f1(x)=2,f2(x)=sinx+cos2x,f3(x)=sinx2+cos2x,f4(x)=sinx2.上述函数中,周期函数的个数是().(A)1(B)2(C)3(D)44.正方体的截平面不可能是:①钝角三角形,②直角三角形,③菱形,④正五边形,⑤正六边形.下述选项正确的是().(A)①②⑤(B)①②④(C)②③④(D)③④⑤5.已知a、b是两个相互垂直的单位向量,而|c|=13,c·a=3,c·b=4.则对于任…     

10道有关数学方法运用的模拟题

1.已知非空集合A=｛x｜x2-4mx 2m 6=0,x!R｝,若A∩R-≠!,求实数m的取值范围.(R-表示负实数)2.关于x的方程x3-3x2-a=0有3个不同的实数解,求实数a的取值范围.3.已知a!R,求函数y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.4.当n!N且n≥3时,求证:n 13 n 14 … 2n1 2>1130.5.已知定点(M-1,2),直线l1:y=(a x 1),曲线C:y=$x2 1,l1与C交于A,B两点.记线段AB的中点为N,直线l2经过M,N两点,且在x轴上的截距为m,将m表示成a的函数,并求此函数的定义域.6.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)已知a=(1,1),b=(1,0),求f(a),f(b)的坐标.(2)求…     

2006年数学总复习质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.已知(1-m)2 |n 2|=0.则m n的值为().(A)-1(B)-3(C)3(D)不确定2.下列计算中,正确的是().(A)a3-a2=a(B)(a2)3=a5(C)a6÷a2=a3(D)a2·a3=a5图13.如图1,D是△ABC边AB上的一点,过点D作DE∥BC交AC于点E.若AD∶DB=1∶2,则BC∶DE等于().(A)1∶3(B)2∶3(C)3∶1(D)2∶14.据报道:1996年至2004年8年间,全国耕地面积共减少114000000亩.用科学记数法表示为()亩(1亩=6·667×10-2公顷).(B)1·14×107(A)1·14×106(D)0·114×109(C)1·14×1085.图2所列图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是().图26.…     

常见的几种数列的通项公式的求法

一、对于周期数列,先求其周期,再根据已知条件写出数列的通项.【例1】数列{an}中已知a1=1,a2=4且an+2=an+1-an(n是正整数)求a2004及数列{an}的通项公式an.解:∵an+2=an+1-an(1)∴an+3=an+2-an+1(2)由(1)+(2)得an+3=-an,∴an+6=-an+3∴an+6=an,∴6是数列{an}的一个周期.∵a1=1,a2=4,∴a3=a2-a1=3由an+3=-an,可知a4=-a1,a5=-a2,a6=-a3∴a2004=a334×6=a6=-a3=-3∴an=1(n=6k+1)4(n=6k+2)3(n=6k+3)-1(n=6k+4)-4(n=6k+5)-3(n=6k)(k为非负整数)二、对已知的递推关系式利用取对数,因式分解,取倒数、两边平方等方法进行变形构造成简单数列,再求通项…     

2008年中考数学模拟试题

一、选择题(每小题3分,满分36分)1.下列式子中结果正确的是().A.!4=±2B.(21)-2=-4C.!38=-2D.--2=22.下列算式中,正确的是().A.2a2-3a3=-a B.a2÷a·1a=a2C.(-2mn)3=-8m3n3D.2a-1=21a3.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于().A.25°B     

2003西部数学奥林匹克

(2 0 0 3- 0 9- 2 7—0 9- 2 8,乌鲁木齐)第一天1.将1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7,8分别放在正方体的八个顶点上,使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10 .求每一个面上四个数之和的最小值.2 .设2n个实数a1,a2 ,…,a2n满足条件∑2n -1i=1(ai 1-ai) 2 =1.求(an 1 an 2 … a2n) - (a1 a2 … an)的最大值.3.设n为给定的正整数.求最小的正整数un,满足:对每一个正整数d ,任意un 个连续的正奇数中能被d整除的数的个数不少于奇数1,3,5 ,…,2n - 1中能被d整除的数的个数.4 .证明:若凸四边形ABCD内任意一点P到边AB、BC、CD、DA的距离之和为定值…     

江苏省第十九届初中数学竞赛试卷（初三年级）

一、选择题(每小题7分,共42分.以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的序号填在题后圆括号内.)1.已知整数x,y满足x+2y=50,那么整数对(x,y)的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.方程2x-x2=2x的正根的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)33.在直角坐标系中,已知两点A(-8,3)、B(-4,5)以及动点C(0,n)、D(m,0),则当四边形ABCD的周长最小时,比值nm为().(A)-23(B)-2(C)-23(D)-34.设一个三角形的三边长为正整数a、n、b,其中b≤n≤a.则对于给定的边长n,所有这样的三角形的个数是().(A)n(B)n+1(C)n2+n(D)12n(n+1)5.甲、乙、丙、丁4人打靶,每人…     

江苏省第18届初中数学竞赛试卷初一年级(第2试)

一、选择题(每小题7分,共56分.以下每题的4个结论中,仅有1个 是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内.) 1.下面给出关于有理数a的三个结论:(1)a>-a,(2) ｜-a｜>0,(3)(-a)2>0.其中,正确结论的个数为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A)3　　　　(B)2　　　　(C)1　　　　(D)0 2.某商场经销一批电视机,进价为每台a元,原零售价比进价高 m%,后根据市场变化,把零售价调整为原零售价的n%,调整 后的零售价为每台(　　). (A)a(1+m%·n%)元　　(B)a(1+m%)n%元 (C)a(1+m%)(1-n%)元　　(D)a·m%(1-n%)元 …     

《数列与极限》测试题

一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.等差数列｛an｝中,已知a4=4,则前7项的和为()(A)28(B)56(C)14(D)不能确定2.在等差数列｛an｝中,若a3+a9+a15+a17=8,则a11=()(A)-2(B)-1(C)1(D)23.在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n的值为()(A)4(B)5(C)6(D)74.已知等比数列｛an｝的各项均为正数,公比q≠1,设则P=a2+2a9,Q="a5a6,则P与Q的大小关系是()(A)P>Q(B)P相似文献