“好集”妙解及其它

近来在一本杂志上看到这样一道题 :题目　U ={1,2 ,… ,10 },A、B都是U的子集 ,若A ∩B =Φ ,称集合对 (A ,B)为“好集” ,问这样的好集有多少 ?解法一　用分类思想若A为空集 ,这样的好集共有C01 0 (C01 0 … C1 01 0 ) ,若A有 1个元素 ,则这样的好集个数为C11 0 (C09 … C99) ,… ,若A有 10个元素 ,这样的好集共有C1 01 0 种 ,于是所有好集的个数为C01 0 (C01 0 C11 0 … C1 01 0 ) C11 0 (C09 C11 0 … C99) … C1 01 0 =C01 0· 2 1 0 C11 0 · 2 9 … C1 01 0 =( 2 1) 1 0 =3 1 0 .解法二　联想解法一后面结果…     

公式S=(n(n-1))/2的用法

初学几何的同学都学过了公式S=n(n-1)2,下面我们就其在《几何》第一章中的用法加以说明.一、确定线段条数例1　图1中有几条线段?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以图1中有6条线段.图1二、确定连线条数例2　有四个点,每三个点都不在一条直线上,则过其中任意两个点画直线,可以画几条?解:由公式S=n(n-1)2(n代表点数,n≥2)知:n=4时,S=4(4-1)2=6.所以任过两点作直线,可以作6条.三、确定角的个数例3　如图2所示,图中有几个角?解:由公式S=n(n-1)2　　(n代表边的条数,n≥2)知:图2n=4时,S=4(4-1)2=6.故图2中有6个角.四…     

02年绍兴县初中数学竞赛(初一、初二、初三)

一、选择题1.当x= 时,代数式(4x3-2005x-2001)2003的值是( ) (A)0. (B)-1. (C)1. (D)-22003. 2.如图1,梯形ABCD中,底AD=5,BC=11,B1,B2,…,B100依次为BC上的任意点,A1,A2,…,A99依次为AD上的任意点,顺次连接AB1,B1A1,A1B2,…,B100D,则图中阴影部分面积与未画阴影部分面积比为( )     

利用一个恒等式巧解几道竞赛题

则有介”一1二艺a。十习A、(:)2)(1)落=1七.1:对任意n个数乡,,bZ,…b。,显伟月冈」打证 本文给出一个代数恒等式,并用于解几道国内外数学竞赛题.,叮1,…,al入一 定理设数或复数,令。。为任意一组实A,=艺无=1,然有恒等式:习b‘去 ‘.1由于T‘=(i 1)(S‘ ,一l),(i=i,2,二,:),于是有但习(,一i)b‘二枯一1介习习石‘(,)2),U二=叉 云=1 介 11_下一二一述’,十i=习(S‘ ,一1) 1 Ji,Jl犯一卜﹄翻协一,曰n t=1因此 (n》七=1‘目1月二艺(S￡一1)二T。 1一(: 1),:习b‘=习fb‘ 份一J七习习叭 手=12)。 乞忿1再由T。 1七=1一‘=1=(,: 2)S,‘ :一(…     

k号球面的几个有趣性质

点集A={A1,A2,,An}的n个点在以O为球心R为半径的球面上,我们称该球为有限点集A的外接球,该球面记作S(O,R).点集A={A1,A2,,An}(n≥3)中任意除去一个点A j(1≤j≤n),其余(n?1)个点组成的集合,称为点集A的最大真子集,记作Ωj.n个点共圆时,取圆心为球心,为上述说法的特例.在以上约定下,我们给出:定义共球有限点集A={A1,A2,,An}的外接球面为S(O,R),若点H满足1niiOH OA==∑,(1)称H为点集A的垂心;若点E k满足11nk iiOE OA=k∑=,(2)称以点E k为球心,R/k为半径的球面为点集A的k号球面,记作S(Ek,Rk).若点(1,)E jk≤j≤n k∈N+满足11…     

容斥原理在中学数学中的应用举例

1引入1.1加法原理设A是一个有限集合,如果Ai(i=1,2,s)是A的子集,且i∪=S1Ai=Ai∪A2∪∪AS=A,Ai∩A j=?(i≠j)则称{Ai|i=1,2,…s}是A的一个分类(或称为划分),通常说为:A=A1+A2+…+AS,每个Ai都称为这个分类的一个类,关于集合的分类,我们有如下的基本原理:加法原理设{}A1,A2,…AS是有限集合A的一个分类,则有:A=A1+A2+…AS,其中A表示集合A中的元素个数.1.2加法原理的推广设A1,A2是两个有限集合,显然有:212121iiA A A A A=∪=∑?∩.上式的右边表明:在计算A1∪A2时,2121iiA A A=∑=+中把A1∩A2中的每个元素个数重复计算一次,因…     

一道集合竞赛题的随想

1问题的引入 题目 记号｜X｜表示集合X所含元素的个数．设｜X｜=n（n∈N＋）,X的全部子集为{A1,A2,…,Am}（m=2^n）．已知如下的子集交集的元素个数之和.     

容斥原理在集合间对应关系的应用

已知有一个集合S={a1,a2,a3},S有两个子集A和B,且A∪B=S,求A,B的组合情况个数．——改自1993年全国高中数学联赛     

2004年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)数学(理工农医类)

一、选择题 :每小题 5分 ,共 60分 .1.设集合M ={(x ,y) |x2 y2 =1,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) |x2 -y =0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 42 .函数y =|sin x2 |的最小正周期是 (　　 ) .(A) π2 　　 (B)π　　 (C) 2π　　 (D) 4π3 .设数列 {an}是等差数列 ,且a2 =-6,a8=6,Sn 是数列 {an}的前n项和 ,则 (　　 ) .(A)S4 相似文献   

2005年河北省高中数学竞赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.等差数列{an}中,Sn为an的前n项和,S4=1,S8=4.则a2002+a2003+a2004+a2005的值为().(A)20203(B)20205(C)20207(D)202012.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+10)=f(x)+f(5-x).若f(5)=0,则f(2005)的值为().(A)2000(B)2005(C)2008(D)03.下面有3个命题:①三棱锥的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3>S4;②任意四面体均有外接球;③过两异面直线外一点有且只有一条直线与两异面直线相交.其中,真命题的个数为().(A)0(B)1(C)2(D)34.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥B1C.则A1B与平…     

高考集合与简易逻辑试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1理解集合、子集、交集、并集、补集的概念;了解空集、全集和属于、包含、相等关系的意义;掌握有关术语和符号,能正确地表示集合.2理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解四种命题及其相互关系,掌握充要条件的意义.下面介绍高考集合与简易逻辑试题的考点及其解法分析.考点1　求集合元素个数例1　(2000年新课程卷高考题)设集合A={x|x∈Z,且-10≤x≤-1},集合B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是(　　)(A)11.　(B)10.　(C)16.　(D)15.解析:对任意两个有限集合A,B,则有card(A∪B)=card(A)+car…     

一个求子集个数的计数公式

众所周知 ,对求有限集的子集个数问题 ,有以下结论和计数公式 :结论 1　设Ａ =ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ (其中ｎ∈Ｎ ) ,则集合Ａ的子集个数为 2 ｎ;非空子集个数为 2 ｎ-1 ;真子集个数为 2 ｎ-1 ;非空真子集个数为 2 ｎ-2 .面对求含有某几个指定元素的集合的子集个数问题 ,通常是以穷举法求解的 .但集合元素较多时 ,用穷举法求解易重复和遗漏 .解决这一类问题有没有统一的计算公式呢 ?本文得到以下结论和计数公式 :结论 2　设ｍ ,ｎ ∈Ｎ ,ｍ <ｎ ,Ｂ ={ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ} ,则(1 )满足条件 {ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｍ} Ａ Ｂ的集合Ａ的个数是 2 ｎ…     

数学奥林匹克初中训练题(73)

第一试一、选择题 (每小题 7分 ,共 42分 )1.实数a、b满足ab =1,记M =11+a2 + 11+b2 ,N =a21+a2 + b21+b2 .则M、N的关系为 (　　 ) .(A)M >N　　　 (B)M =N(C)M 相似文献   

数学奥林匹克高中训练题（133）

第一试 一、填空题(每小题8分,共64分) 1.方程(1+3x+32x+...+32 010x)/(1+3-x+3-2x+...+3-2 010x)=3的解为x= __. 2.若实数x、y满足y2=4x,则(y)/(x+1)的取值范围为__.3.集合A=x,yy=1-x ,y=1-x2的子集个数为__.     

05年全国统考理科数学(必修 选修Ⅱ)客观题简答

(1)复数2-i31-2i=()(A)i(B)-i(C)22-i(D)-22 i解:分子提取i得2-i31-2i=i(-1-2i2 i1)=i选(A)(2)设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是()(A)S1∩(S2∪S3)=Φ(B)S1(S2∩S3)(C)S1∩S2∩S3=Φ(D)S1(S2∪S3)解:选取集合S1={1,2,3},S2={2,3,4},S3={3,4,5},I={1,2,3,4,5},则S1={4,5},S2={1,5},S3={1,2},易检验只有(C)成立,故选(C).(3)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为()(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π解:设球半径R,圆半径r,则R2=1 r2由πr2=π,故r2=1.∴R2=2∴4…     

闭折线K号心的一个重要性质

设A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2…AnA1.由闭折线A(n)的任意m(1≤m≤n)个顶点组成的集合称为闭折线A(n)的顶点子集.把闭折线A(n)的所有顶点组成的集合Ω=A1,A2,,An(称为A(n)的顶点全集)任意分成两个非空集合Ω1、Ω2,则Ω1、Ω2称为闭折线A(n)的互补顶点子集.     

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理科全国卷Ⅰ)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数2-i31-2i=()(A)i(B)-i(C)22-i(D)-22+i2.设I为全集,S1、S2、S3是I的3个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是()(A)CIS1∩(S2∪S3)=(B)S1CIS2∩CIS3(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=(D)S1(CIS2∪CIS3)3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为()(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π4.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是()(A)(-22,22)(B)(-2,2)(C)-42,42(D)-18,…     

2005年普通高校招生全国统一考试理科数学试题（全国卷Ⅰ）及参考答案

第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面论断正确的是().(A)CIS1∩(S2∪S3)=(B)S1(CIS2∩CIS3)(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=(D)S1(CIS2∪CIS3)2.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为().(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π3.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是().(A)(-22,22)(B)(-2,2)(C)(-24,24)(D)(-18,18)图14.如图,在多面体ABCDEF中,已…     

相异代表系一个定理的网络证法

设 A={a_1,…a_m)是任一集合,共元素各不相同,作 A 的子集的集合 S={s_1…s_m},在 s_1中各取一个元素做代表,做成一个代表系,若代表系中的元素各不相同,这个代表系称为相异代表系,简写为 SDR,P.Hall 证明了下面的定理[1]:“SDR 存在的充分和必要条件是 S 中任意 k(k=1,2,…n)个元素,其合集至少含 k 个相异元素”     

2003年高考数学综合训练试题

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设a为给定的实常数且|a|<2,那么集合M={x|x2-3|x|-a2+2=0,x∈R}的子集的个数是()(A)8.(B)12.(C)16.(D)15.2.设数列{an}是公比为a(a≠1)首项为b的等比数列,Sn是它的前n项和,则对于任意n∈N,点(Sn,Sn+1)()(A)在直线y=ax-b上.