圆的两个性质在椭圆和双曲线中的推广

众所周知,圆有如下两个性质: 设P是⊙O上任一点,l是过点P的切线,R为圆的半径,则 (1)OP⊥l;(2)O到l的距离等于R.     

椭圆和双曲线的几个三角性质

在立体几何中，有关角与角的关系问题是中学数学研究的热点，而在圆锥曲线中，对于角的关系的研究并不多见．为此，笔者对椭圆和双曲线作了些研究，得到了几个重要的三角关系式，现说明如下，与读者共享．     

构造椭圆和双曲线解三角形

例1 在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为α,b,c,且2αsinB-√36． （1）求角A的大小． （2）若α=6,b＋c=8,求△ABC的面积．（2013年浙江卷·理）     

一道MO试题的另证和变形

题目在△ABC中,AB≠AC,设D是△ABC的外接圆在点A处的切线与BC的交点,E,F分别是过B,C作BC的垂线与AB的中垂线、AC的中垂线的交点.求证:D,E,F三点共线.     

一条"新线"的发现再研究

[1]给出了如下的命题：命题如图1,I是△ABC的内心,作AA1⊥AI交BC的延长线于A1,作BB1⊥BI交CA的延长线于B1,作CC1⊥CI交BA的延长线于C1,则A1、B1、C1三点共线.     

动态探究椭圆和双曲线的一个充要条件

1．引子 在人教版A版教材数学选修2—1的《椭圆及其标准方程》一章中，有这样一道例题：“如图1，设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0）．直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-4/9,求点M的轨迹方程．”     

对一个椭圆结论的探究及在双曲线中的类比

题目（结论1）设A,日是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上满足∠AOB=90°（O为中心,以下同）的两点,     

椭圆和双曲线中的异同点

椭圆和双曲线是圆锥曲线中的一对孪生姐妹,其定义只有一字之差,所以从定义到方程到性质等都有相似的一面,因此在学习了椭圆和双曲线后,我们可以进行一些研究,在各种不同的形式下寻找它们的共同特点.     

椭圆和双曲线的又一个优美性质

本文介绍笔者新发现的椭圆和双曲线的又一个优美性质．     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

椭圆x2/c2 y2 b2=1(a＞c＞6＞0,c=√a2-b2)内含于椭圆x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0)、双曲线x2/c2-y2/b2=1(a＞0,b＞0,c=√a2 b2)内含于双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,6＞0).所以,我们不妨把它们叫做"母子"椭圆和双曲线.经过探索研究,它们有如下一个十分有趣性质.     

椭圆双曲线和抛物线性质的相关性

着重从椭圆，双曲线，抛物线二种曲线的统一定义规则二种曲线之间的相互演变规律两方面着手。研究了二种曲线之间一系列性质的内在联系。     

椭圆、双曲线的折射光学特性

用几何方法和费马原理讨论了椭圆、双曲线的折射光学性质。     

椭圆旋转、双曲旋转与变换群

在仿射平面中,得到保持椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1或双曲线xy=c不变的仿射变换的全体对于变换乘法分别构成一个变换群,及在此群下的图形不变性质.     

椭圆、双曲线有关切准点的一个性质

将椭圆中有关切准点的一个性质推广到双曲线上,并发现了椭圆与双曲线另外一个有关切准点的性质。     

“母子”椭圆和双曲线的有趣性质再探

椭圆b^2x^2＋c^2y^2=c^2b^2（a〉c〉b〉0,c=√a^2-b^2）内含于椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）,双曲线b^2x^2-c^2y^2=b^2c^2     

拟整环的因子分解问题

本文定义了拟整环为无零因子的交换环,讨论拟整环因子分解唯一性问题,得到了拟整环S是唯一分解环的充分必要条件。     

拟严格凸和拟光滑的Banach空间

引入了拟严格凸、拟光滑、拟非常光滑空间以及拟LUR和拟弱LUR空间等概念,推广了K—严格凸、k—光滑、k—非常光滑和LKUR空间的一些结果,并给出了Banach空间为自反空间的一些充要条件。     

双曲线焦半径公式的最新应用

设双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F_1,F_2,离心率为e,P为双曲线上一点,其横坐标为x_P,则当xp≥a时,|PF_1|=a xpe①,|PF_2|=-a xpe②;当xP≤-a时,|PF_1|=-a-xpe③,|PF2|=a-xpe④．     

三分角与双曲线

三等分角问题是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一。三分角问题虽是无解的，但人们在研究三分角的过程中发现了双曲线。章就三分角问题分析了三分角双曲线的性质、机械作图法并在此基础上研究对某一角的任意等分问题。     

相贯线中用圆弧代替双曲线近似程度的误差估计

两圆柱相交时其表面交线一般情况下是空间四次曲线。当两圆柱的轴线垂直相交时，其表面交线在与两轴线平行的平面上的投影一般重影为双曲线，常用面上找点法作出。工程上有时为了简化作图，常用两圆柱中大圆柱的半径所作的圆弧来代替双曲线。这种代替有时两者的形状相差较大。本文通过正交两圆柱表面交线数学表达式及投影图、误差曲线图等多方面的考察分析，提出在投影图上使用圆弧代替双曲线的合适范围与条件。