向量性质用处多

一、应用向量共线定理求解例1如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,求m＋n的值。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初27.已知直线m过⊙O的圆心,直线l⊥m,M是垂足,过l上两点A,B作⊙O的切线AC,BD,C,D是切点。 (1)若A,B在点M同侧,且AM>BM,当AC-BD=AB时,l与⊙O相切; (2)若A,B在点M两侧,且AC BD=AB时,     

三角形定比分边的性质及其推广——一道高考题的探究

2007年高考江西卷理科第15题:如图1,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交AB、AC于不同两点M、N,若(?)=m(?),(?)=n(?),则m+n的值为____.本文先探究其一般性结论.定理如图2,在△ABC中,O是边BC上的点,且(BO)/(OC)=λ,过点O的直     

与弧的中点有关的两个基本图形及应用

一、基本图形 基本图形1：如图1,A、B、C为⊙O上三点,点D为BC的中点,过点D作直线AB、AC的垂线,E、F分别为垂足,则AE=AF,BE=CF,DE=DF,AB＋AC=2AE=2AF．     

三角形两个性质的一般性推广

文[1]和文[2]对三角形的重心和内心进行了探究,得到了优美的性质.笔者在此基础之上进行了一般性的推广,写成下文,供同行们参考.性质1如图1,已知点O是△ABC内一点,且满足λ_1 (?) λ_2 (?) λ_3 (?)=O,过O作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且(?)=m(?),(?)=n(?),则λ_2/m λ_3/n=λ_1 λ_2 λ_3.     

谈谈一道奥林匹克试题的证明

第35届国际数学奥林匹克竞赛的第2题是一道几何题: △ABC是一个等腰三角形,AB=AC。假如(i) M是BC的中点,O是直线AM上的点,使得OB垂直于AB;(ii)Q是线段BC上不同于B和C的一个任意点;(iii)E在直线AB上,F在直线AC上,使得E、Q、F是不同的点且共直线。     

第35届IMO——赛题的探讨

第35届IMO有一道题 ABC是一个等腰三角形,AB=AC,假如: (ⅰ)M是BC中点,O是直线AM上的点,使得OB垂直于AB; (ⅱ)Q是线段BC上的不同于B和C的一个任意点; (ⅲ)E在直线AB上,F在直线AC上,使E、Q、F是不同的,且是共线的。     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

数学教学中的变式与创新

“新”与“旧”是相对的,创新要以一定的旧知识、方法和能力为前提,没有“旧”也就没有创新。因此,在教学过程中,教师应注重有关知识、方法、能力和数学思想的复习,选准“新”的生长点,利用“变式”为创新做好铺垫。例1(1)如图1所示,AB、AC是⊙O的两条弦,OA平分∠BAC。求证:AB=AC。(2)如图2所示,点A是⊙O外任意一点,过A作直线AB、AC,两直线分别交⊙O于D、B和E、C,且使OA平分∠BAC,求证:BD=CE。(3)如图3所示,点A是⊙O内任意一点,过A作直线AB和AC分别交⊙O于B、E和C、D,并使OA平分∠BAC。求证:BE=CD。利用上面这组变式…     

一道中考试题的解法探究

<正>题目(2013南京)如图1,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连结AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D.连结AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD.(1)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=9,BC=6,求PC的长.     

两直线垂直的一个充要条件及其应用

命题:A、B为直线m上的点,C、D为直线n上的点,则m⊥n的充要条件是:AC2-AD2=BC2-BD2.     

初中几何问题巧解——从一般到特殊

<正>同学们在解几何问题时,经常会遇到求两边和(差)最大(最小)值的问题．问题1,在△ABC中,AB=AC,边AC的垂直平分线分别与AB,AC相交于点M,N,AB=12,△BMC的周长为20,点P是直线MN上的动点,求PA-PB的最大值．问题2,在菱形ABCD中,AB=6,AC与BD相交于点O,AC上有一点N,且AN=2,点M在直线BC上,且■,点P是对角线BD上的一动点,求PM-PN的最大值．问题3,已知正方形ABEF的面积为4,正方形外有一点C,连接CE,BC,△ECB是等边三角形,正方形ABEF的对角线BF上有一点P,若使PC+PE的值最小,则这个最小值的平方为多少?     

对一道中考试题的几点思考

试题 如图1,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化,设AB垂直于地面时的影长为AC（假定AC〉AB）,影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论：①m〉AC;②m=AC;     

构造“8”字三角形求多个角的度数和

如右图,O是直线m、n的交点,在直线m上取A、C两点,使得A、C在O点的两侧;在直线n上取B、D两点,使B、D也在O点的两侧,连结AB、DC,便构成“8”字三角形,则∠1 ∠2=∠3 ∠4.利用这种等量关系,可以简     

以相似三角形为基点 探圆中等积式的证明

多年来 ,圆中等积式的证明问题 ,一直是各省市中考几何压轴题中的一种常见题型 .本文试以相似三角形作为问题化归的基点 ,通过三种代换 ,进而向基点转化的方法 ,对圆中等积式的常见类型的证法进行探讨 .1　基本型 :a·b=c·d或 ab =cd1.1　直接证相似例 1　已知 :如图 1,⊙O1 与⊙O2 内切于P点 ,过P点作直线交⊙O1 于A点 ,交⊙O2 于B点 ,C为⊙O1 上一点 ,过B点作⊙O2 的切线交直线AC于Q点 .求证 :AC·AQ =AP·AB .(2 0 0 4年武汉市中考题 )分析　要证AC ·AQ =AP ·AB △ACP∽△ABQ .连结PC ,过点P作两圆的外公切线MN ,则…     

线段、角

基础篇课时一　直线、射线、线段诊断练习一、填空题1.看图1填空:点C不在直线上;点在直线AC上;直线相交于点B.图1图22.如图2,直线AB、CD相交于点E,F是AB上另一点,图中直线有条;线段有条;以这些点为端点的射线有条.3.如图3,C、D是线段AE上两点,B为AC中点,则AC=(　　)BC=(　　)-(　　)=(　　)-(　　)-(　　).图34.已知线段AB,延长AB到C,使AC=3BC,反向延长AB到D,使AD=32AB,则CD是AB的倍,BC是DB的.二、选择题(只有一个答案正确):1.下列说法中正确的是(　　)(A)直线A、B相交于点C.(B)直线ab与cd交于点E.(C)直线a,b有公共点…     

对一道中考试题的探究

一、中考试题例1如图1,已知AB是⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB.(1)求证:AD⊥DC;(2)若AD=2,AC=$5,求AB的长.(2006年江苏省南通市课改实验区中考题)解析:(1)如图1,连接CB,由AB为⊙O的直径,知∠ACB=90°.∵CD切⊙O于点C,∴∠ACD=∠B,又AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,从而有∠ADC=∠ACB=90°,即AD⊥DC.(2)由(1)知Rt△ADC∽Rt△ACB'AADC=AACB,∴AB=AACD2=($25)2=2.5.二、试题探源上述试题源于几何第三册(人教大纲版)93页例2.例2如图2,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为…     

第35届IMO试题2的两种新解法

第35届IMO试题2: △ABC是一个等腰三角形,AB=AC。假如 (i)M是BC的中点,O是直线AM上的点,使得OB垂直于AB; (ii)Q是线段BC上不同于B和C的一个任意点;     

课本习题提示（第十四章）

习题14.1 5.易知AD=CD,故△ABC的周长=△ABD的周长 2AE.7.是轴对称图形.有两条对称轴,为这两条直线夹角的平分线所在的直线.8.b,d,f.9.建在AB的垂直平分线和公路的交点处.11.建在线段AB的垂直平分线和m、n的交角(锐角)的角平分线的交点处.12.点P也在边AC的垂直平分线上,因为可得PA=     

数学问题与解答

726．如图1，己知直线l与⊙O相离，AB为⊙O的直径，且AB⊥l，C为⊙O上异于A、B的一点，连AC交直线l于D，直线DE⊙O于E点．直线EB交直线l于F，直线AF交⊙O于G1直线GH//l，交⊙O于点H．求证：H、C、F三点共线．