让学生感受方程思想的魅力——以《从问题到方程(1)》为例

<正>方程思想作为一种重要的数学思想方法,对提高学生解决问题的能力,发展学生的数学素养有重要的意义;同时,方程作为一种重要的计算工具,也是学生将来进一步学习的基础.本节课的教学主要让学生体验从问题到方程的建模过程,感悟方程思想的魅力,培养学生用方程解决实际问题的意识.教学重点和难点是,引导学生自主探索实际问题中的等量关系,感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.下面以《从问题到方程(1)》的教学为     

参数方程问题中的几类典型错误剖析

本文针对学生在求解参数方程的有关题目时。常犯的几类典型错误举例剖析,以供教学参考。 一、忽视参数方程与普通方程的等价性而致误 例1 化双曲线xy=1为参数方程. 错解:根据sinαcscα=1(α≠kx,k∈Z),设x=sinα,     

“方程的根与函数的零点”教学设计的改进

<正>"方程的根与函数的零点"是学生利用二分法求方程近似解的方法的基础,蕴含了较为丰富的化归、数形结合的数学思想方法.本文通过对这一内容的前后两种教学设计的比较,说明在教学过程中应创设具备一定思维深度的情境,以激发学生的思维,并让学生有效经历"从惑到识"的过程.一、原先的教学设计1.情境引入问题1观察方程x²-2x+1=0的根;     

浅谈两简易方程教学的失误

教学简易方程时,一位教师在课堂上评讲过两个解方程的题目。方程1.x-7 3=6。学生解答时,出现了两种不同的解法。第一种是解.x-7=6-3, x=3 7, x=10。第二种是解:x-10 6, x=16。面对这两种解法,教师指出:第一种解法正确,第二种解法不对。因为原方程的左边是x-7 3,不是x-(7 3)。同时,教师又用代入x的值去检验的办法,说明x=10的确是正确的,x=16的解法确     

浅谈直线方程的应用范围

中学教材涉及直线方程的五种形式,即一般式、点斜式、截斜式、两点式、截距式.这些方程都各有自己的应用范围,在教学中应向学生阐明. 一般式方程Ax By D=0(A、B不同时为0),表示平面内的所有直线.点斜式方程y-y_1=k(x-x_1)(或截斜式方程y=kx b)表示平面内斜率存在,即倾斜角     

不定方程的解法例说

在数学竞赛中经常会遇到解不定方程 (组 )的问题 ,由于同学们这一方面平时训练比较少 ,常常会出现差错 .如果未知量的个数多于独立方程的个数 ,那么方程 (组 )便有无穷多个解 .这类方程 (组 )称为不定方程 (组 ) .在这里我们所讨论的是不定方程 (组 )中最简单的一种 .其未知量仅限于取正整数值 .这一限制使我们能用非常简单的形式表示出方程 (组 )的解来 .　 例 1　解方程7x + 1 2y=2 2 0 ,x,y取正整数 .解　将方程两边同除以绝对值较小的那个系数 7的绝对值 ,则x+y+ 57y=3 1 + 37,所以x +y+ 5y -37=3 1 . ①因为　x与y要取整数 ,必有5y -37…     

方程(组)教学价值的分析与思考

数学教学不能只停留在告诉或传递给学生静态的数学知识,而应尽可能地使学生获得怎样探求新知识的智力、智慧价值.义务教育第三学段中方程(组)的教学价值常常被解读为解题程序化训练的"表象价值",而隐藏在"表象价值"背后的"智慧价值"常常被忽视.数学教师应把握好方程(组)教学的价值取向,让方程(组)的教学过程变成增长学生智慧的过程.     

逆向思维解题例说

心理学认为,每个思维都具有与它相反的思维过程,在中学数学教学中,不但要培养学生的正向思维能力,也要培养学生的逆向思维能力,现举数例如下: 例1若三个方程x~2 4ax 3-4a=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0,中至少有一个方程有实数解,试求a的范围。分析:若从正面考虑,可有一个、三个或三个方程有实根共七种可能,甚繁,若从反面(三个方程都无实根)考虑则只有一种可能。解:由判别式得,关于a的不等式组     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:"过点P(2,1)作直线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程."学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法.     

让学生研讨数学

新知识教学时,针对学生已有的知识、心理发展水平和学习材料的难易程度,教师把一个复杂的、难度较大的课题分解成若干个相互联系的子问题,让学生探讨数学知识的发生、发展过程,形成新的知识结构。例如,在椭圆这一课的教学中提出问题:一动点M(x,y)到两定点(-3,0)、(3,0)的距离分别为d1,d2。1.当d1=d2时,求动点轨迹方程,并作图;2.当d1+d2=6时,求动点轨迹方程,并作图;3.当d1+d2=5时,求动点轨迹方程,并作图;4.当d1+d2=10时,求动点轨迹方程,并作图。学生做完上述题组时,发现d1+d2的值不同,方程形式及图形有很大的区别。第4个问题的作图,学生所用…     

“等量关系”与解应用题的教学尝试

列方程(组)解应用题无疑是中学数学(特别是初中数学)的一个重点,也是一个难点。学生对此掌握得好坏,直接影响到学生的能力培养和学习兴趣。因此,抓好这一教学显得十分重要。但目前不少学生对应用题望而生畏,根本无法着手。深究其原因,当然很多。例如:列方程(组)解应用题本身涉及的知识面广,而又无一般方法可循。这就造成了学生列方程(组)的困难。针对这种情况,我在教学中采用了一种新的方法进行尝试,收到了一定的效益。愿在这里作     

浅谈如何列方程

在中学数学教学中,列方程解应用题既是重点,又是难点.学生在列方程时,往往思路打不开,方法单一.教师在列方程(组)的教学过程中,应引导学生认真分析题意,多方面启迪学生的思维,让学生学会寻找等量关系并建立方程或方程组,做到一题多解,触类旁通.     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆 C1 :x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0 ,圆 C2 :x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0 ,求经过两圆交点 A、B的直线 l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据直线方程的两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 -2 x + 10 y -2 4=0　 (1)x2 + y2 + 2 x + 2 y -8=0　　 (2 )(1) -(2 )得 :-4 x + 8y -16=0 ,即x -2 y + 4=0 ,变形得 :x =2 y -4 (3 )将 (3 )代入 (2 )化简整理得 :y2 -2 y =0 ,解得 :y1 =0 ,y…     

小学数学中变式教学的三点注意

随着小学数学教学改革的不断深入,特别是九年制义务教育新教材在我国广泛推广使用之后,许多教师都已经认识到变式教学在提高学生的思维能力,培养学生的思维品质等许多方面的重要作用。但是,如何充分发挥变式教学的作用和功能呢? 1.变式教学应注意目的性 教材中可进行的变式教学的材料是多种多样的,对于同一种材料可进行各式各样的变化,不同的变式其目的也不一样。以《简易方程》一节为例,谈谈变式教学中的变式。要使学生理解概念:“什么叫做方程?”由于教材所给的定义是“含有未知数的等式叫做方程。”基于学生在直观教学中往往束缚于象“ax±b=c”的形式才叫方程,所以教师必须抓住学生的这一缺点,进行概念     

借题发挥 纵联横拓

现行试验修订本教材中不少例题和习题 ,题中概念少 ,难度不大 .但往往蕴含着丰富的内容 .教学中若引导学生重视钻研这些例题和习题 ,不但能帮助学生全面掌握基础知识和基本技能 ,而且能培养学生的研究能力 .下举一例 ,以供欣赏 .题 :已知圆的方程是 x2 + y2 =r2 ,求经过圆上一点 M(x0 ,y0 )的切线方程 .(见现行人教版试验修订本教材第二册上 75页例 2 )本例题求解方法很多 (结果为 x0 x + y0 y =r2 ) ,在此不再赘述 ,下面从三个方面进行引申 :引申 1 :若圆的方程是 (x + a) 2 + (y + b) 2= r2 ,那么经过圆上一点 M(x0 ,y0 )的切线方程还是 …     

让学生认识检验方程的解的重要性

小学里检验方程的解有两个目的:一是判断解方程的过程是否完整正确;二是判断计算是否有误。笔者发现,在教学“简易方程”时,很多学生把检验方程的解的过程看作是一种形式,是瞎子成眼境——装装样子。如一名学生解方程“15-0.94+x=20”,错为: 解:0.94+x=20-15 x=5-0.94 x=4.16 检验:把x=4.16代入原方程, 左边=15-0.94+4.16=20,右边=20 左边=右边, 所以x=4.16是原方程的解。又有一学生解方程“0.5×8=8x”,错为:解:4=8x     

让“思想”成为方程教学的主旋律

关于方程教学,苏教版小学数学教材在第二学段中分两次进行。一次是在五年级下册,着重教学方程的意义,用等式的性质解一步计算的方程,列方程解决一步计算的实际问题;一次是在六年级上册,着重教学形如ax＋b=c、ax＋b=c、ax＋bx=c的方程,列方程解决两、三步计算的实际问题。方程教学的难点是需要学生从复杂的情境中抽象出本质...     

教学中应重视问题发生过程的教学

在直线和圆的教学过程中遇到这样一个问题 :已知圆C1:x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,圆C2 :x2 +y2 + 2x + 2 y- 8=0 ,求经过两圆交点A、B的直线l的方程 .学生在处理这个问题时 ,通常做法有以下两种 :第一种 ,解题模式是 :联立方程组 ,求出交点坐标 ,再根据两点式写出所求的直线方程 .具体解法如下 :根据题意 ,联立方程组x2 + y2 - 2x + 10 y- 2 4 =0 ,(1)x2 + y2 + 2x + 2 y- 8=0 . (2 )(1) - (2 ) ,得- 4x+ 8y - 16 =0 ,即x- 2 y + 4=0 ,变形得　x=2 y- 4. (3)将 (3)代入 (2 )化简整理 ,得y2 - 2 y =0 ,解得 y1=0 ,y2 =2 .将 y1=0 ,y2 =2…     

列方程解应用题错例分析

列方程解应用题是初中代数教学的一个难点 ,也是中考的重点。下面通过实例重点分析常见的几种列方程错误 ,以提示学生准确把握题中数量之间的相等关系 ,并利用相等关系列出正确的方程。一、方程两边单位不一致例 1.一队学生去校外进行军事野营训练 ,他们以 5千米 /小时的速度行进 ,走了 18分钟时 ,学校要将一紧急通知传给队长 ,通讯员从学校出发 ,骑自行车以 14千米 /时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍 ?错解 :设通讯员 x小时可以追上学生队伍 ,则根据题意 ,得　 14x=5× 18+ 5 x很显然 ,这个方程列的是错误的 ,方程…     

同班分层教学教案一例

近几年,我一直坚持在数学教学中进行分层教学的实验,积累了一些零星经验.今将我所设计的分层教学教案展示一例,以祈斧正.(学生层次划分不在此赘述)课题:第二类二元二次方程组解法举例(二)教学目标:(ABC 层)掌握方程组中有一个方程可以分解的解法;(AB 层)掌握两个方程均能分解的方程组的解法;(A 层)了解几种特殊类型的方程组的解题策略.