从1994年高考谈立体几何复习

去年高考理科数学第(23)题是:如图(1),已知:A_1B_1C_1——ABC 是正三棱柱.D 是 AC 的中点.(i)证明:AB_1//平     

一道数学冬令营试题的推广

第三届全国数学冬令营选拨赛试题第2题:设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4的周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长,并请确定等号成立的条件。本题可推广为: 设C_1、C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的m(m>l)倍。 n(n≥3)边形A_1A_2…A_n内于C_1。将A_nA_1延长交圆C_2于B_1,     

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

观察·联想·新结论

题:已知,如图1,D、E是△ABC的边BC的三等分点,中线BM交AD、AE于G、H,求BG∶GH∶HM。此题通过过M作MN∥BC不难得到: BG∶GH∶HM=5∶3∶2。如果将边BCn等分又如何呢?下面给出推导: 如图2,B_1,B_2……B_(n-1),是△AB_0B_n的边B_0B_n的n等分点,中线B_0B_n 分别交AB_1,AB_2……AB_(n-1)于点C_1,C_2……C_(n-1),过点C_n作C_nD_0∥B_0B_n,分别交AB_0,AB_1,AB_2,……AB_(n-1)于点D_0,D_1,D_2,     

2006年数学联赛加试第1题的极坐标解法

题目以 B_0和 B_1为焦点的椭圆与△AB_0B_1的边 AB_i 交于 C_i(i=0,1),在 AB_0的延长线上任取 P_0,以 B_0为圆心,B_0P_0为半径作圆弧交 C_1B_0的延长线于 Q_0;以 C_1为圆心,C_1Q_0为半径作圆弧交B_1A 的延长线于 P_1;以 B_1为圆心,B_1P_1为半径作圆弧交 B_1C_0的延长线于 Q_1;以 C_0为圆心,C_0Q_1为半径作圆弧交 AB_0的延长线于 P_0′。试证:(1)点 P_0′与点 P_0重合,且圆弧与相     

巧算六边形面积

题目如图1,RtΔABC的三边长为a,b,c(c~2=a~2+b~2),由边AB,BC,CA向外作正方形ABB_1A_2,ACC_2A_1,BCC_1B_2,连结A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2,得六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2,求此六边形的面积。分析与解求六边形A_1A_2B_1B_2C_1C_2的面     

读者来信

一、成都无缝钢管厂子弟中学袁永祥同志来信,对本刊1983年第四期“求棱长为a的立方体 ABCD-A_1B_1C_1D的面对角线A_1C_1与AB的距离。”(每期一题)提出不同解法,选介其一于下。解因两条异面直线的距离是异面直线上两点间距离的最小的,故可用求极值方法。在A_1C_1上任取一点P (异于A_1C_1),过P作PQ⊥平面A_1B,则垂足在A_1B_1上,设为Q。过Q作     

怎样求两条异面直线间的距离

一、应用定义法。例如,求四面体对棱间的距离,连接对棱中点,证明其为公垂线,再计算它的长度就行了。二、转化法。化为线面或面面距离来求。例如,已知长方体AC_1的BB_1=a,A_1B_1=b(图1),求B_1C_1与BD_1的距离。由于B_1C_1∥平面A_1BD_1,作B_1H⊥A_1B于H,则B_1H⊥平面A-1,BD_1,只要求出B_1H就行了。     

三角形相似判定定理的教学

相似三角形的知识在测量和绘图方面都有广泛的应用,同时又是学习相似多边形和其他相似形以及三角知识的基础.它是“相似形”这一章书的重点.其中,三角形相似的判定定理的证明又是本章的难点.下面着重谈谈三个判定定理的证明.在教学判定定理前,先复习三角形相似的预备定理.即,如图一,只要B_1C_1//BC,那么△AB_1C_1就和△ABC相似.这预备定理是证明三角形相似的三个判定定理的基础.三角形相似判定定理一:如果一个三角形的两个角和另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.已知:在△A_1B_1C_1和△ABC中,∠A_1=∠A,∠B_1=∠B.(图二)。求证:△A_1B_1C_1∽     

运用直线重合的条件解题

众所周知,直线l_1:A_1x B_1y C_1=0与直线l_2:A_2x B_2y C_2=0(其中A_1、B_1、C_1、A_2、B_2、C_2均不为零)重合的充要条件是(A_1)/(A_2)=(B_1)/(B_2)=(C_1)/(C_2)。然而,运用这一条件求解某些数学问题,构思新颖,方法巧妙,过程简捷。本文就此作一些探讨,旨在抛砖引玉,并希望对我们的教学能有所帮助。     

对一道立体几何题的解法探究

<正>题目三棱柱ABC-A_1B_1C_1的所有棱长都相等,AA_1⊥平面ABC,A_1B交AB_1于点O,D为棱CC_1的中点.(1)求证:OD∥平面ABC;(2)求证:AB_1⊥平面A_1BD.本题是立体几何的一道常规题,难度不大.主要考察棱柱、直线与平面的位置关系等基础知识,并以此为依托考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力.重点考察直线与平面平行、垂直的判定定理.     

数学问题与解答

261.在不等边△ABC中,∠A及其外角平分线分别与对边BC的中垂线相交于A_1、A_2;同样得到B_1、B_2;C_1、C_2,求证:A_1A_2=B_1B_2=C_1C_2。证:如图1,连结A_1B、A_1C,显然有A_1B=A_1C。由AB≠AC知∠ABA_1≠∠ACA_1。     

第三届全国中学生数学冬令营试题与解答

试题第一天(上午8:00—12:30) 一.设a_1,a_2,…,a_n是给定的不全为0的实数,r_1,r_2,…,r~n是实数,如果不等式sum from k=1 to n[r_k(x_k-a_k)]≤(sum from k=1 to n(x_k~2))~(1/2)-(sum from k=1 to n(a_k~2))~(1/2)对任何实数x_1,x_2,…,x_n成立,求r_1,r_2,…,r_n的值。二.设C_1,C_2是同心圆,C_2的半径是C_1的半径的2倍。四边形A_1A_2A_3A_4内接于C_1,将A_4A_1延长交圆C_2于B_1,A_1A_2延长交圆C_2于B_2,A_2A_3延长交圆C_2于B_3,A_3A_4延长交圆C_2于B_4。试证:四边形B_1B_2B_3B_4周长≥2×四边形A_1A_2A_3A_4的周长;并确     

高中数学会考模拟试卷(B)

(1)∵A_1B_1∥AB,AB⊥BC,∴A_1B_1⊥BC,又∵直棱柱,∴BB_1⊥平面A_1B_1C_1。∴BB_1⊥A_1B_1,∴A_1B_1⊥平面BB_1C_1C.(2)∵A_1C在平面BC_1内射影为B_1C,由三垂线定理得A_1C⊥BC_1.(3)取BB_1中点F,连EF,DF,∵DE∥A_1B_1,∴BE⊥平面BB_1C_1C,∴∠DFE为二面角D-BB_1,-E     

“垂足三角形”的几个性质

1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。     

对一道高考试题的简解与拓广

2007年江西高考理科第20题是这样的:如图是一个直三棱柱(以A_1B_1C_1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A_1B_1=B_1C_1=1,∠A_1B_1C_1=90°,AA_1=4,BB_1=2,OC_1=3.     

三角形与其内接三角形面积的关系

设A_1,B_1,C_1分别是△ABC中BC,CA,AB边上的任意点,则你△A_1B_1C_1为△ABC的内接三角形。本文中记△ABC的面积为S,AB=c,BC=a,CA=b,内切圆半径为r,三旁切圆半径为r_a,r_b,r_c;AC_1/C_1B=m,BA_1/A_1C=n,CB_1/B_1A=l,△AC_1B_1,△BA_1C_1,△CB_1A_1,△A_1B_1C_1的面积分别为S_1,S_2,S_3,S′。则有。定理、△ABC的面积S与其内接△A_1B_1C_1面积S′有如下关系式:S′=(1+mnl)/((1+m)(1+n)(1+l))S其中AC_1/C_1B=m,CB_1/B_1A=l,BA_1/A_1C=n。     

垂足三角形序列

我们知道,凡不是直角三角形的三角形都有它的垂足三角形,(本文下面所涉及的三角形都不是直角三角形)。垂足三角形的形状及大小由原三角形完全确定;如果垂足三角形不是直角三角形,那么它的垂足三角形又被完全确定下来;…。这样下去,可得到一系列由原三角形完全确定的垂足三角形。(如下图)△A_1B_1C_1是△ABC 的垂足三角形;△A_2B_2C_2是△A_1B_1C_1的垂足三角形;…△A_(n+1)B_(n+1)C_(n+1)是△A_nB_nC_n 的垂足三角形;…。我们称△A_1B_1     

透镜的光心在那里

常用透镜的两个面为球面,过两球心的直线叫主轴。在主轴上有一特殊点叫做透镜的光心。怎样确定透镜光心的位置呢?现以凸透镜为例叙述于下: 如果凸透镜两球面半径分别为R_1、R_2,如图1.在第二球面上任取一点A_1,连接球心C_2,A_1C_2为A_1点的法线。过第一球面心C_1向第一球面作C_2A_1的平行线,交第一球面于B_1点,C_1B_1为第一球面B_1点的法线。     

一道立体几何好题

贵刊八五年五期刊出的《一九八五年北京市中学生数学竞赛·高中一年级试卷》第二题是一道少见的立体几何好题。这个题是: 正三棱柱ABC-A_1B_1C_1侧面的三条对角线AB_1、BC_1、CA_1中,若AB_1⊥BC_1,求证:A_1C⊥AB_1。这个题好在题设、题断简明、自然,求解方法灵活、多变。各种证法汇集起来,包括了立体几何中“怎样证明两条异面直线垂直”的主要方法和技巧。下面试给出几个不同的证法:[证法一](用三垂线定理及其逆定理证明两直线垂直):