一类对数方程的推广

一次，老师在数学课上要我们解方程lg（x＋11）＋1＝lg（11x－1）．解原方程可变为得原方程的解为x＝111．如果把其中的11变成10或9时，结果如何？变式（1），解方程lg（x＋10）＋1＝lg（10x－1）．解原方程可变为lg（10x＋100）＝lg（10x－1），得X无实数解．变式（2），解方程似X＋9）＋1一议gX一1）．解原方程可变为得X无实数解．由上述方程，我们想如果把这个常数变为a，又会怎么样呢？那就是解方程似三十a）＋l一议ax－1）．解原方程可变为．．．当a＞10时，方程有实数解；当a＜l时，方程无实数解．上述方程都考虑底数为10的对数方程…     

一道课本习题的多种解法

在学习解无理方程时,李老师让大家做这道题：解方程（课本P56练习2：③）汪菁同学想,解无理方程的思想方法是,方程两边各自平方,使之变形为有理方程．于是她这样解：移项得．两边平方,得x－2=4-4x＋x2化简,得x2－5x＋6＝0．解得x1=2,x2＝3．检验：x=2是原方程的解．李然同学想,换无法是解无理方程的常用方法．此题中,被开方数有代数式X－2,有理式中也有X－2．于是他这样解：设y,原方程变为y2－y＝0．y1＝0,yZ＝l,即MM＝0,得21＝2;或／三方。1,得。2＝3．经检验：x。2是原方程的解．叶斌同学困式分解这一章学得较好．当他…     

解高次方程的思想方法和技巧

在初中我们只能解一些特殊的高次方程，其解法的指导思想是降次，即通过变形或代换，把一元高次方程转化为一元一次方程或一元二次方程，然后解这些方程，使高次方程得解决．常用的转化技巧有：（1）分解因式；（2）换元；（3）改换主元；（4）应用非负数的性质．一、因式分解例1解方程解应用“分组分解法”分解因式．x－6＝0或X3－8＝0．X＝6或X＝2．故原方程的根为X＝6或X＝2．分解因式，有时往往用到拆项的技巧．例2解方程X’＋6x’＋11X＋6一0·解原方程左边先拆项后再分组x‘＋6N’＋gte＋ZH＋6一oX（X＋3）‘＋2（X十引一0．（2…     

(八)一元一次方程测试卷

一、填空题（每小题2分，共10分）：1．如果5x－2＝3，那么按照等式性质．有5x＝3＋．2如果，那么按照等式性质，有x＝3．由8x＋6＝x移项得，合并同类项，得x＝4．由2（3x－1）－1＝5（x－2）去括号得6x－2－1＝5．由去分母得3（2x－1）＝二、判断题（正确的在括号内画“√”，不正确的在括号内画“×”．每小题3分．共9分）：1．使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．2．5是一元一次方程3x＋7＝x＋19的解．3.如果代数式2（x＋1）与3x的值相等，那么x＝2．三、单项选择题（每小题3分，共6分）：中，为一元一次方程的是（）（3…     

无理方程的几种特殊解法

一道无理方程,往往有多种解法,要使解题简便,可因方程的不同情况而异。下面对无理方程的几种特殊解法介绍如下：一、观察法左边两根互为倒数,右边分为互为倒数的两数,观察得出简单方程．检验知,X1,X2都是原方程的根．二、换元法借用新未知数可求解．则原方程化为U＋V＝1或V＝1－U．又U3＋V2＝（x－2）＋（3－x）＝1解得由解得X1＝2,经检验知,它们都是原方程的根．三、混合换元法新设未知数与已知方程中的未知数混合使用求解．例1．解方程SX’＋X—X八Z河一220．解：设y一、沈L刁,则原方程化为：y’＋X－Xy－l—0,即付一1…     

解分式方程的思想方法

解分式方程的基本思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解;或通过换元,将复杂的分式方程转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程来求解．例回解方程：解方程两边同乘以（X－4）（X－5）,得2x（x－4）＋x－5＋1＝x2－9x＋20．移项、化简、整理,得x2＋2X-24＝0．解此整式方程,得X1＝4,x2＝-6．经检验知x＝4是增根．原方程的解是x=-6．分析此方程若采用去分母的方法转化为整式方程,则将得到一元四次方程．这是很难求解的,因此此题宜用换元法．先把它转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程…     

一元二次方程测试题

一、境空题1．将方程3X’二SX＊2化为一元二次方程的一般形式为．．（吉林省）2．x（x＋l）＝2的根为．（辽宁省）3．解方程／iiq3二X的结果是（武汉市）4．用换元法解方程（x＋Xi）2－3（x十上）＋2＝0，令t＝x＋1，则关于L的方程是x（重庆市）5．方程一一一l的根是．（甘肃省）一’””一八十2一“”“‘“““””””””，6．已知关于x的方程x’＋（Zm＋l）x＋（m－2）’＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．（乌鲁木齐市）7．方程x’＋（Zm＋Ox＋（m－）＝0的根的情况是．（安徽省）8．若m、n是关于x的方程x’＋（p－2）x…     

一元二次方程及其解法

我们把只含有～个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0），其中a≠0是方程形式整体中一个重要的组成部分，当a＝0，b≠0的时候方程成为一元一次方程》bx＋c＝0。解一元二次方程一般有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等．运用什么方法应根据方程的特点来选用．一、直接开平方法，适于解脱’一C型方程．例1解方程2（X＋3）‘一5·解（X＋3）’一7，两边开平方，得二、配方法，适于解X’＋pX＋g一0，尤其是户为偶效形式的方程．例2解方程X’－6X－5一0．解移…     

提示或参考答案

1．（l）y。48＋st,y＝120－10t;（2）48＋st＝120－10t,…t＝4门。时）．2．（）设装运乙种蔬菜的汽车X辆,则装运丙种蔬菜的汽车有（8－x）辆,则x＋1．5（8－x）。11,解得x＝2,故装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别是2辆石辆．（2）没装运甲、乙两种蔬菜的汽车分别有X辆＼y辆,则装运两种蔬菜的汽车有20－（x＋y）辆,依题意得2。＋y＋1．5［20－（x＋y）卜36…．x＝y＋12（y＞l）,当y二1时,x＝13,丙为6,所获利润为173（百元）;当y＝2时x＝14,丙为4,所获利润为178（百元）;当y＝3时X＝15,丙为2,所获利润为183（百元）;当r＝…     

《一元二次方程》单元自测题

1．填空①当m______时,关于x的方程＝4是一元二次方程．②把方程x2－8x＋9＝0的左边配成一个完全平方式,得③若方程5x2＋mx－6=0的一个根是3,则它的另一个根是________④在实数范围内分解因式4x2＋8x－1＝________⑤方程（X－4)2＝4－X的实数根是③已知方稷2X2－5X－7＝0的两根为X1、x2,则x1＋X2＝___________________已知关于X的方程kx2十kx＋5＝0有两个相等的实数根,则k的值是_____________选择题①解方程（y-3）2＝24的适当方法是（）（A）直接开平方法;（B）配方法;（C）公式法;（D）因式分解法．②下列方程中,没有实数根…     

巧解一类方程

九年制义务教育三年制初中教材代数第三册P51有这样一道习题：解关于X的方程其求解过程为：去分母得即经验根知x1、x2均适合原方程,因此它是原方程的解．由此可得结论：若利用此题的结论,可以巧解一类方程,下面举例说明．例1解方程（初中代数第三册P49练习2(2))．由上述结论得解方程（2）得43＝3＋／而,34＝3－／而．经检验,它们都是原方程的解．例2解关于x的方程x＋－－M。a十六（A数＄三册PSIB组1（2》．解令y＝x－1,则原方程变为y十万“＼a一回）＋M．y（互且由上述结论得：y＝a—1或且y”7I’－－－·x＝a或x＝＝－．－－－…     

一道因式分解题的多解

题目分解因式：X’－3X’十个解法1拆H次项,有原式二x3＋x2－4x‘＋4二（。’＋X‘）＋（。’＋4）＝。’（x＋1）4（＋1）（x一回）＝（X＋l）（。’－4X＋4）＝（。十五）（。－2）’解法2拆H次项,有原式一x’－2。’－X＼4＝（X’－ZX‘）－（X‘－4）＝x’（。－2）－（x＋2）（x－2）＝（－2）（’－X－2）＝（－2）’（＋1）．解法3拆常数项,有原式一x3＋l－3x2＋3＝（’＋l）－3（X’－l）＝（X＋1）（X’－X＋1）一到X＋1）（X一回）＝（x＋l）［（x‘－。＋1）－3x－l）〕＝（X＋l）（X‘－4。＋4）＝（X＊1）（X一月…     

浅析解一元一次方程的常见错误

初一的同学在学习一元一次方程的解法时，常常会出现这样或那样的错误。现在，我把常见的错误解法归纳如下，以帮助同学们提高解方程的能力。一、移项不变号例１：解方程４－５x＝６x＋３错解：６x－５x＝３＋４x＝７分析：错误的原因是对移项法则没记住。移项时，把方程中的某些项从方程的一边移到另一边时，没有改变符号。正确的解法是：－５x－６x＝３－４－１１x＝－１x＝１１１二、去括号时常常出现以下两类错误运算１．去括号时漏乘某些项。例２：解方程２（x＋１）＝３（１－x）错解：去括号，得：２x＋１＝３－x移项，合并同类项，…     

一元一次方程错解分析

进入初中以后,同学们开始学习运用等式的基本性质解方程．由于刚刚接触,往往顾此失彼,出现错误．下面是解一元一次方程时常见的错误（为突出重点,仅给出关键步骤）．例1解方程4x－5＝6X＋3诸解移项,得4x＋6x＝3－i分析这是对移项的定义和依据不了解所致,移项依据的是等式基本性质1,移项时必须变号．正解移项,得4X－6X＝3＊5·例2解方程4x＝5．诸解系数化为1,得。。二7．一‘——”“”～’—””“””—－5‘分析同学们在小学是运用逆运算的关系解方程的,系数化工时容易搞错被除数和除数的位置．现在我们学习运用等式基本性质…     

1题5法8解

求二次函数解析式是初中代数的重要内容之一,也是中考命题的热点．本文通过一例的八种解法说明解这类题的五种一般的思路方法与技巧．题已知抛物线y＝。’＋ta＋c（a／0）的顶点为（－2,9）,且与X轴两交点间的距离为6,求抛物线的解析式．方法—一般法,即按照题意布列关于a。b、C的方程组,再解之．解1由已知,得解之,得a二一l,b＝－4,c＝5·故所求解析式为y＝－x‘－4x＋5·解2依题意得点评这里把顶点（－2,9）作为普通的点使用,所得方程③比方程②简单,为方程组的求解创造了有利条件．解3令西一b’－4ac,则仿解1得解得a＝－l…     

含括号的多项式的因式分解

对于某些含括号的多项式的因式分解，利用一定的方法，常可避免去括号的繁琐，收培的效果．一、对括号内的多项式进行变号处理例1分解因式：a（a－b）2－b（b－a）2解原式＝a（a－b）2－b［－（a－b）］2＝a（a－b）2－b（a－b）2＝（a－b）3例2分解因式：x（y－z）（z－x）－y（z－y）（－z）．解　原式＝x（y－z）（z－x）－y［－（y－z）］·［－（z－x）］＝x（y－z）（z－x）－y（y－z）（z－x）＝（x－y）（y－z）（z－x）．二、对括号内的多项式进行整体处理倒3分解因式：（x2＋4）2－16x2.解原式＝（x2＋4）2－（4x）2＝（x2＋4＋4x…     

整式加减的整体处理技巧

在进行整式加减运算时,把注意力和着眼点放在问题的整体上,往往能收到事半功倍之效．现举例说明．例1计算：解原式说明把小括号内的各项视为一个整体,先去中括号,这样不仅使计算简便,而且还能避免因多次变号而出现错误．例2计算解原式例3计算：解原式一15＋2（－。）－（－a＋a’）＋（－a＋a’）－a’＝15＋2－Za－a’二17－Za－a3．说明例八例3中分别把（。＋y）和（1－a＋a’）看作一个整体,则可进行同类项合并,这样比先去括号再运算简便例4已知m－n＝3求4（n。－n）－3n。＋3n＋56｛J值．解原式一4（n;－n）－3（n。－l。）＋…     

初一(上)数学期考模拟题

一、填空题（每题2分,共30分）1．一个数的相反数是3,这个数是＿．2．比较大小：一千一号．,。u－—·、、·4——5’3．绝对值不大于2的整数是＿．4．已知12．3’＝151．29,那么（－0．123）’＝5．用代数式表示：a与b的差除以a、b两数和的平方的商是＿．6．已知两个方程一5x＝2和2（x＋k）一3＝0的解完全相同,则k＝、、．7．已知女a”－’b’与sa’b’－”是同类项,则m＝,n＝8．十2X2－3X＋l＝6X2－10．9．若4x‘”－3ym是三次单项式,则m＝10．最大的负整数是,绝对值最小的数是＿．11．若方程。＋a—l＝l的解是x＝－2,则a12．…     

巧解一元一次方程

小聪明是初一（1）班的学生，他平时很喜欢做数学题，而且在解题时十分善于动脑筋，因此经常有一些与众不同的解题方法．下面是他解课本上的习题时的部分解答．请同学们认真研究一下，这些方法巧不巧？妙不妙？你有没有想到？例1解方程可先去申括号，同时化去小括号，则运算将大为简化．解去括号，否会．分析注意到去掉，这样就能简化计算．解去中括号，得移项化简得倒3解方程分析方程两边都有（X＋1）和（X－1），司把它看作整体，先移项合并，这样可化白为简．历移项得合并同类项，相例4解方程分析注意到ZX－1—－（1－ZX），因此可从…     

代数期考训练题

一、单项选择题（每题2分,共24分）1．下列方程中,二元一次方程是（）（A）xy=1;（B）y=3x－1;（C）x＋＝2：（D）x2＋x-3-0．2．若是二元一次方程mx＋Zy＝5的一个解,则m的值为（A）1;（B）－1;（C）3;（D）－3．3在等式y＝kx＋b中,当x=-1时,y=0当x＝0;y＝-1,则这个等式是（）（A）y＝－x－l;（B）y＝－y＋1;记何一。－1;（D灯二十十1．4下列各式中,一元一次不等式是（）（A八一十y＞l;（B八’－3。＋2＞0;,＿、ZX－I－if＋X,＿＼111（c）”一二女c：（D）女X十吉x＞卡”＋1．。一,42’“一”2一3一6—’““5…