对一道高考创新题的探究

2005年湖南省高考(理科)第10题:设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心, f(Q)=(1/2,1/3,1/6),则 (A)点Q在△GAB内; (B)点Q在△GBC内; (C)点Q在△GCA内; (D)点Q与G重合． 1.命题思路探究     

一道课本例题变式探究教学之刍议

<正>一、原题再现图1例题 (人教版教材八年级上册P83第12题或九年级上册P63第10题)如图1,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证：BE=CD.分析:欲证BE=DE,可联想到△ADC与△ABE全等.对于△ADC≌△ABE的证明,可从两个角度分析：(1)从动态的角度来观察,把△ABE绕点A顺时针旋转60°,点B与点D,点E与点C重合,得到△ADC,所以△ADC≌△ABE.     

一道集训队测试题的思考

问题 求实数λ的最大值,使得只要点P在锐角△ABC内部,∠PAB=∠PBC=∠PCA,射线AP、BP、CP分别交△PBC、△PCA、△PAB的外接圆于点A1、B1、C1,就有S△A1BC＋S△B1CA＋S△C1AB≥λS△ABC．     

关于费尔马点的又一个不等式

如果点F到△ABC三个顶点的距离之和为最小,则点F称为费尔马点。 我们已经知道,当△ABC最大内角小于120°时,F在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。 关于费尔马点,文[1]给出了: 定理1 设F是△ABC的费尔马点,点     

用尺规作图方法寻找三角形的加权费马点

<正>1 问题导引(1)已知锐角△ABC,请你用尺规作图的方法确定一点P,使得PA+PB+PC最短.即:确定一点使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最短.满足上述条件的点P,我们称之为三角形的费马点.(2)该点的寻找步骤:①以BC为边构造一个△BCQ,使得BC∶CQ∶BQ=1∶1∶1(即△BCQ是等边三角形);②作△BCQ的外接圆;③连接QA,AQ与△BCQ外接圆有一个交点P;④由于△ABC是锐角三角形,所以该点就是符合条     

一道第47届IMo预选题的简证

题目 已知A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,△AB1C1、△BC1A1、△CA1B1的外接圆与△ABC的外接圆分别交于点A2、B2、C2（A2≠A,B2≠B,C2≠C）,A3、B3、C3分别是A1、B1、C1关于边BC、CA、AB的中点的对称点．证明：     

勃罗卡点到三顶点及三边的距离公式

如图1,P为△ABC中一点,若∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝α,则称P点为勃罗卡点,角α为勃罗卡角。文［1］给出设P到三角形三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,z,△表△ABC面积文［2］给出实际上,如图所示作出的勃罗卡点是唯一的,则P点到三顶点、三边距离应是确定的。定理1：P是△AB     

推导向心加速度公式的两种方法

方法1（1）做匀速圆周运动的物体从A点运动一周又回到A点, △υ=0,△t=T, 平均加速度a=△υ/△t=0.     

证明圆中线段相等的方法

1．利用角相等 例1如图1,I是△ABC的内心,AI交△ABC的外接圆于点D,交BC于点E．求证：DB=DI．     

一道美国数学奥林匹克几何题的推广

题1 设E、F分别是凸四边形ABCD的边AD、BC上的点,满足AE：ED=BF：FC,射线FE分别与射线BA、CD交于点．S、T．证明：△SAE、△SBF、△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点．     

判定菱形三法

1．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 例1如图1,平行四边形A23CD中,AE⊥BC于点E,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC．     

数形结合:解决几何问题的新视角

例1(2008宁夏)在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从点A向点B运动,连结DP交AC于点Q.(1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有△ADQ≌△ABQ.(2)当点P在AB上运动到什么位置时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的1/6?(3)若点P从点A运动到点B,再继     

一道高中数学联赛加试题的命题背景及其拓广

赛题 如图1,在锐角△ABC中,AB＞AC,M、N是边BC上不同的两点,使得∠BAM=∠CAN.设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2.证明:O1、O2、A三点共线.     

关于勃罗卡点的两个命题

本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、     

坐标系中常见的平移问题

一、已知平移前点的坐标,确定平移后对应点的坐标 例1如图1。已知△ABC的顶点B的坐标是（2,1）,将△ABC向左平移2个单位长度后,点B平移到点B1,则点B1的坐标是（ ）．     

与费尔马点相关的一个开放题的研究与探索

引理(费尔马问题) 已知△ABC,使PA+PB+PC为最小的平面上的点P称为△ABC的费尔马点. 解:显见点P不可能在△ABC外. (1)若△ABC的每个内角都小于120°,将△ABP绕B点逆时针旋转60°至△A_1BQ的位置,如图1,则△BPQ为正三角形.于是PA+PB+Pc=A_1Q+QP+CP. ∵A_1、C为定点,欲使PA+PB+PC最小,P点应在A_1C上.     

一道国外竞赛题的另解

题目在△ABC中,设〈A、〈C的角平分线交于点1,且分别与CB、AB交于点A1、C1,与△ABC外接圆交于点A2、C2,K是A1C2与A2C1的交点KI与AC交于点M。     

一个有趣的几何不等式

《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的…     

一道竞赛题的两种解法

题目口ABCI〕中,BC边的中点为E,AE交对角线召D于点G,如果△BEG的面积是1,则口ABCD的面积是·(1991年全国初中数学联赛题) 解法1连结AC,设AC交BD于点0. ’.‘O、E分别是AC、BC的中点,:.G点是三条中线的交点(即重心).一一。1。叫川。△~一万。△~-1。瓦。口A~’所以,S二ABcD一125△BEG一12.解法2’:BC// AD,‘:△BEG的△DAG.z一4 一一z一2 一一又丫BE:AD一1:2,。,.S△刀那一1,BG BEGD AD…S△DAG一4.又丫可知 S△ABG‘’S△朋口S△~一21︼z 一一S△朋D一S△~十S△AGD一2十4一6.:.5二~一25△~一12.一道竞赛题…     

也谈一道平面几何题中的数据问题

1问题背景 文[1]给出如下题目： 题目A如图1,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、BC、CA上,且AE、CD、BF都经过点O,若△OAF、△OCF、△OBD、△CCE的面积分别是10、20、30、40,设△OAD的面积为x,△BOE面积为y,则x=__,y=__.