勤于思考 求得真知

<正>数学问题中往往会有一些隐含的条件,如果在解题时考虑不周,就可能出现错误.这里举一例说明解题中勤于思考的重要性.题目已知关于x的方程(a~2-1)(x/x-1)~2-(2a+7 )-(x/x-1)+1=0有实数根,求a的取值范围.本题意图是考察一元二次方程的定义、判别式和整体换元的思想.部分学生因为是关于x的     

“分式方程”典例赏析

例1已知实数x满足x2 1x2 x 1x=0,试求x 1x的值.解析:可将x 1x看作一个整体,设它为y,得y=1或-2,当x 1x=1时方程无解,则x 1x只能等于-2.此题由解分式方程演变而来,暗设陷阱,解题时,若忽视“x是实数”这个条件,将求得的值不加以检验直接写出,则前功尽弃.例2若关于x的分式方程x-1x-2-x-2x 1=2x ax2-x-2有唯一的实根,则()(A)a可为任何实数.(B)a=-7或a=-1.(C)a≠-7且a≠-1.(D)a≠-7或a≠-1.解:将分式方程化为整式方程可得x=a 52,由原方程中x≠-1,且x≠2,得a 5≠-2且a 5≠4,即a≠-7且a≠-1,故选择(C).例3当k为何值时,关于x的分式方程xx 1=4x kx2 …     

分式方程中的参数三讲

1．求参数的值 例1已知关于x的方程x/x-2＋x-2/x=a-2x/x^2-2x恰好有一个实数根,则实数a的值为_.     

错在哪里

<正>题目已知定义域为R的奇函数f(x),满足■下面四个关于函数f(x)的说法:(1)存在实数k,使关于x的方程f(x)=kx有6个不相等的实数根;(2)当-1f(x_2);(3)当x∈(0,a]时,f(x)的最小值为1,则a∈[1,5/2];     

两招破解“三根问题”

<正>在初中数学中,我们常遇到关于方程有三个实数根的问题,尤其是绝对值方程的"三根问题"较多.解决这类问题常用两招:一是运用数形结合思想,构造函数,画图求解;二是运用转化思想,把问题转化为一元二次方程的根的判别式求解.一、图象法例1关于x的方程x²-|x|+a=0有三个不同的实数根,求实数a的值.分析方程x2-|x|+a=0有三个不同的实数根,求实数a的值.分析方程x²-|x|+a=0有三个不同     

错在哪里

题目　当a取何值时,关于x的方程:xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数解?错解　去分母,整理得2x2-2x+a+4=0.因为原方程只有一个实数解,所以Δ=4-8(a+4)=-8a-28=0,∴a=-72.剖析　可化为一元二次方程的分式方程只有一个实数解需要考虑两种情况:一是所化成的一元二次方程有两个相等的实数根.二是原方程中未知数有两个不同的取值,其中一个是增根,另一个是原方程的实数解,情况二往往被同学们所忽视.正确解法　去分母,整理得　2x2-2x+a+4=0.Δ=0时,解得a=-72.此时方程的根是x=12;若x=0时,代入2x2-2x+a+4=0,解得a=-4.此时,x1=0,x2=1,x1=0为增根,原…     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

数学综合题归纳与训练 一、代数综合题

代数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型 .近几年的中考大题多以代数综合题的形式出现 .解代数综合题必须要有科学的分析问题的方法 ,一般分为认真审题、理解题意 ,探求解题思路 ,正确解答等三个步骤 .而在解题中常用的转化、数形结合、分类讨论、方程等数学思想是解代数综合题的灵魂 .1　方程与不等式的综合例 1　已知关于x的方程x2 + 2x + m2 - 1x2 + 2x - 2m=0 ,其中m为实数 .(1)当m为何值时 ,方程没有实数根 ?(2 )当m为何值时 ,方程恰有三个互不相等的实数根 ?求出这三个实数根 .分析 :第 (1)问需用一元二次方程根的判别式…     

巧设主元求范围

主元是相对于多个变元而言的 ,解题时要从多个变元中选择一个变元作为主元 ,而把其余变元看作已知量 ,即为主元法 .巧变主元 ,即从另一个方位重新思考问题 ,使问题迎刃而解 .本文通过典型例题的分析与求解 ,介绍主元变换的常用技巧 .一、主元确定 .若一个已知式有多个变元 ,从中确定一个与结论相关的变元或表达式为主元 ,可排除干扰 ,明确解题目标 .例 1　设对所有实数x ,不等式x2 log28(a 1 )a 2xlog22aa 1 log2(a 1 ) 2a2 >0恒成立 ,求实数a的取值范围 .分析与略解 :本题若用二次函数性质来解 ,较为复杂 ,若观察到各项系数中都含…     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…     

构造一元二次方程巧解竞赛题

构造一元二次方程解题是一种常用的解题方法,这种方法的关键是根据题目中的一些条件来构造一元二次方程,从而达到将问题化难为易、化繁为简的目的.下面举例说明:一、利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程当题目中含有x1 x2=p、x1x2=q时,则可以利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程来解决.例1已知a、b、c、d为实数,且满足2c-a=b,c2 14d2=ab,求证:a=b.证明:由已知a b=2c,ab=c2 14d2得a、b是方程x2-2cx c2 14d2=0的两根.∵a、b、c、d为实数,∴Δ=4c2-4(c2 14d2)=-d2≥0.∴d2≤0.又因为d2≥0,d2=0,即△=0.∴方程有两个相等实根,即a=b.二、利用…     

学习一元二次方程三注意

一元二次方程是中学数学的主要内容,在初中代数中占有很重要的地位.同学们在学习这部分知识时,需要注意以下三个问题.一、一元二次方程成立的条件一元二次方程的一般形式是ax2 bx c=0(a≠0),其中a≠0是一元二次方程成立的必要条件.例1关于x的方程m2x2 (2m 1)x 1=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.错解:由题意得Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14.分析:解题时忽视了m2≠0这个条件,导致错解.解:因为原方程有两个不相等的实数根,所以原方程满足m2≠0且Δ=(2m 1)2-4m2=4m 1>0,解得m>-14且m≠0.[练习]m为何值时,关于x的方程m x2-3m x m 5=0有…     

二次方程及其相关问题的逼近求解策略

逼近是一种基本且重要的解题思想 ,伴随逼近思想并由此而产生的数学解题方法称之为逼近法 .多年来 ,在各级各类初中数学竞赛中 ,经常遇到用逼近法求解二次方程及其相关问题 .本文拟对其常见题型及解题策略做一浅略介绍 ,以飨读者 .1　利用判别式逼近 ,出奇制胜例 1　当a、b为何值时 ,方程x2 2 ( 1 a)x ( 3a2 4ab 4b2 2 ) =0有实数根 ?( 1 987年全国初中数学联赛试题 )解　因为方程有实数根 ,所以判别式Δ =4 [( 1 a) 2 - ( 3a2 4ab 4b2 2 ) ]=4 ( - 1 2a- 4ab - 4b2 ) =- 4[( 1 -2a a2 ) (a2 4ab 4b2 ) ]=- 4[( 1 -a)…     

判别式应用五注意

判别式是中考的重点内容,解题时,同学们常因考虑不周而出错,本文对其中容易出错的地方进行剖析,希望引起注意． 1．注意参数的隐含范围例1 若关于x的方程x2-2(kx)~(1/2)-1=0 有两个不相等的实数根,求k的取值范围．错解由方程有两个不相等的实数根,得     

“一元一次方程”综合测试题

一、选择题1.若关于x的方程(2k-1)x2-(2k 1)x 3=0是一元一次方程,则k的值为().A.0B.1C.12D.22.若关于x的方程4m-3x=1的解是-1,则m的值为().A.-2B.-12C.-1D.13.某件商品连续两次降价10%,两次降价后该商品的售价为a元,则该商品的原价为().A.0.92a元B.1.12a元C.a1.12元D.0.a81元4.     

挖掘限度和类别特征,打开求解之门

中学阶段数学内容中,有一些有关求方程的整数解的题目,因其非常规形式使得求解很困难,然而我们此时如果注重探索挖掘和灵活利用数或数式的限度和类别特征,就能柳暗花明,打开求解之门·本文针对这类问题,就如何找到其解题方向介绍几例,仅供参考·例1:用[x]表示不大于实数x的最大整数,解方程lg2x-[lgx]-2=0的实数根·解:∵[lgx]≤lgx∴lg2x-[lgx]-2≥lg2x-lgx-2 lg2x-lgx-2≤0-1≤lgx≤2·又∵lg2x=[lgx] 2,∴lg2x∈Z lgx=-1、0、1、2、3、2·检验得知:lgx=-1、3、2时满足方程lg2x-[lgx]-2=0,故所求的解为x=10-1,x=103,X=102·*思维亮点:①通…     

2006年湖北卷第10题的解法探究及应用

题目:关于x的方程(x~2-1)~2-|x~2-1| k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根,其中假命题的个数是A.0B.1C.2D.3分析:从方程的整体来看,可通过参数替换,将其转换为二次方程的结构t2-|t| k=0(令t=x2-1),但其含有绝对值,若采用分类讨论来去绝对值,再由二次方程实根分布的知识来处理,势必很烦琐,倘若考虑方程实根的几何意义,采取数形结合,便可迅速获解.图1解:令t=x2-1(t≥-1),则原方程可化为t2-|t|…     

逆向思维巧解至少问题

解某些数学问题,当从正面分析难奏效时,不妨转而从问题的反面去思考,这种思维方式可称为逆向思维。 例1.若三个方程x~2 4ax 3-4a=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0中,至少有一个方程有实数解,试求a的取值范围。 分析:三个方程中至少有一个方程有实数解共有七种可能,逐一讨论相当繁琐,若从反面考虑——三个方程都无实数解,则情况就变为一种。     

韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等