三角形三边关系在解题中的应用

课本介绍了三角形的三边关系定理与推论．熟记结论的同时,关键还在于能灵活运用它解决实际问题．就此,本文就常见题型分类例析如下．一、判断三条线段能否构成三角形如果一个三角形的三边长分别为a＼b、c,则必有a。b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b反之,三线段a、b、c只有同时满足a＋b＞C,b＋C＞a,c＋a＞b;或者满足la－b＜c＜la＋b］,才能构戍一个三角形另外,若已知C是三线段中最长线段,则只带满足a＋b＞c即可构成三角形（想一想为什么？）例1下列各组线段中,可以是三角形的三条边的一组是）（A）a,3,a3;（B）a,b,a＋b;（C）a,…     

一个优美不等式的简证加强和推广

题目 已知a,b,c∈R＋,求证（a2＋ ab＋b2）（b2＋ bc＋c2）（a2＋ac＋c2）≥（ab＋bc＋ac）3. 文[1][2]用构造三角形中的费尔马点,再利用三角形面积,余弦定理转化为三角形不等式证明．文[3]利用代换和三元均值不等式给出了证明．     

一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

数形结合解题

有些二次根式问题，我们在用代数法解时很吃力，如果运用构造思想，通过联想、类比，把二次根式和勾股定理紧密联系起来，做到数形结合，就能给我们带来形象直观的解题效果．例１已知a、b、c、d均为正数，求以a２＋b２√、b２＋c２＋d２＋２bd√和a２＋c２＋d２＋２ac√为边的三角形的面积．分析：已知三边求三角形的面积若用求高法或海伦公式，解题十分烦琐．但注意到后两边可变形为（b＋d）２＋c２√和（a＋c）２＋d２√，这样三个形式相同的二次根式，联想勾股定理，利用直角三角形构造所示规则的几何图形（如图１），再用大面积减去小面…     

巧用因式分解 妙解质数赛题

同学们知道,质数（素数）是只能被1和它本身整除、且大于1的自然数．由此可知,质数具有这样的一个性质：若a、b都是正整数（自然数）,p是质数,且nd＝p,贝u。＝p,b一回或a＝l,b＝p．如果把质数的这个性质和因式分解紧密结合起来,就能巧解某些有关质数的竞赛试题．例1已知a、b、c、d为非负整数,且ac＋bd＋ad＋he＝1997,则a＋b＋c＋d＝（’97第十二届江苏竞赛试题〕解将已知等式左边因式分解,得—＊M＊毗十＆一以C＋d）＋b（c＋d）。（a＋b）（c＋d）．故（a＋b）卜十d）＝1997．a、入c、d为非负整数,rt牛b＞回,C＋dpe且．即a＋…     

《三角形基本知识》练习题

一、判断题（每小题1分,共5分）门）三角形的三条中线都在”三角形内（）（2）三角形的三条高者响Z三角形内．（）（3）三角形的角平分线是射线．（）（4）若a、入c是凸ABC的三条边,则a＋be＞0‘（）（5）三角形的一个外角等于两个内角的和．（）二、填空题（每空3分,共63分）川若a、b、c为凸A－BC三边,则a＋6c,a＋bmcnz,abC（2）已知三角形的两边分别为4CCI和6CI。,则第三边X的取值范围是＿＿．＿＿．（3）已知三份形的两边长为m＋1、。n－1（rl;＞1）,则第三边C的取值范围是＿＿＿＿．．＿．＿＿＿＿＿．w等腰三角形的一边…     

海伦公式的一个简洁证明

若已知任一△ABC的三边长为a,b,c,则其面积可表示为A=√s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=a＋b＋a/2,此即海伦公式．关于海伦公式的证明,笔者已在文[1]中给出了中外数学史上的有关证明方法．分析发现,历史上的证法均为几何证法（添加辅助线,利用全等三角形的边、角关系或者相似三角形中的比例关系进行推导）,各种方法堪称精巧美妙,但略显复杂．本文拟给出海伦公式的一个代数证法．     

分解因式解“希望杯”赛题

例1 正整数a,b,c是等腰三角形三边的长,并且a＋bc＋b＋ca=24,则这样的三角形有（ ） 解 由已知得（a＋b）（c＋1）=24, 因为24=2^3×3, 24可分解为24×1,12×2,8×3,6×4,4×6,3×8,2×12,1×24．     

一道中考题的数形结合分析

2005年天津市中考有一道代数综合题： 例 已知二次函数y=αx^2＋bx＋c． （1）若α=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值； （2）若α=2，b＋c=-2，b〉c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0； （3）若α＋b＋c=0，α〉b〉c，且二次函数的图象经过点（q，-α），试问当自变量x=q＋4时，二次函数y=αx^2＋bx＋c所对应的函数值y是否大于0．并证明你的结论．     

海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式即三角形面积公式：S△=√s（s-a）（s-b）（s-c）,其中s=1/2（a＋b＋c）,a,b,c是三角形三个边的长,这个公式远在古希腊阿基米德就知道,后由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”章中首先证明了这一公式,还举了求边为13,14,15之三角形面积一例。     

勾股定理逆定理在解题中的应用

勾股定理的逆定理是证明两条线段垂直的重要理论依据之一,现举例说明它在解题中的应用．例1三角形的三边a、b、c适合a’＋b‘＋c’＋338＝10a＋24b＋26c,则此三角形为（）（A）锐角三角形;（B）等腰三角形;（C）直角三角形;（D）钝角三角形．解由已知得,（a－5）‘＋（b－12）‘＋（c．13尸一0,…。－5,b－12,c－13．aZ干bZ－cZ此三角形为直角三角形．故选C．例2如图1,已知正方形ABCD,E是AB的中点,F是AD上一点,且AF一十AD．”“’“’“““““‘“‘”“‘一4“——”求证：EF上EC．证明设正方形边长为4a,则AE…     

较Weitzenbck不等式更精确的不等式

本文通过斯特瓦特定理推导出三角形三边中线平方和的公式,借助于三角形的中线长不小于该边上的高,进而推导出三角形面积与三边长的不等式S≤／3/4.／a2＋b2＋c2/1/a2＋1/b2＋1/c2,该不等式较Weitzenb6ck不等式S≤1/4／3（a2＋b2＋c2）确定的△ABC面积的上界要小．在推导该不等式的同时也给出了Weitzenbock不等式的一种新的证明方法．     

2012年数学竞赛试题选讲

例1 已知三角形三边为a、b、c,其中a、b满足√（a-6）^2＋√b-8=0,求这个三角形最长边c的取值范围？     

海伦公式证明之史海钩沉

海伦公式，即三角形面积公式：S△=√s（s-a）（s-b）（s-c），其中s=1/2（a＋b＋c），a、b、c是三角形三个边的长．远在古希腊时的阿基米德就知道这个公式，后来由希腊人海伦（Heron）（生于公元前125年）在他的著作《测量术》（metrica）一书的“度量表”一章中首先证明了这一公式，还举了求边长13、14、15之三角形面积一例．     

一个改进不等式的推广

安振平在本刊1986年第6期P42上改进了一个常见的三角形不等式，得到:设a、b、c是△ABC的三边长，2p=a＋b c，则本文将把（1）式推广到两个三角形．设a、b、c、p与a’、b’、c’、p’分别是△ABC与△A’B’C’的三边长及半周长，则证在简单不等式（可见于高中代数课本（必修）下册Pll练习）（其中，a、b、c为正数）中用a’（p-a）、b’（p-b）、c’（p-c）分别替换a、b、c，得类似可得以上两式相加，再运用平均值不等式，便知（2）式成立。且易知式中等号当且仅当两三角形均为正三角形时成立．证毕．令a’＝a，b＝b，c’=c，则（2）式成…     

Gerretsen不等式的加强

贵刊文［1］将一道课本练习题改造，加强为：设a、b、c为非负实数.则文［2］将（1）式进一步加强为：设a、b、c为非负数，m＝min(a，b，c），则现在可以利用（2）式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为：这里，a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长，半周长，外接圆半径和内切圆半径，m＝min{1/2（b＋c－a），1/2（c＋a－b），1/2（a＋b－c）｝．证对（2）式作置换a→1/2（b＋c－a)，b→1/2（c＋a－b),c→1/2（a＋b－c）．这里，后者中的a、b、c构成某一三角形三边长．这样，由（2）式经化简整理（具体过程从略）可得依据三角形中恒…     

边、角不等关系的证题思路

等与不等是数学小客观存在的一对矛盾．三角形中的不等昆主要表现为边、角的不等关系．提高三角形中不等量关系的证明能力．需要有一定的知识和经验．因为人的思维依赖必要的知识和经验．正如解题研究的一代末帅波利亚所说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．”因此，同学们首先要熟练地掌握下面一些不等式的性质和有关的公理与定理：（）若a＞b小＞c坝ga＞c；（2）若a＞b．则a＋c＞b＋c；（）若a＞b．c＞d，则a＋‘＞b＋d；（4）三角形任何两边的和大于第三边．任何两边的差小于第三边；（5）三角形的一个外用大于任…     

三角形形状的判定技巧

判定三角形形状，通常按如下的步骤进行：1．先用已学过的知识将题目给定的已知条件转化为只含有边或只含有角的等量关系式；2．将变形后的等量关系式进行化简3．根据化街结果用有关的定义、性质、定理等判定．从上面可以看出，适当地选用转化和化问方法是获得巧解的重要一环，下面着重论述这个问题．一、巧用因式分解倒1着三角形ABC的三边。、b、c满足a2－2ab＋b2＋ac－be=0，试判定此三角形的形状．姐将已知等式左边因式分解，得（a－b）（a-b＋C）=0．此三角形为等腰三角形．二、巧用非负我性质例2已知a、b、c为ABC的三边，若到与互为…     

巧用对称求最值

例1若a,b,c〉0,且a（a＋b＋c）＋bc=4—2√3,求2a＋b＋c的最小值． 解由已知b,c位置对称,当2a＋b＋c取最小值时,b=c成立,此时     

你会解答吗?

初一年级1．若a、b、c都是有理数，且，则的值为2.若a＝x－4和b＝2x－5都是有理数，且数轴上表示a、b两数的点到原点的距离相等，则x的值是3．若｜a｜＝5，｜b｜＝2，且a、b异号，则｜a＋b｜＝4．一个有理数的相反数与这个有理数的绝对值的和（）（A）可能是负数；（B）必为正数；（C）为正数或零；（D）必为零．初二年级1．分解因式：2．已知x＋y＝2，求x3＋6xy＋y3的值．3．已知a＋b＝7，a3＋b3＝133，求ab的值．4已知a、b、c是凸ABC三边的长．求证：a’＋bZ－c’＋Zab＞0你会解答吗?@边冼…