浅谈权方和不等式的应用

所谓权方和不等式，是指下面这个不等式：     

巧用权方和不等式证明不等式

不等式的证明难度较大,方法灵活多变,技巧性又强,又没有规定的模式,使得不等式的证明一直是各种数学竞赛考试的热点．笔者经过探究发现,若能恰当地应用好权方和不等式,就能使一些复杂不等式的证明变得十分简单．     

巧用权方和不等式求最值

文[1]给出了利用柯西不等式求最值的问题,读后深受启发,笔者在细细欣赏权方和不等式的优美之处时,发现许多求最值问题,若能将其转化为权方和不等式的形式,那将收到意想不到的效果,笔者将从例题来巧用权方和不等式求最值．     

柯西不等式变式的妙用

柯西不等式常活跃在各类考试中,其重要变式：若xi,yi〉0,则 n∑i=1 yi^2/xi≥（n∑i=1yi）^2/n∑i=1xi（＊） 当且仪x1/yi=x2/y2=…=xn/yn时等号成立．     

两个简单不等式在解题中的妙用

众所周知,（m-n）^2≥0（当且仅当m=n时取等号）,由此有2mn≤m^2＋n^2;     

一个均值不等式链的筒证

命题 已知α〉0,b〉0,求证√α^2＋b^2/2≥α＋b/2≥√αb≥2αb/α＋b,当且仅当α=b时等号成立。     

权方和不等式在数学竞赛中的妙用

在数学竞赛中,不等式的证明经常出现,且形式多样,不过,许多竞赛试题满足权方和不等式这一特殊形式．本文利用权方和不等式去尝试解决这类不等式证明问题,得到了不等式证明的乐趣与熟记重要不等式的重要性,并收到了意想不到的效果．     

一个不等式的妙用

若a,b∈R,则(a-b)2≥0,展开括号并整理得:a(a-b)-b(a-b)≥0,即a(a-b)≥b(a-b)(*),式中当且仅当a=b时,取等号. 这个不等式说明:两实数差与被减数之积不小于此差与减数之积.用它来证明某些类型的不等式,方法简捷,颇有新意.今举例说明.     

一个不等式的新证及推广

题目 已知a，b，c∈R ，求证：(a 1)^3/b (b 1)^3/c (c 1)^3/a≥81/4．(1)、当且仅当a=b=c=2/1时，(1)式等号成立．(《中等数学》2000年第4期数学奥林匹克问题高91)     

用权方和不等式简证一类分式不等式

权方和不等式是著名的重要不等式之一,是证明不等式的有力工具,它具有条件简明、结构优美、使用方便等特点．若能恰到好处地正确运用权方和不等式,将会起到简化证明过程的神奇效果．本文以数学杂志中的几个分式不等式为例,给出证明与大家共享．     

一个简单不等式的应用

将不等（a-1）^2≥0展开后并整理得 a^2≥2a-1。（1） 显然,不等式（1）中等号成立的条件是a=1． 下面举例说明不等式（1）的应用．     

一类不等式的推广与应用

文[1]给出了不等式x1^2＋y1＋x2^2/y^2≥（x1＋x2）^2/y1＋y2,其中：xi∈R,y1∈R^＋,i=1,2当且仅当x1/y1=x2/y2时,式中等号成立。     

经典均值不等式的再改进

设a1,a2,…,an∈R＋,n≥2,则n/1/a1＋1/a2＋…＋1/an≤n√a1·a2…an,其中等号成立的充要条件为a1=a2=…an.     

柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

一个不等式的再推广

文[1]给出如下命题及猜想： 命题 设xi〉0（i=1,2,…,n）,n∑i=1xi=1,则n∏i=1（1/1-xi-xi）≥（n/n-1-1/n）^n,（1）,当且仅当x1=x2=…=xn=1/n时等号成立。     

妙用不等式的性质解题

不等式的性质是解不等式（组）的依据．本文谈谈如何正确理解不等式的性质并运用它去解题．     

均值不等式的一个妙用

<正>我们利用均值不等式解决问题的前提是"一正二定三相等".但有些情况下,不具备"相等"的条件,这时如何求相应条件下的最值?下面首先介绍一个根据均值不等式得到的结论.     

巧用贝努利不等式的变式解三角不等式

贝努利不等式：若x〉-1,n∈N且n≥2,则（1＋x）^n≥1＋nx．当且仅当x=0时,等号成立．     

利用向量数理积解证不等式问题

由于向量具有几何和代数的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，它在研究其它许多问题时获得广泛的应用．根据｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜，当且仅当a和b同方向时，等号成立．应用这一性质解证一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．     

一个需要关注的不等式

先看下面的一个不等式： 定理 当x〉-1时,1/x＋1≤ln（x＋1）≤x（当且仅当x=0时等号成立）．