一道有用的不等式习题

高中<代数>下册(必修)P12练习2(1)是:已知x、y∈R+,求证x/y+y/x≥2.我们把它写成:     

一道有用的数列习题

高中《代数》第二册P.77题17是:数列{a_n}满足证明这是一道极其有用的习题,应用它可以求出常见的四种类型的递推数列的通项公式。至于它的证明,已有不少文章谈及,本文不再赘述。为便于记忆,我们把此题中的b换为a_1,c换为q(q≠1),对通项公式a_n进行整理,成为     

一道有用的不等式习题

高中《代数(必修)》下册P12练习2(1)是:已知x,y∈R ,求证x/y y/x≥2. 我们把它改写成 x/y≥2-y/x,(1)其中x,y∈R ,当且仅当x=y时等号成立. 不等式(1)虽然简单,但其应用价值不容忽视.若能根据等号成立条件灵活地选择x/y,则能简捷明快地证明一类分式型不等式. 例1 设a,b,c∈R ,求证 (“友谊88”国际数学邀请赛试题)     

一道有用的中考题

题目（2011年贵州省贵阳市中考第24题）[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）为端点的线段中点坐标为（（x₁+x₂）/2,（y₁+y₂）/2）.     

一道有用的征解题

贵刊1983年第1期《问题解答》栏中,谢大全同志采用解析法证明了这样一道命题:三角形ABC的内切圆切边BC于D点,在D点处向边BC引垂线交圆于点M,直线AM交边BC于E点。若|AB|>|AC|,则|BE|=|DC|。事实上,这里的条件|AB|>|AC|是不必要的。因为当|AB|=|AC|时,显然D、E两点重合,且为BC之中点,故|BE|=|DC|;当|AB|<|AC|时,我们也不难验证|BE|=|DC|。该命题很有实用价值,在这里,作者通过对三角形的一些点的对偶性的探讨,以提高学生对此命题的认识。首先证明下面一个命题。     

小议一道习题

有人出了这样一道题目: “某校图书馆存书中,数学书占1/10,文学书占4/7,少年科技书是1150本,比文学书的58％少10本。图书馆有数学书多少本?”(刊于×报刊上) 交学生计算时,大部分学生是用(1150 10)÷58％÷4/7×1/10或1150 (1-1/10-4/7)去解答的,结果都是350本。     

赏析一道习题

习题 设n∈N^＊，且n≥2， cosa＋cos（2π/n＋a）＋cos（4π/n＋a）＋…＋cos[2（n-1）π＋a] （1） sina＋sin（2π/n＋a）＋sin（4π/n＋a）＋…＋sin[2（n-1）π/n＋a] （2）的值．     

一道习题浅析

初中代数第四册P．99第8题,是一道引导学生沟通一次函数与一元一次方程及一元一次不等式三者之间联系的好题,但有些教师对此未引起足够的重视,使其作用未能得到发挥。现对此题的教学提出一点浅见。     

一道习题解析

一道习题解析甘肃省甘谷一中谢永强江苏省睢宁县双沟中学朱怀义高一课本（必修）９８面第１０题是一道综合性较强的习题，许多同学由于综合能力较差或审题不严密，从而出现错解。相配套的教学参考书２０４面给出的答案──盐酸的物质的量浓度是０．３ｍｏｌ／Ｌ也是错误的...     

一道习题的推广

题目如下图的方格纸中,正方形的个数为____.分析:假设每个小正方形的边长为a,由题目知,所求的正方形边长分别是:a、2a、3a、4a,围成正方形的个数分别是:7×4,6×3,5×2,4×1,累加起来有z=7×4 6×3 5×2 4×1=60.所以,正方形的个数为60.     

一道习题的教学

在高中立体几何教材中有这样一道习题：把长宽各为4，3的长方形舳沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。     

一道习题的推广

由苏州大学《中学数学》编辑部所编的《高三数学教学与测试》P42第6题是: (1)已知sin~4θ cos~4θ=1,求sinθ cosθ的值;     

一道习题的研讨

已知 :如图 1点C是线段AB上一点 ,△ACM、△CBN是等边三角形 ,求证 :AN =BM .(人教版现行初中几何第二册P113第 13题 )。1 设AN与BM的交点是P、AN与MC的交点是G、BM与CN的交点是F ,连结GF、除了可以证明AN =BM外 ,我们还能发现 :(1)由于△ACN≌MCB ,得∠ANC =∠MBC ,易证明△CGN≌△CFB ,可得CG =CF .(2 )在△PFN和△CFB中 ,∠PFN =∠CFB、∠PNF =∠CBF ,利用三角形内角和定理易得∠NPF =∠BCF ,即AN与BM的夹角∠BPN =∠BCN .(3)由于CG =CF、∠GCF =6 0° ,所以△CGF也是等边三角形。(4 )由∠CFG…     

一道习题的引申

题目:已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,PQ是对角线BD上的两点,且BP=DQ,求证:AP和QC互相平行且相等。(北师大版九年级上册第三章习题)图1简证:由题中已知条件,易证△APD≌△CQB(或△DQC≌△BPA),结论即可成立。引申一,由于四边形ABCD是平行四边形,而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,故条件中的“平行四边形”可换成“矩形”、“菱形”、或“正方形”皆可,而证法仍然不变。图2图3图4引申二,考虑到P、Q是对角线上的两点,且BP=DQ,故P、Q两点可在对角线BD的延长线上。图5图6图7图8引申三,由引申二更进一步,只要满足B…     

一道习题的纠错

本刊1996年第1期第7页上有一道练习题:“当a>0,b<0时,函数y=ax~2 bx与函数y=ax b的图象大概是 ( ) 因a>0,抛物线的开口方向向上,故(C)、(D)可排除,又因为b<0,作为直线的截距是负的,故(A)也应排除.所以只可选(B). 但(B)是否正确呢?因为当x=-(b/a)时,有y=ax~2 bx=0,y=ax b=0,即函数y=ax~2 bx与y=ax b在x轴上相交于     

一道习题的推广

1992年初二暑假作业第27页有这样一题:已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=2CE,BE和CD相交于G,求证:BE=4GE。这道题和重心定理极其相似,重心定理是:已知D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,求证:E,CD相交于一点且BE=3GE。因此,我想AE=3CE,结果如何呢?更一般地,AE=nCF呢?于是得出下面的定理。定理1 已知D为△ABC边AB的中点,E为AC边上的一点,AE=nCE,BE和CD相交于G,则BE=(n+2)GE 证明:作AH∥EB交CD的延长线于N, ∴△CGE∽△CHA。     

一道习题的解法

学习了等腰三角形的性质后，不少同学拿着练习班或课外资料来询问下面一道习题的解法：如因1，在Rt中D、E是斜边AB上两点，且AD＝AC，BE＝BC．求DCE度数．这是一道很灵活且有一定难度的几何计算题，由于题中没有什么R知的数报．不少同学做起来觉得无从下手．通过提示启发，逐步引导，同学们纷纷开动脑筋，提供了以下几种不同的解答方法．1．化为同一生法2．取特殊值法群假设ZA一30”，则易得ZI＝7矿，Li一60o，所以ZDCE—180”－75”一脚”一45”．若没ZA的度数为m，结果又如何呢？由已知条件知3．设未知数列方程法门设＊12X，…     

一道习题的启示

在教学“求一个数是另一个数的几倍”时，有这样一道练习题：学校舞蹈队的人数是乒乓球队的4倍，田径队的人数是乒乓球队的2倍，舞蹈队的人数是田径队的几倍?学生读过题后，多数人发表意见说是题出错了：要算舞蹈队的人数是田径队的几倍，必须知道它们两个队的人数，可是题目没有告诉我们，而且也算不出来。教室里一片寂静，但我告诉大家这道题没出错。     

一道习题的拓展

初中《代数》第三册第 67页第 10题 :如图 ,在△ABC中 ,∠ B=90°,点 P从点 A开始沿 AB边向点 B以 1厘米 /秒的速度移动 ,点 Q从点 B开始沿 BC边向点 C以 2厘米 /秒的速度移动 ,如果 P、Q分别从 A、B同时出发 ,几秒后△ PBQ的面积等于 8平方厘米 ?很明显 ,这是一道一元二次方程应用题 ,但从题意 ,不难理解这里有两个运动变化的量 ,即 P、Q运动的时间和△ PBQ的面积 ,△ PBQ的面积随着 P、Q的运动时间的变化而变化 ,所以 ,此习题可从函数角度去拓展。一方面 ,可以巩固复习函数的有关知识 ,进一步揭示二次函数与一元二次方程的关…