对一道“《数学周报》杯”赛题的探讨

2009年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题第9题：     

解析以圆为载体的赛题两则

2006年全国初中数学竞赛已告一段落，其中有两道以圆为载体的赛题令不少学生感到难以下手，笔者恳请借贵刊一角予以解析，并赐教于同行．     

一道赛题的另解

安徽省高中数学竞赛初赛的第15题是:已知数列{an}(n≥0)满足a0=0,对于所有非负整数n,有an+1=230an(an+1)+11an+5.求an的通项公式.参考答案是通过移项两边平方变形化简,最后求3次方程的特征根得到通项.下面给出两种较为简便的解法.解法1显然an+1>an≥0,n∈N,an+1=230an(an+1)+11an+5=5(an+1)+230an(an+1)+6an=(5(an+1)+6an)2,∴an+1=5(an+1)+6an,即an+1-6an=5(an+1),两边平方,化简得:an+1+an-26an+1an=5,n以n+1代替得:an+2+an+1-26an+2an+1=5,以上两式相减得:an+2-an-26an+1(an+2-an)=0;∵an+2>an+1>an,∴an+2+an-26an+1=0.令bn=an,则bn+2-2…     

活跃思维 三解赛题

2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛中有这样一道试题． 题若关于x的方程2x^2-3x＋m=0的一个根大于-2且小于-1,另一个根大于2且小于3,则m的取值范围是（ ）     

一道赛题的推广

1978年安徽中学数学竞赛第二试的第3题是:过三角形的重心任作一直线,把三角形分成两部分,证明这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1/9.本文先给出更有一般性的结论,然后再将其推广到四面体中.     

一道全国初中数学赛题的多种解法

2007年全国初中数学竞赛（浙江赛区）初赛试题的17题是： 如图1,已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆与AB和BC边相切于点D和E,与AC边相交于点F和G,求＜DEF的度数．     

一道不等式赛题的探究

03年北京市高一数学竞赛复赛中有这样一道不等式证明题：     

一道赛题的背景及应用

第7届（96年）“希望杯”全国数学邀请赛高二2试第22题： ①求证：函数f（θ）=sinθ/θ（0〈θ≤π/2）是减函数．     

一道赛题的多解与反思

题目使关于x的不等式 √x-3＋√6-x≥k有解的实数k的最大值是（ ） （A）√6-√3（B）√3.（C）√6＋√3,（D）√6     

一道名赛题产生的系列经典赛题的统一简证

题设a,b,c∈R^＋，求证a/b＋c＋b/c＋a＋c/a＋b≥3/2.此题是著名的shapiro猜想，又是1963年第26届莫斯科数学竞赛试题中的一道脍炙人口的不等式证明题．     

一道平几赛题的新证及推广

2009年全国高中数学联赛陕西赛区初赛的一道平面几何题是： 如图1,PA,PB为圆O的两条切线,切点分别为A,B,过点P的直线交圆O于C,D两点,交弦AB于点Q,点Q,求证：PQ2=PC·PD—QC·QD．（1）     

一道巴尔十赛题的巧妙证法

有一道巴尔干地区数学竞赛试题如下： 设a,b,c为正实数,求证： 1/a（1＋b）＋1/b（1＋c）＋1/c（c＋a）≥3/1＋abc^＊①笔者曾在本刊2006年第11期上,将不等式①推广为：     

一道有序集组计数赛题的求解与变式

有序集组（A1，A2，…，Ak）计数问题在各类竞赛中经常出现，在刚结束的2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试题中就出现了一道有序集组的计数问题!本文对该问题进行了简要地分析解答，并在此基础上提出10个相关的变式问题，希望能抛砖引玉，对读者解决此类问题有所启发．     

一道不等式赛题的证法探究

这是第5届（2010年）联盟杯数学竞赛高一预赛第8题,高二预赛填空题第7题．它以三角最值为背景,题目小巧,内涵丰富,是一道值得品味的好题．     

从一道赛题谈二次函数在闭区间上的最值

二次函数是中学数学的重点内容，由于它能很好地考查学生的数学思想、方法和培养学生的数学思维能力，所以在高考和竞赛试题中经常出现．如2000年全国高中数学联赛(14)题：     

建构二次方程巧解数学赛题

一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点，利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题，可以说备受命题者的青睐，因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现．它的应用之广，作用之妙，常常令人叫绝．本文结合具体竞赛试题，分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用。     

一道赛题的求解、应用及探究

在刚结束的2008年上海市高中数学竞赛（新知杯）中出现了一道关于集合计数的问题，笔者发现此类问题也经常出现在其他各类竞赛中，下面呈现的是笔者对该问题的求解和应用及几点简单探究．     

一道几何赛题的简证与启示

2007年南昌市高中数学竞赛的一道几何试题是:如图1,ABCD,BCFE皆为直角梯形,其中,DC∥AB,CF∥BE,BC⊥AB,EF⊥BE,A,E,D,F在一直线上,P是     

赛题推广

2013年浙江省高中数学竞赛试题第18题：