平面平行的判定定理的简单证法

本文给出的证明,仅利用极简单的平面几何知识及反证法。这与《立体几何》教科书采用反证法及“直线与平面平行的性质定理”来证明两平面平行的判定定理相比,显得更直观自然,更易被学生理解和接受,下面给出证明。两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么,这两个平面平行。已知在平面M内,有两条相交直线 a、b都和平面N平行(如图)求证:M∥N     

如何画截面

画多面体的截面,就是作出一个符合要求的平面,使之与多面体相关的面相交,并找出这些交线。因此平面的基本性质和由它可以证明的下述定理便成了画截面的重要依据: 定理:三个平面两两相交得到三条直线,(1)如果其中有两条相交于一点,那么第三条也经过这点。(2)如果其中有两条平行,那么第三条也和它们平行。例1,     

立体几何证明中直观结论直接应用于逻辑证明的问题和对策

1问题 人教A版必修2等角定理(如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补)的推导过程得出:平面中的公理定理对于空间图形,需要经过证明才能应用.作业中的证明过程必须以书本上出现的公理定理为基础,不能以直观结论或自认为正确的结论作为证明依据.笔者在“直线与平面平行的判定和性质”教学中,学生作业中出现了几个典型的错误证明.现例举如下: 例1 求证:如果一条直线和两个相交平面平行,则这条直线和两个平面的交线平行.     

两个平面垂直的性质定理

两个平面垂直的性质定理王志强（河北省玉田一中０６４１００）两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．关于定理的几点说明：图１１．如图１所示，定理涉及两个平面α、β，两条直线ＣＤ、ＡＢ，简称为两面两线...     

怎样判别两条直线平行

一、背记知识 （1）平行线的定义在同一平面内，_____的两条直线叫平行线， （2）平行线公理推论 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么____，     

浅谈线面的平行与垂直

线、面的平行与垂直是立体几何中的重点,又是高考的重点和热点．现对钱面的平行与垂直关系作一阐述．l图示线／线一线“面一面｛面线上线一线上面一面上面2说明上图中箭头表示从条件推出结论．（l）平行：线／线推出线／面．所用定理是‘老平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线平行于这个平面”;线／面。面／面,所用定理是：“一个平面内两条相交直线都平行另一个平面,则这两个平面平行”报过来,面／／面。线／面是指“两个平面平行,则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面;”线／面。线／线所用定理是“若一…     

对高中课本《立体几何》中一个问题的看法

在高级中学课本《立体几何》全一册第24、25页中,给出直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.     

高考复习《直线、平面、简单几何体》(A版本)专题系列讲座

要点解读复习本专题我们应做到:(1)掌握平面的基本性质,会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图.能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系.(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理.掌握两条直线所成的角和距离的概念.对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离.(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握三垂线定理及其逆定理.(4)掌握两个平面…     

垂足定位的若干方法

在立体几何中,解决线面成角、空间距离(点与面、线与面、面与面)、体积等问题时,同学们苦于找不到相应的平面角和相应的距离而陷入困境,觉得无从下手.其实,这些问题的解决都与垂足定位有关.1辅助垂面法面面垂直的性质定理说明:如果2个平面垂直,那么,其中一个平面内的任意一点(或任意一条直线)在另一平面内的射影在两平面的交线上.为此欲找一点P(或者一条直线l)在平面α内的射影,只需过点P(或者过直线l)找一个平面β与α垂直,则点P(或者直线l)在α内的射影在两平面的交线上.例1如右图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,D为AB中点,将△…     

寻找平行线的四条途径

直线与平面平行的判定定理指出:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.直线与平面平行的判定定理是证明线面平行的依据,是证明面面平行的基础,使用的关键是在平面内要找到一条直线与已知直线平行,下面给出四种常见找平行线的方法.1.借助三角形中位线找平行线三角形的中位线平行于第三边,这是产生线线平行的有效途径之一.在平面几何中解决问题有一个常用的思考     

怎样证立体几何中的平行

立体几何中的平行包括直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行。用定义证(常常与反证法结合起来)是证明平行问题的方法之一。此外,还可根据题目给出的已知条件灵活应用下列结果:①公理4:②线与面平行的性质定理;③线与面垂直的性质定理;④两个平面平行的性质定理,把问题归结为证线与线平行.现举数例说明.     

祖暅原理的平面类比及其应用

<正>祖暅原理的表述为:"缘幂势既同,则积不容异".翻译成现代汉语就是:夹在两个平行平面间的几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.本文将其向平面类比,可以得到以下结论:定理夹在两条平行直线之间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度(或者截得的两组线段的长度和)总是相等,那么这两个平面图形的面积相等.     

两个基本原理的推广及应用

原理1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的长度总相等,那么这两个平面图形的面积相等.推广1 夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于这两条直线的任意直线所截,如果截得的两条线段的比总是一个常数.那么这两个平面图形的面积比等于这个常数.原理2(祖暅原理)夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的两个截面的面积总相等.那么这两个几何体的体积相等.     

几何基础知识概要

一立体几何 (一)平面的基本性质: 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只     

高中课本《立体几何》中一个问题的质疑

在高级中学课本《立体几何》全一册第24、25页中,有直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.关于这个定理教材上是这样论证的:(下图A)已知:a⊥α,b⊥α.求证:a∥b,证明 假定b与a不平行.设b∩a=O.b′是经过O与直线(?)平行的直线,∵a∥b′,a⊥α,∴b′⊥a.经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面a是不可能的,因此,b∥a.     

浅析线面平行的证明

<正>在立体几何中,平行、垂直的证明是每年高考必考的内容。事实上,对大部分同学来说,证明都是一个难点,本文就来谈谈线面平行的证明。证明线面平行,一般有两个定理可以用,一个是线面平行的判定定理,一个是面面平行的性质定理。一、线面平行的判定定理若平面外的一条直线与此平面内的一条     

直线与平面平行的判定定理的应用

直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.证明直线与平面平行,是立体几何中的一类基本问题.     

添辅助面的依据及应用举要

添置辅助平面是解证立几问题的重要手段,而关键面的添置,一般依据下列事实; 命题一立几公理1、2、3及其推论(见必修本P_2～P_4)。命题二过已知平面一平行线的平面簇与已知平面相交,则交线互相平行。命题三过已知平面的一平行线,有且只有一个平面与已知平面平行。命题四过已知直线上(或外)一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。命题五过两条互相垂直的异面直线中的一条,有且只有一个平面与另一条垂直。命题六一平面与两个互相垂直的平面之一垂直,则它与第二个平面的交线垂直于第一个平面。实践证明,教学中引导学生掌握好添辅助面的技巧,有利于提高他们的空间想象能力,具体说来,其应用有以下几个重要方面。     

平行出比例 比例定平行

同学们都知道平行线线段成比例定理及其逆定理,其内容是: (1)三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或其两边的延长线),所得的对应线段成比例． (2)如果一条直线截三角形的两边(或其两边的延长线)所得对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边．     

2006年高考部分立体几何试题解析

一、侧重于对简单线面关系的考查简单线面关系的知识主要出现在高考题的选择题和填空题中,考查考生直接运用公理、判定定理、性质定理以及推论等知识求解问题的能力.例1(重庆卷)对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与l A.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解当直线l