一道课本例题引出神奇圆锥曲线的三个美妙结论

<正>人教2007年1月第2版,普通高中课程标准实验教科书A版,数学选修4-4,坐标系与参数方程,第38页例4:如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.笔者在探究此例题的解答思路时,看到|PA|·|PB|=|     

空间距离和角的向量求法

以向量为工具求空间距离和角可以避开高难度的思维和繁杂的推理,使解答过程顺畅、简捷,且解法固定．但是,其关键在于转化．一空间距离空间距离问题及其求解方法: (1)A、B两点之间的距离,可转化求向量AB的模． (2)求点O到直线CD的距离,可在CD上取一点 E,令CE=λED,由OE⊥CD或求|OE|的最小值得到参数λ值,以确定E的位置,则OE的模|OE|即为点O到直线CD的距离．     

一道课本例题引出圆锥曲线的三个美妙结论

<正>人教普通高中课程标准实验教科书A版(2007年1月第2版)数学选修4—4"坐标系与参数方程"第38页例4:如图1所示,AB,CD是中心为点O的椭圆的两条相交弦,交点为P.两弦AB,CD与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2,求证:|PA||PB|=|PC||PD|.     

参数法在数学解题中的应用

参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目中研究的数学对象发生联系的新变量——参数,再进行分析和推理,使问题得以解决的方法。在技校数学教学中,参数观点早已形成,用参数法解题比较普遍,但参数思想仅是零星分散地出现在技校数学课本中。对于无公式可套,又不能直接列式,用代数法也不奏效的较难数学问题,可用参数法加以解决。因为参数具有一种奇异的“活力”,它能协调、制约主元变量的变化,沟通条件与结论的关系。因此设参解题的目的就是揭示或沟通题目中数量之间的内在联系,将所求问题转化为参数问题,从而起到化繁为简…     

赛题中“双层最值”求法初探

“双层最值”是指求函数的最值的最大值(或最小值 )问题 ,又称“复合最值”.近几年在国内、外数学竞赛中常有“双层最值”出现 ,本文就几个赛题 ,谈一谈解题的构思 .1　转化法根据条件将问题转化为我们熟知的结论或常见的函数 .例 1　试求 u(p,q) =max{| 1 + p + q| ,| 4 + 2 p + q| ,| 9+ 3 p + q| }的最小值 .解 :设 f (x) =x2 + px + q,则| f (1 ) | =| 1 + p + q| ,| f (2 ) | =| 4 + 2 p+ q| ,| f (3 ) | =| 9+ 3 p + q|由 f (1 ) + f (3 ) -2 f (2 ) =2则 | f (1 ) | + 2 | f (2 ) | + | f (3 ) |≥ 2 1所以 max{| f (1 ) | ,| f (2 )…     

减元思想在多变量问题中的运用

<正>减元思想是指减少问题中变量的个数,将多元变量问题转化为一元变量问题,其实质是转化与回归思想.数学方法附属于数学思想,而数学思想又要通过数学方法来体现.本文通过具体的方法,结合实际教学中的典型例题,展现减元思想在多元变量问题中的运用.一、换元减元例1已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是.     

由一道高考题看极限思想的应用

<正>题目(2012年江西省高考题)在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则(|PA|²+|PB|2+|PB|²)/|PC|2)/|PC|²的值为()(A)2(B)4(C)5(D)10首先看命题组给出的参考解答:解法1如图1,在Rt△ABC中,因为D为斜边AB的中点,所以|CD|=1/2|AB|,又P为CD中点,则|CP|=|PD|.     

简析2000年全国高考数学(理)(22)题

2000年全国高考数学(理)(22)题:“如图,已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|。点E分有向线段所成的比为λ,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点。当2/3≤λ≤3/4时,求双曲线离心率e的取值范围。”     

垂直的意蕴

两直线互相垂直是解析几何中一种普遍而又重要的关系,领悟垂直的意蕴,把握好其与数量关系的相互转化,收到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果,启迪创新思维。一、D是△ABC的AB边的中点,且|CD|=1/2|AB|(?)AC⊥BC。     

一道充分体现解析几何学科特点的高考试题

2000年全国高考数学文、理两科的最后一道试题全面考查了解析几何中双曲线的概念和性质、定比分点坐标公式等基础知识,坐标法、参数法、消去法等基本方法,等式与不等式的变换等基本技能,全面考查了逻辑思维能力,运算能力,对图形的识别和处理的能力,将创新性、应用性、综合性适度结合,充分体现了解析几何的学科特点,具有一定的难度和较好的区分度,对今后中学数学教学及高考数学总复习有较好的导向作用.1.应用坐标法。建立坐标系,设定相关点坐标本题给出了两个已知的几何条件:在梯形 ABCD中|AB|=2|CD|;分有向线段(?)为定比λ的分点 E 与     

参数方程的三类应用

<正>在新课程中把参数方程作为选修内容供学生学习,我觉得是很有必要的,因为参数方程在解决某些圆锥曲线问题时起着很重要的作用,为我们多了一条思路和多了一个行之有效的方法.下面通过几个实例来说明其在解题中的应用.一、用参数方程解决某些等值问题.例1如图1,已知AB、CD是抛物线y⁼2Px(p>O)的两条相交于点P的弦,AB、CD与x轴的夹角分别为∠1,∠2,且∠1=∠2.求证:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.     

2000年高考数学（理）压轴题的解法

20 0 0年高考理科数学第 (2 2 )题 :图 1如图 1,已知梯形 ABCD中| AB| =2 | CD| ,点E分有向线段 AC所成的比为λ,双曲线过 C,D,E三点 ,且以 A,B为焦点 .当 23≤λ≤ 34时 ,求双曲线离心率 e的取值范围 .题目言简意赅 ,求的是离心率的取值范围 ,而建立坐标系求双曲线方程考生都敢下笔 ,但要综合运用数学知识解对也有一定难度 .此题有多种解法 ,下面提供不同于标准答案的几种解法 .解法 1　以 A为极点 ,射线 AB为极轴建立极坐标系 ,则双曲线的极坐标方程为 ρ= ep1 ecosθ(其中 p =c- a2c为焦准距 ) ,记p E = ep1 ecosθ>0 ,则 p C…     

变量代换解题的十种方法

变量代换是一种重要的数学方法,在不等式的证明,研究函数的性质及化简求值中应用较多.变量代换实质上是实施数学中的转化思想,即化生疏为熟悉,化未知为已知,化难为易,化繁为简,从而优化解题过程.值得一提的是,变换时一定要注意等价. 一、均值代换 例1 设方程ax2-4ax 1=0的两根为α、β,满足不等式|1gα-1gβ|≤1,试求实数a的取值范围. 分析:由α β=4,可设a=2十p,β=2-p(0≤p<2),注意到a=1/αβ方,此时可用p表示a,再根据p的范围确定a的范围.     

多重参数的新动向及其对策

近年来,在各省、市高考模拟考试或全国高考、会考中.出现了一个命题的新方向——探求多重参数互相制约条件的问题,这类问题形式多样、方法灵活、多变,技巧性强。学生普遍感到束手无策,本文试图通过一些具体的例子来阐述这类题型的解法与技巧. 一、巧妙转化.方程架桥 例1 已知圆x~2 y~2=1及双曲线.x~2-y~2=1.而直线y=kx b交二曲线于四个不同的点A、B、C、D(如图),为使|AB|=|CD|,求k、b应满足的条件. 分析:将|AB|=|CD|转化为线段,AD的中点M与线段BC的中点N重合,然后用韦达定理列方程架桥铺路,问题可迎刃而解. 解:将y=kx b代入x~2 y~2=.1.得 x~2 k~2x~2 2h·bx b~2-1=0. 故 x_Nx_1 x_2/2=-kb/1 k~2; 同理,将y=kx b代入x~2-y~2=1,得 x_M=kb/1-k~2由x_M=x_N,可得k=0或b=0.又因A、B、C、D是四个不同的点.故K,b应满足的条件是:k=0,0< |b|<1 或b=0,0<|k|<1.     

空间向量法巧解立几题

在高考指导中,大胆引进B版本教材的空间向量内容,且对这部分进行一定的挖掘,看似多花了时间,却体现了通解通法.“磨刀不误砍柴工.”学生乐于接受,教学效果也很好,就连平时很惧怕立几的学生,也都能信心十足.下面谈谈本人在教学中的具体做法.一、引进空间向量的内容,不必一一介绍,但应掌握如下几个公式的应用:①两直线所成角的求法向量AB和CD所成的角记为〈AB,CD〉,若AB=(x1,y1,z1),CD=(x2,y2,z2),则cos〈AB,CD〉=AB.CD|AB|.|CD|=x1.x2 y1.y2 z1.z2x12 y21 z12.x22 y22 z22=a.所以直线AB和CD所成的角为arccos|a|.特别地:AB⊥CD …     

等面积问题中的“转化思想”

<正>初中数学中的许多问题都可通过"转化思想"获得解决,本文通过例题说明如何利用转化思想解决等面积问题.1.同一个三角形可用不同方法表示面积例1如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知AC=4,BC=3,那么AB边上的高CD=____.     

与王芝平老师商讨

王芝平老师的这篇研究性教学的课例 ,给我留下了深刻的印象 ,该课例充分体现了教学的开放性 ,研究活动的主体性 .在整个教学活动中 ,老师只是学生学习的引导者、组织者和合作者 ,而放手让学生自己去探索、思考并提出问题 ,放手让学生去讨论疑点难点 ,在民主和谐的教学氛围中 ,真正实现了数学教学是数学活动的教学 .欣赏之余 ,笔者有两个问题与王老师和广大同仁们商讨 ,不当之处 ,敬请批评指正 .1 .在抛物线的一般的焦点弦中推导 |AB|≥ 2 p ,学生活动非常成功 .首先 ,学生 3猜想 |AB|=2p ,然后其他同学推翻这个猜想 ,其中学生 6能够用“极…     

巧用平面向量解立体几何问题

平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1如图1,AB、CD为异面直线,CD平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证:MN∥平面α.证明:因为CD平面α,AB∥平面α且所以在α内存在a、b使AB=a,CD=b,且a、b不共线,由M、N分别是AC、BD的中点,得MN=21(MB…     

最值问题常见错解剖析

众所周知，最值问题在中学数学教学中占有重要的地位．由于此类问题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，具有一定的深度和难度，一些学生在求解时常常出现种种错误，而且有的还相当隐蔽．现选取几种常见错误加以剖析，目的在于防患于未然．一、忽视变量的变化范围致误例IO为线段AB的中点，P为一动点，已知|AB|＝6，|PA| |PB|=10，求|OP|的最值．错解设|PA|=x，则|PB|=10-x，据三角形中线长公式，得∴当x=5时，|OP|min=4,|OP|无最大值．剖析取x=1∈(0.10)，即|PA|=1，|PB|=9，则|PB|-|PA|=8＞|AB|=6，矛盾…     

课本中一道例题引发的探究性学习案例——圆的相交弦定理在圆锥曲线中的延伸与拓展

在初三我们学过圆的相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等.即: 若圆O内的两条相交弦AB,CD相交于点P,则| PA|·|PB|=|PC|·|PD| 在人教版的选修4-4中有这样一道例题(课本第38页例4):