论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

一道2010年瑞士数学奥林匹克不等式的证明

一道2010年瑞士数学奥林匹克试题如下:已知x、y、z>0,xyz=1,求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z.证因为x、y、z>0,     

一道全国竞赛题的多种解法

20 0 1年全国高中数学竞赛第一试第 11题为 :函数 y =x + x2 - 3 x+ 2的值域为.下面提供五种解法 ,以飨读者 .解法 1　移项得 y- x=x2 - 3 x+ 2 ,上式等价于 (y- x) 2 =x2 - 3 x+ 2 ,y- x≥ 0 .12由 1得 x=y2 - 22 y- 3 ,代入 2得 y- y2 - 22 y- 3≥ 0 ,即 (y- 1) (y- 2 )2 y- 3 ≥ 0 ,解得 1≤ y<32 或y≥ 2 .故原函数的值域为 [1,32 )∪ [2 ,+∞ ) .解法 2　原函数式可变形为 y=x+(x- 32 ) 2 - 14,∵ x2 - 3 x+ 2≥ 0 ,∴ x≤ 1或 x≥ 2 .令 t=x- 32 ,则 t≤ - 12 或 t≥ 12 ,y=t+ 32 + t2 - 14.当 t≥ 12 时 ,y是 t的增函数 ,当 t=12时 ,…     

一道易错题的多角度解答

<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x²-4xy+5y²+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是___.不少同学是这样解答的：W=(x²-4xy+4y²)+(x²+4x+4)+(y²-2y+1)-2=(x-2y)²+(x+2)²+(y-1)²-2.∵(x-2y)²≥0,(x+2)²≥0,(y-1)²≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时,     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

聚焦非线性目标函数的最值问题

<正>在高考试题中,线性规划是高频考点,这类问题有两个难点:一是目标函数非线性;二是求线性规划问题中参数的取值范围.本文就第一类问题目标函数非线性,其最值的求法进行分类解析.一、斜率型例1已知实数x,y满足不等式{2x-y≥0,x+y-4≥0,x≤3,则2x³+y3+y³/x3/x²y的取值范围是____.解2x2y的取值范围是____.解2x³+y3+y³/x3/x²y=2·x/y+(y/x)2y=2·x/y+(y/x)².令k=     

一道瑞士数学奥林匹克不等式的证明与推广

题目 已知x、y、z＞0,xyz=1.求证:(x+y-1)2/z+(y+z-1)2/x+(z+x-1)2/y≥x+y+z. 在文[1]中,作者给出的证法虽好,但不利于推广.本文中笔者给出此不等式的四种证法及推广.     

证明三角不等式的八种方法

一、作差比较法例1求证:2+sin2x≥2(sinx+cosx).证明∵左边-右边=2(1-sinx)-2cosx(1-sinx)=2(1-sinx)(1-cosx)≥0,∴原不等式成立.二、判别式法例2已知函数:y=sec2x-tanxsec2x+tanx,求证:13≤y≤3.证明∵y=sec2x-tanxsec2x+tanx=1+tan2x-tanx1+tan2x+tanx,∴(y-1)tan2x+(y+1)tanx+(y-1)=0.当y=1时,tanx=0;当y≠1时,tanxR.∴Δ=(y+1)2-4(y-1)2≥0,∴13≤y≤3.三、分析综合法例3已知01.证明∵cosx>0,cosy>0,要证原不等式成立,只须证cos2x+y2>cosxcosy,只须证1+cos(x+y)2>cosxcosy,只须证1+cos(x+y)-2cosxco…     

换元法求函数的值域

求函数 y=x+(1-2x)~(1/2)的值域,一般用如下方法:由函数式得 y-x=(1-2x)~(1/2)(1)两边平方得 y~2-2xy+y~2=1-2x(2)整理得 x~2-2(y-1)x+(y~2-1)=0 (3)∵ x 是实数,     

多元方程的巧解

关于多元方程整数解的求法在不少书中已作研究,这里通过几例,介绍某些特殊多元方程一般解的几种求法。 (一) 利用“实数的偶次幂为非负数”的结论 [例1] 求方程x+3~(1/a)+y-1/2~(1/2)+z~(1/2)-7 =x+y+z的实数解解:原方程可变形为 (x+3~(1/2)-2)~2+(y-1/2~(1/2)-1/2)+(z~(1/2)+1/2)~2=0 可得     

巧用三角换元

用三角换元法证明不等式是基本方法,根据题意恰当地进行换元,则可使问题快速获解,达到事半功倍的效果.例1设点P(x,y)是圆x~2+(y-1)~2= 1上任意一点,若总有x+y+c≥0,试求c的取值范围.解因为点P(x,y)在圆x~2+(y-1)~2= 1上,故可设x=cosθ,y=1+sinθ,则x+y+c=cosθ+sinθ+1+c≥0恒成立,     

初中最值问题的常用解法

最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1　配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1　求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-…     

二元方程定解例说

我们知道,一个二元一次不定方程在一般情况下,其解有无数多组,然而有些二元方程,只要我们充分注意挖掘方程自身的隐含条件,或题中给出的附加条件,抓住未知数的特殊性,是能求得其定解的。本文列举初中数学竞赛题予以说明。例1 已知x,y为实数,且x~2+2x+2y-6y+10=0,则log_2(y-x)·log_2(y+x)=__(86,无锡)。解:原方程化为(x+1)~2+(y-3)~2=0,利用非负数的性质,可得x=-1,y=3。∴log_2(y-x)·log_2(y+x)=log_24     

抓住一元好分解

对于含多个字母的因式分解题,大多数学生都不知如何下手求解,在此,本人给出一种比较实用的方法,那就是以题中某个字母为主元,其他字母看成是常数,这样将多元问题变为一元问题,问题便轻易解决,下面举例说明.例1分解因式2x~2-5xy+2y~2+7x-5y+3.解:视x为未知元,变形,则有:原式=2x~2+(7-5y)x+(2y~2-5y+3)=2x~2+(7-5y)x+(y-1)(2y-3)=[2x-(y-1)][x-(2y-3)]     

例谈函数的单调性

一、比较大小例1若logx23-logx53≥log-y23-log-y53,则A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0分析根据所给不等式的结构特征,可考虑构造函数f(t)=logt23-logt53,利用函数的单调性即可确定x与y之间的关系.解令f(t)=logt23-logt53,则易证f(t)在(-∞,+∞)上是增函数,由题设条件得f(x)≥f(-y).根据函数f(t)的单调性,得x≥-y,即x+y≥0.选B.二、求值例2已知x,y是实数,而且满足下列方程组(x-1)3+1997(x-1)=-1,(y-1)3+1997(y-1)=1 则x+y=_____.分析要直接解出x,y显然不大可能,因此必须考虑建立x,y之间的联系.解原方程组可化为(x-1)3+1997(x-1)=-1,(1…     

巧算平均数

【例1】　已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】　已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是　　　　.解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】　求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73…     

走进二次根式求值问题

二次根式求值问题是二次根式学习中常见的一种问题.解答它们,仅仅考虑常规的先化简后代入的方法有时很难奏效,必须巧用一些其他的方法. 一、巧用二次根式的定义 例1 已知x、y为实数,且满足√1+x-(y-1)√1-y=0,则x2011-y2011=______. 分析:由二次根式的定义,得√1 +x ≥0、√1-y≥0,那么y-1≥0.又1-y≥0,则y的值可以求出.随之,x的值也可以求出. 解:已知等式为√1+x=(y-1)√1-y. ∵√1+x≥0,√1-y≥0, ∴√y-1≥0,1-y≤0. 又∵1-y≥0, ∴1-y=0,y=1. 把y=1代入已知等式,得√1+x=0,x=-1. 则求式=(-1)2011-1=-2.     

03年各地中考数学试题精选(2)

1.用换元法解方程时,设x/x-1=y,则原方程化为关于y的方程是( ) (A)y2+5y+6=0. (B)y2-5y+6=0. (C)y2+5y-6=0. (D)y2-5y-6=0. 2.不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是( ) (A)有两个相等的实数根. (B)有两个不相等的实数根. (C)只有一个实数根. (D)没有实数根. 3.过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( )     

构造向量求函数最值

函数最值问题 ,屡屡出现在国内外各类竞赛试题中 .适当构造向量 ,可使一类函数最值问题的思路清晰 ,解题方法简捷巧妙 ,并富于规律性、趣味性 .定理　m,n为两个向量 ,则| m| 2 ≥ ( m· n) 2| n| 2 .证明　设两向量的夹角为θ,则| m| 2 =| m| 2· | n| 2| n| 2 ≥ | m| 2 | n| 2 cos2θ| n| 2 =( m· n) 2| n| 2 ,证毕 .1　构造向量 ,求整函数最值例 1　求实数 x,y的值 ,使得 ( y- 1 ) 2 +( x+ y- 3) 2 + ( 2 x+ y- 6 ) 2 达到最小值 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛试题 )解　构造 m=( y- 1 ,x+ y- 3,2 x+ y-6 ) ,n=( - 1 ,2 ,- 1 ) ,依定理 …     

数学奥林匹克问题

本期问题 初343已知x、y为正实数,n∈N,且n≥2.证明: n√x+(2n-1)y/x+n√y+(2n-1)x/y≥4. 初344 在边长为2的正方形ABCD中,动点E、F均在边AD上,满足AE=DF,联结CF与对角线BD交于点Q,联结AQ、BE交于点P.求DP的最小值. 高343设a、b、c＞0,且abc=1,λ(λ≥1)为常数.证明:a1/a+b+λ+1/b+c+λ+1/ρ+δ+λ≤3/2+,当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.