隐含条件的解题功能

隐含条件在解题过程中显示着特殊的作用,本文结合实例介绍几种常见的解题功能。一、导向功能优先考虑隐含条件,易于找到思维入口、合理地选择思维方法、更加明确思维目标。例1.求函数y=|sinx|-cos~42x |cosx|的最值。析与解:本题似乎无从下手,根据解析式的特征,通过观察,计算,发现其隐含条件:f(π/4 x)=f(π/4-     

数学解题教学中思维能力的培养

数学解题教学是数学教学的重要组成部分 ,在培养学生思维能力上具有特殊功能 .本文从解数学题的一般思维过程 ,即“观察——联想——变换”,谈一些认识 .1　充分观察 ,精细审题 ,培养思维的深刻性 ,提高直觉思维能力观察即审题 ,是解题中首先进行的直觉思维活动 ,其目的是明确问题的已知条件和求解目标 .教师要引导学生注重探求数字、式子、图形的特征 ,已知的隐含条件或等价形式 ,问题本身的结构特点 ,应用题的数学语言表述等等 ,逐步提高学生的观察能力和直觉思维能力 ,发展思维的深刻性 .例 1　已知函数 f ( x ) =x21 + x2 ,那么f ( 1 ) …     

巧用构造法解题

构造法就是根据某种需要,把题设条件或求解结论设想在某个模型上,通过对新设想模型的研究推出结论的解题思维方法.构造法解题能够打破常规、另辟蹊径,获得简捷、明快、精巧的解答.它是一种很重要的数学方法,其应用范围很广.加强这种训练,可以培养我们的创造思维能力和数学转化思想.下面举例说明. 一、构造函数 例 1 设f(x)=x4 ax3 bx2 cx d,其中 a、b、c、d为常数,若f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,则(f(4) f(0))/4的值为 (A)1(B)4(C)7(D)8     

利用联想解数学题

一、直觉联想对某些数学题,若按常规思维方式解,则很难达到预期的效果.如能根据题目提供的信息,进行综合分析,运用直觉思维,领悟命题的结论,则能寻求到好的解题方法.例1已知f(x)=4x4x+2,求f(11001)+f(21001)+…+f(10001001).解析凭直觉思维看式子的特点,和式中函数f(x)的自变量满足11001+10001001=21001+9991001=…=5001001+5011001=1,从而可推测出关系式:f(11001)+f(10001001)=f(21001)+f(9991001)=…=f(5001001)+f(5011001)=常数,即f(k1001)+f(1001-k1001)=常数(1≤k≤500).事实上不难推得:f(k1001)+f(1001-k1001)=1(1≤k≤500),从而求得f…     

培养辩证思想 提高解答数学题目的灵活性

从辩证思维出发 ,运用对立统一、相辅相成、相互转换等策略 ,解答数学题目时 ,及时灵活地转换思维角度 ,不但有利于我们更加全面地、本质地认识数学问题 ,激发创造性思维 ,而且能够帮助我们迅速找到合理的解题思路 .下面结合具体题目介绍几种常用的数学中的辩证思维 .一、特殊与一般即通过探索或利用一般性结论 ,来求解特殊性结论 ;反过来 ,从特殊性结论入手洞察一般性结论 .例 1　已知 f ( a +b) =f ( a) . f ( b) ,f ( 1) =2 ,则 f2 ( 1) +f ( 2 )f ( 1) +f2 ( 2 ) +f ( 4)f ( 3) +f2 ( 3) +f ( 6 )f ( 5) +f2 ( 4) +f ( 8)f ( 7) =.分析 …     

注意数量特征 寻求解题捷径

在不少数学问题中,常出现具有某种特征性的数值,倘若解题者善于依据这些数值的特征展开联想,顺藤摸瓜,往往可迅速获得解题策略。本文列举数例以作说明。例1 设f(x)=4~x/(4~x+2)。求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)。分析:这个貌似吓人的题目,好象一时难以下手。但仔细分析自变量的取值,得到等差数列1/1001,2/1001,3/1001,…,1000/1001,且可知首末两项等距离的两项之和等于1,从而联想到寻找f(x)与f(1-x)的关系。     

该简捷时就简捷——优化分类讨论数招

分类讨论既是一种重要的数学思想方法 ,又是一种重要的解题策略 .它在中学数学中占有十分重要的位置 ,但由于分类讨论一般过程较为冗长、叙述繁琐 ,且极易在完备性上造成失误 ,因此应提倡在熟悉和掌握分类讨论的同时 ,克服思维定势、充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性 ,尽可能地简化或避免分类讨论 ,出奇制胜 ,达到“不战而屈人之兵”的目的 .下面结合一些实例试谈优化分类讨论的常用策略 ,向同行请教 .1　消去参数 ,回避分类讨论例 1　求函数 f (x) =| x2 -a|在区间[-1 ,1 ]上的最大值 M(a)的最小值分析 :f (x) =| x2 -a|在区间 [-1…     

构造复数巧解题

有些数学题.如果直接从条件到结论用定势思维去探求解题途径比较困难时,可以根据题设及其特点,构造出复数,从而得到独特的解题方法,使问题化难为易.例1 求函数 f(x)=(9 x~2)~(1/2) ((4 (5-x~2)))~(1/2)的值域.分析:可将根式的问题,通过构造复数化成模的有关问题.解:构造复数 z_1=3 xi,z_2=2 (5-x)i则 f(x)=(?)|z_1| |z_2|≥|z_1 z_2|=|3 xi 2 (5-x)i|     

分子有理化的若干应用

=log_a1/((x~2 1)~(1/2) x) =-log_a((x~2 1)~(1/2) x=-f(x)), ∴f(x)=log_a((x~2 1)~(1/2) x)是奇函数。 例1—例3解题的关键,都在于把题目中有关的代数式作了分子有理化的变换,否则求解非常困难。     

函数零点问题的求解策略

<正>函数的零点、方程的根、函数图象的交点问题是高考的热点.这三者之间形异质同,解题时要注意三者之间的互相转化.本文介绍解决此类问题的以下几种策略.策略1利用方程f(x)=0的根求解例1求函数f(x)={x²+2x-3,x≤0,ln x-2,x>0的零点个数.解当x≤0时,由方程x2+2x-3,x≤0,ln x-2,x>0的零点个数.解当x≤0时,由方程x²+2x-3=0,解得x=-3;     

不求反函数巧求解

求反函数是高中数学的一个难点,在求解有关反函数的题时,只要灵活应用互反函数的性质,我们则可以对反函数“避而不求”,下面具体介绍不求反函数巧解题的方法:一、求函数值【例1】若函数f(x)=x x2,则f-1(13)=.分析:利用反函数的定义域是原函数的值域,即有f-1(a)=b f(b)=a.解:由x x2=13,解得x=1,所以f-1(13)=1.二、求解析式【例2】已知f(x)=4x 5,求函数f-1(2x 3)的反函数的解析式.分析:利用互反函数的性质:y=f(x)的定义域为A,值域为B,则有f-1[f(x)]=x,x∈A,f[f-1(x)]=x,x∈B则可不求反函数快速解题.解:设y=f-1(2x 3),则f(y)=f[f-1(2x 3)]=2x…     

活用整体思想,优化解题过程

整体思想体现在数学解题中,不是急于分析问题的各个组成部分,而是将要解决问题看作一个整体,整个地考察问题的性质和条件,通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理以后,往往化难为易,化繁为简,达到顺利而又简捷地解决问题的目的,下面举例说明如何通过活用整体思想,提高解题效率.一、整体观察,化繁为简例1　已知函数f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=.分析与解:对于这个题目,如果一一求值,计算量较大.现在我们从整体考虑:由f(x)+f(1x)=x21+x2+11+x2=1,可知,f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,f(4)+f(14)=1,于是原式…     

高考中常考常新的永恒主题——绝对值问题的探求技法

绝对值是中学数学的一个十分重要的概念 ,它也是命题的永恒的主题 ,而且是常考常新 ,变化无穷 .如何正确地理解并运用绝对值的概念解题是高考应试的必备技能 .本文试图以一些各地的高考模拟试题为例 ,探索出绝对值问题的求解技巧与策略 .1　抓住定义　分类讨论例 1　已知 f(x) =1+logx3,g(x) =2 logx2 (x>0且 x≠ 1) .( )比较 f (x)与 g(x)的大小 ;( )若 |f(x) - g(x) |+f(x) +g(x) =4 ,求 x的值 .(1994年北京市高考模拟试题 )解　 ( ) f(x) - g(x) =logx(34x) .1当 0 0 ,f(x) >g(x) .2当 1相似文献   

例谈构造法解题的思维途径

"构造法"解题,就是构造数学模型解决问题.在中学的数学竞赛和高考题目中,它的应用十分广泛,特别有些技巧性强的题目,学生往往手足无措,难于下手.本文举例说明"构造法"解题的几种思维途径,供参考一、构造函数例1已知函数f(x)=x~2+2x+alnx.当t≥1时,不等式f(2y-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.解析:不等式f(2f-1)≥2f(t)-3(?)2t~2-     

与抽象函数有关的等式问题

有一类抽象函数问题 ,常把与抽象函数有关的等式作为条件 ,在高考试题中频繁出现 ,怎样利用好这些等式是解决此类问题的关键 .本文介绍处理这类问题的几种解题策略 .一、利用递推关系与抽象函数有关的等式看作递推式 ,利用其递推关系寻找新的等式 .例 1　已知 f ( x)是定义在正整数集上的函数 ,对任意正整数 x,都有 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1) ,且f ( 1) =2 0 0 2 ,求 f ( 2 0 0 2 )解 :利用 f ( x) =f ( x - 1) +f ( x +1)的递推关系可知 :f ( x +1) =f ( x) +f ( x +2 ) ,和 f ( x +2 ) =f ( x+1) +f ( x +3)两等式联立得 :f ( x +3) …     

例谈函数奇偶性与单调性问题的解题策略

在函数问题中,涉及奇偶性与单调性的问题比较多,本文列举几例,意在抛砖引玉,供大家学习与提高．解题策略:运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段．奇函数在对称区间上的单调性相同,且-f(x)=f(-x)．偶函数在对称区间上的单调性相反,且f(x)=f(-x)=f(|x|).例1求解方程(7x+3)5+x5+8x+3=0．     

不单调问题的解题思路

不单调是近几年的创新考点,题目往往以导数为载体,解题中分类讨论,转化思维,数形结合等思想方法有着广泛应用.为此特举例分析不单调问题的解题思路,供同学们学习时参考.题目(2009年浙江高考理科22题)已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1(k∈R).设函数p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.思路1利用"p(x)在(0,3)上不单调p(x)在(0,3)上有极值点"直接求解.     

例谈高考导数解题类型

导数是高中数学新教材的内容,它作为解题有力的工具使某些问题的求解变得简便.本文选取2004年全国的高考试题,举例介绍应用导数解答高考题的常见类型,供大家参考.　　一、求曲线的切线例1 　曲线 y=x3 -3x2 +1 在点(1,-1)处的切线方程为(　　).A.y=3x-4　　　　B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5解析 　由函数 f(x)=x3 -3x2 +1 导数为f′(x)=3x2-6x,f′(1)=-3,因此得(1,-1)处的切线方程为:y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.二、研究函数的单调性例2 　已知a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.解析 　函数 f(x)的导数 f′(x)= 2xeax +ax2e…     

注意变量范围 提高思维严密性

学数学讲究思维的严密性.在教学中,我发现许多学生题目做错的原因不是因为方法不当,而是在解题过程中忽略了某些变量的取值范围.因此,在教学中应引导学生注意变量的范围,提高思维的严密性,下面举例说明.1注意函数定义域例1已知f(x)=2 log3x(1≤x≤9),求函数y=[f(x)]2 f(x2)的最     

审题思考与解题设计

高考数学解答题从题设到结论 ,从题型到内容 ,变化多端 ,这就决定了审题思考的复杂性与解题设计的多样性 .一、审题思考1.明确目的性首先 ,必须了解问题的叙述 ,仔细考虑问题的主要部分 ,联系整个问题 ,尽量使其清晰明确 .其次 ,必须剖析已知条件与未知求解 (证 ) ,逐个考虑 ,并把它们联系起来组合考虑 .再次 ,必须把有关的概念、公式、定理、法则和方法尽可能地进行联想 ,以寻得最佳解题途径 .例 1　已知 f ( x)的定义域是 R,满足 1对任意实数 a,b都有 f ( a +b) =f ( a) +f ( b) ;2当 x >0时 ,f ( x) <0 .判断 f ( x)的奇偶性与增减性 ,…