一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

例谈不等关系在等式证明中的应用

我们在证明一些恒等式或者求解某些代数式时 ,如果从正面下手比较困难 ,可以考虑采用不等式的性质来得到等式 .道理很简单 ,即对于两个要求证明相等的量 A与 B,若能证明 A≥ B,又能证明 A≤ B,那么就可以得到 A=B.这是一种从侧面下手的迂回策略 .下面我们通过一些具体的例子来看看这种战术的效果 .例 1　设 sin2 A+ sin2 B=sin3( A+ B)且 0 相似文献   

由一个三角形不等式联想到的

在研究三角形不等式证明这个领域内 ,仅停留在探索一些简单不等式的证法技巧 ,总结一些解题规律上 ,这显然是不够的。我们应当在熟练掌握一些简单不等式证法技能的基础上 ,探索、证明、推理、创造性地研讨出一些新的结论。本文拟就一道三角形不等式来探讨一些新结论 ,以达推陈出新之目的。为此先证明下面的引理 :引理　设△ABC的三边长为a、b、c,内切圆半径为r ,半周长为 p ,求证　 pr ≥ 3 3。证明　∵ ( pr) 2 =(cot A2 +cot B2 +cot C2 ) 2≥ 3 (cot A2 cot B2 +cot B2 cot C2 +cot A2 cot C2 )=3 (cot A2 +cot B2 +cot C2 ) (tan …     

放缩应适度 证明就有路

放缩法证明不等式的思路是：要证明A≥B，关键是找到C，使C满足A≥C且C≥B．而为了找到相应的C，我们往往会碰到一些棘手的问题： （1）认准了某个C，虽然已证明A≥C，但怎么也证不到C≥B．事实上，C≥B根本就不成立，这说明放缩过了头；     

一个几何不等式的简证

文[1]给出了关于三角形中线的一个不等式,即“在△ABC中,成立不等式 ab/m_am_b+bc/m_bm_c+ca/m_cm_a≥4,等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。”下面利用上述结论证明文[2]中的一个几何不等式。题目设△ABC的重心为G,AG,BG,CG的延长线分别交三边BC,CA,AB于D,E,F,交△ABC的外接圆于A′,B′,C′,求证: A′D/DA+B′E/EB+C′F/FC≥1, 证明:设BC=a,CA=b,AB=c,AD=m_a,BE=m_b,CF=m_c。     

一道大学生数学竞赛题的初等方法探究

正问题对于ΔABC,求3sinA+4sinB+18sinC的最大值.这是一个形式简捷,内含丰富的三角不等式问题,被选为第三届全国大学生数学竞赛试题(数学类).解答:三角形三个角A,B,C的取值范围为(A,B,C)∈D={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α0,β0,γ0}我们首先考虑3sinA+4sinB+18sinC在D的闭包E={(α,β,γ)|α+β+γ=π,α≥0,β≥0,γ≥0}上的最大值.     

《大学语文》（本科）练习题（一）

一、单项透排.1.由一般原理推导出关于个别情况的结论,这样的论 证方法是 A.类比法B:对比法 C.演绎法D.归纳法2.在下列诗作中,以弃妇为抒情主人公的是 A.t短歇行》B.《上邪》 C.《氓)D.(关山月》3.先秦散文中,最多采用离言形式、最富浪漫色彩的 是 A.《论语)B.《左传》 C.《战国策》D.《庄子》4.屈原最有代表性的着作是 A.《湘夫人》B.《离骚》 C.《国慈》D,《涉江)5.赎形成的时代是 人.先秦时期B.汉代 C.唐代D.宋代6.提出“惟陈言之务去”的古代作家是 A.孟辐B.庄周 C.韩愈D.欧阳修7.我国古代最伟大的现实主义诗人是 A.屈原B.李…     

五种中项大小关系比较的几何模型

有五种平均数 ,在应用中十分重要 ,它们之间有怎样的大小关系呢 ?我们可以用几何方法加以证明 .在 a>0 ,b >0且 a≠ b时 ,不妨设 a 相似文献   

电场线相互平行的电场一定是匀强电场吗

贵刊2010年9期发表了"电场线平行的电场一定是匀强电场"(以下称作"原文")一文中,作者利用反证法来证明如图1所示的电场中,一个电量为+q的电荷在外力作用下,沿图中矩形虚线路径,从A点出发经B、C、D最后回到A,     

2005年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.使关于x的不等式x-3+6-x≥k有解的实数k的最大值是().(A)6-3(B)3(C)6+3(D)62.空间四点A,B,C,D满足AB=3,BC=7,CD=11,DA=9,则AC·BD的取值().(A)只有1个(B)有2个(C)有4个(D)有无穷多个3.△ABC内接于单位圆,三个内角A,B,C的平分线延长后分别交此圆于A1,B1,C1,则AA1cosA2+BB1cosB2+CC1cosC2sin A+sin B+sin C的值为().(A)2(B)4(C)6(D)8图14.如图1,ABCD-A′B′C′D′为正方体,任作平面α与对角线AC′垂直,使得α与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为S,周长为…     

托勒密(Ptolemy)定理与尤拉(Euler)定理的统一

尤拉定理: 若A、召、C、D为一直线_hjl顶次四点,则A子CD+AD·BC一AC·BD.这在几何中是一个苦名的定理,有户泛的应用,但它的证明却很简单.事实上,我们若设月召一a,力C一b,CD一‘+b+c)b+乙)了‘、了r、如图1则A压CD+AD·召C一a。+一ac+a乙+bZ+乙c一c(a+乙)+乙=(a+b)(b十e)=月C·BD即A压CD+月D·召C一、JC·召D. 现在我们提日_{一个问题,若A、ABCD构成一个同内接:,1:口LJ边形时,图1B、C、D四点不在一直线上而在一个圆周上,亦即当其结论是否仍旧保持?假定A召CD为一圆内接凸四边形,如图2连结AC、BD过召点作艺ABE一匕D召C,…     

错在哪里

1.南京师大附中袁文形来稿题:Ax“+Bxg+C刀“+D二+E夕+F=0表示圆的充要条件是 (A)A=C,B=O, D’+EZ一4F>0; (B)A=C斗0,B=0, (C)A=C今0,B=0, D’+EZ一4F>0, (D)A二C.寺0,B=0,F=0。 答案是选C。 答案错了I错在哪里? 举一反例: 方程lo0x2+100夕2+6x+6夕+5=0,显粉符合(C),但它不表示圆。这个方程经配方变形后为(x。-1;。,‘+(,+,;。,2+2丝 5000二0,无轨迹。 《平面解析儿何》(甲种木)第77页指出:方程解+犷十Dx+百y+F=0,当刀“+E“一4F>0时,表示一个圆;方程Ax“+Bx万+C刀2+Dx十E分十F二O①表示圆的必要条件是A二C今0且刀=O。…     

证明形如A+B=C的问题

证明几何题时遇到求证两条线段的和等于另一条线段的问题,常采用的两种方法:①合成法:即将短的两条线段A+B合成一条线段D,然后证明D=C成立;②分解法:即将C分解为两条线段D和E,C=D+E,使A=D,然后证明B=E成立,即化归为证明两条线段相等的问题.举例如下:例1如图:在等腰三角形ABC中,底边BC上有任意一点P,过P作PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,过C作CF⊥AB于F.求证:PD+PE=CF郾证法1(合成法):过C作CM垂直于DP的延长线于M,∠M=90°郾∵PD⊥AB,CF⊥AB,∴四边形DMCF是矩形郾∴AB∥CM,CF=BM=DP+PM郾∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵∠B=…     

《数学教学》数学问题第877题的变式探究

<正>作为《数学教学》的一个备受关注的栏目,“数学问题与解答”栏目已经成为启迪思维、开发智力的小智囊,也为初等数学研究提供了一些很好的素材.《数学教学》2013年第2期数学问题第877题为:问题1在锐角△ABC中,求证:cosAcos B/cos C+cos Bcos C/cos A+cos Ccos A/cos B≥3/2.     

数学问题与解答

1985年第2期问题解答 66.如图,已知四边形ABCD。四边形A瓦氏D:的四边形民几仇D:。…。四边形风一:B氏D。.求证:AD+nC+CB二AD,+D:C,+C,B:+B,D:+D:C:+C:马+…+B卜ID。+D.口。+C.B.汉D:+D,C:+C,B-AD+DC+CB塑A口1)同理可得 BID:+D:C:+C:B:A刀+DC+CB旦旦鱼AB(2)B,一,D,+DoC。+氏刀一AD干D口干口石一=刀._r召(n)CdB(1)+(2)+…+(”)得ADI」一D,C一+Cl刀1+BID:+D:C,+CZBZ+…刀AD+DC+CBB卜、D。+D。口.+氏BAD+刀C+CBqAB一+B,B:+…+B卜,B二1 ,C.起马芭又AS,众AB AD+DC+CB=AD:+D:(]:+CIB:+BID:+几B…     

2006年中考历史模拟试题(三)

一、选一选1.成书于东汉时期的数学著作是()A《.九章算术》B《.齐民要术》C《.天工开物》D《.本草纲目》2.被誉为“画圣”的中国古代著名画家是()A.吴道子B.顾恺之C.阎立本D.王羲之3.它是我国古代一部杰出的史学著作,它以“纪”“传”等体例进行编写,史料翔实,文笔生动,是后世编写史书的典范;鲁迅先生称其为“史家之绝唱,无韵之《离骚》”。这部史书是()A《.尚书》B《.春秋》C《.史记》D《.资治通鉴》4.根据以下四个片断联想:①前身称“司南”②宋代时加以改进和完善③曾在新航路开辟和郑和下西洋中发挥了重要作用④被称为“航海的眼睛…     

义务教育(人教版)九年级第一学期化学试题摘选

一、选择题饮用天然水理化指标测定结果1.日常生活中,我们经常饮用钙≥4.0mg/L镁≥0.5mg/L矿泉水。右图是某饮用天然水部分钾≥0.35mg/L钠≥0.8mg/L商标图,图中列出了理化指标。这偏硅酸≥1.8mg/L里的钙、镁、钾、钠指的是pH值(25℃)7.1A.单质B.原子C.分子D.元素2.下列粒子结构示意图中表示阳离子的是A.+1028B.+828C.+1228D.+9283.2003年10月15日,我国用“长征”二号F捆绑式火箭将“神舟五号”载人飞船成功送上太空。火箭用联氨(N2H4)作燃料,一氧化氮作氧化剂。反应的化学方程式是:N2H4+2NO点燃2X+2H2O则X的化学式A.N2B.NO2C.N…     

《数学通报》中六个数学问题的简证

正《数学通报》第926、977、1028、928、996号、1829号数学问题的证明过程较为繁琐,笔者在此给出上述五个数学问题的简证,其中926、977、1028号数学问题证明过程需要下式:在△ABC中,A、B、C为三角,则tan A/2 tan B/2+tan B/2 tan C/2+tan C/2 tan A/2=1(1)     

这样的两个三角形全等吗?

初中《几何》第二册(人教版)第49页有一道例题:已知,如图1,在△ABC 和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是高,并且 AC=A′C′、CD= C′D′、∠ACB=∠A′C′B′,求证:△ABC≌△A′B′C′.证明过程详见课本.若把例题中条件∠ACB=∠A′C′B′换成 BC=B′C′,那么     

光程最短对与称——一个熟悉的数学问题的再探索

直线l同侧有A、B两点,点C在l上,求AC+BC的最小值.这是一个大家都熟悉的问题,解答的方法是:作B关于l的对称点B',线段AB'的长就是所求的最小值.我们还能用数学知识来证明这是正确的,但有不少同学总会问,你是怎样想到找对称点的?在物理的光学中有“光程最短原理”,是指在均匀媒质里,光线从A到B所走的实际路程是连结A点到B点的所有曲线中“光程”最短的一条.这条原理又称“光行最速原理”.根据光程最短原理,从A射出的光线,经直线l反射到B(图1),设入射点为C1,AC1+BC1就是所求的最小值.下面用数学知识来证明它的正确性.延长AC1到B',使C…