对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

高考复习的几个策略之二——第三轮复习

一、加强基础复习策略（抓住选择题和填空题特点,加强训练） 例1 设点P是△ABC内任意一点,S△ABC的面积,λ1=S△PBC/S△ABC=S△PCA/S△ABC,λ1=S△PAB/S△ABC,定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G为△ABC的重心,f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）．     

一个旁心三角形面积不等式的修正

如右图,设△ABC是任一三角形,△DEF是△ABC的外角平分线所围成的三角形,则称△DEF是△ABC的旁心三角形.     

这样的直角三角形有多少个？

例1在△ABC中,∠C=90°,AB=13,△ABC的面积为30,求△ABC的周长．解设B=a,AC=b．在直角△ABC中。由勾股定理,得a^2＋b^2=13^2=169．又因为△ABC的面积为30,     

三阶垂足三角形与原三角形相似的相似比

设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k.     

1986年第2期问題解答

96.已知P是△ABC内的一点,△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的外接圆均相等,求证:P是△ABC的垂心。证:显然∠BPC>∠BAC。∵△PBC、△ABC的外接圆相等,BC是它们的公共弦,∴∠BPC ∠BAC=180°,∠BAC<90°。     

一个有趣的几何不等式

《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的…     

关于锐角三角形内任一点的一个不等式

定理设P是锐角△ABC内部的任意一点,△ABC、△BPC、△CPA、△APB的面积分别为△、△a、△b、△c、;△ABC的外接圆半径为R;PA=Ra,PB=Rb,PC=Rc,则有 Σ△aRa≤△·R (1) 等号成立当且仅当△ABC是正三角形且P是△ABC的中心. 其中Σ表示循环和,下同. 为证明定理,需要下面的 引理 1P为锐角△ABC内部的任意一点,PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,PF⊥AB于F,垂足△DEF的面积为△p,则有     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

利用中线性质巧解两道竞赛题

定理 设D是△ABC的边BC中点,则S_△ABD=S_△ACD。这是中线的一个性质,本文巧用这一性质解两道竞赛。 例1 (81年芜湖市竞赛题)如图1,AA′,BB′,CC′是△ABC的外接圆直径,试证:S_△ABC=S_△ABC′ S_△BCA′ S_△CAB′。     

一道立几题的推广和应用

有这样一道立体几何题:平面a过△ABC的一边BC,△ABC是△ABC在a内的射影,二面角A-BC-A′=(如图1).求证:S_(△ABC)=S_(△ABC)·cos证明:过A在△ABC中作AD⊥BC交BC于D∵AA′⊥平面a,由三垂线定理逆定理有A′D⊥BC,∴∠ADA′为二面角A-BC-A′的平面角,即∠ADA′=∴A′D=     

2011年中考：数学试题的亮点赏析——滴水藏海 细中见伟

试题再现：（南京卷第27题）如图1（1），P为／△ABC内一点，连结PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．     

锐意创新，誓将金针度与人

原题再现：（南京卷第27题）如图1（1）,P为△ABC内一点,连结PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点．     

Janic不等式的推广及逆向不等式

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) …     

判断三角形形状的几个结论

结论1 若α、β是△ABC的2个内角,则有： （1）0〈tan αtanβ〈←→△ABC是钝角三角形; （2）tan αtanβ=←→△ABC是直角三角形; （3）tan αtanβ〉←→△ABC是锐角三角形．     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

三角形周界中点三角形的面积

设点 D 是△ABC 的 BC 边上一点,且满足 AB BD=AC CD,则称 D 是△ABC的周界中点,在边 AB、AC 上也可以找到具有类似性质的点E、F,我们把△DEF 称为△ABC 的周界中点三角形.关于△DEF 与△ABC 的面积关系,有下述重要结论.     

心语

三角形的全等具有传递性,比如若有△ABC≌△DEF,△DEF≌△MNP,则一定有△ABC≌△MNP．这个性质在解题时有很重要的应用．     

数学问题与解答 2005年第10期问题解答

656.在非直角△ABC中，AD土BC，BE 土AC，CF上AB，垂足分别为D、E、F，设 △ABC、△DEF外接圆半径分别为R、Ro， 求证:R=2R0. 证:如图1，对于锐角△ABC，设H为 △ABC的垂心.由B、C、E、F四点共圆，得 乙AEF=乙ABC.…△AEF的△ABC， EF AE BC一AB‘ 证:由Ix。 2}=了1 (x 功2平方