椭圆和双曲线的又一个优美性质

本文介绍笔者新发现的椭圆和双曲线的又一个优美性质．     

椭圆和双曲线的一个优美新性质

<正>圆锥曲线是一类重要的平面曲线,它有很多优美的性质被不断发现.笔者最近研究发现椭圆和双曲线的一个优美的新性质,写出来与读者共享.如图1,设椭圆的中心为O,A、B、C三点都在椭圆上,连接OA,OB,OC,若满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120°,则1/(OA)²+1/(OB)2+1/(OB)²+1/(OC)2+1/(OC)²是一个定值.确切地     

椭圆和双曲线切线的又一个有趣性质

本刊[1]介绍了椭圆和双曲线切线的一个有趣性质与应用．在其启示下，笔作了进一步的研究，又得到一个更有趣的性质，现说明如下，供同行参考．     

椭圆双曲线的一个性质与应用

椭圆和双曲线有许多的性质，已被大家所知．最近笔者对它们作了些研究，又得到了一个重要而有趣的性质，现说明如下，供读者参考。[第一段]     

椭圆与双曲线一个性质的推广

文[1]给出了椭圆,双曲经的弦对顶点张直角的一个充要条件.本文对此作出如下的推广:     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

关于双曲线 椭圆的一个性质的注记

文[1]证明了双曲线、椭圆的一个性质,即性质1设A,B分别是双曲线同支上两点,F1,F2为双曲线的焦点,连AF1,AF2,BF1,BF2,则(1)若AF1BF2为凸四边形时,四边形AF1BF2有内切圆;(2)若四边形AF1BF2为凹四边形时,则四边所在的直线围成的四边形有内切圆.图1性质2设A,B分别是椭圆上两点,F1,F2为其焦点,若F1A的延长线与F2B的延长线交于P点,AF2,BF1交于Q点,则四边形PAQB有内切圆(图1).本文首先给出这一性质的另一证法,然后证明另外一个类似的性质.为此,先引入有关定义及引理.定义[2]若一多边形的诸边或其延长线同切于某圆,则这多边形称为…     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1]、[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质，本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质．     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

椭圆与双曲线的一个性质及应用

本文介绍椭圆与双曲线的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 1 设P点是椭圆b2x2+a2y2+a2b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=2b2/1+cosθ 简证:由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a (1) 在△PF1F2中,由余弦定理有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ=4e2 (2) (1)2-(2)化简得 |PF1|·|PF2|= 2b2/1+cosθ 性质2 将性质1中的 b2x2+a2y2=a2b2改为b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b> 0),其余不     

椭圆与双曲线的一个性质及其联想

<正>一、问题的提出文献中,作者针对学生的想不到、消不去、算不对这三大难点,给出三个具体的例子进行剖析,通过画思维导图的方式得出了具体的解决策略,笔者读后受益匪浅.对于文中例1的解法,笔者认为,虽然思路常规,但计算量稍大,略显繁琐.其实本题的数学背景是不少文章中提及的圆锥曲线的伴侣点问题,本文将继续探讨.     

椭圆，双曲线的一个性质及应用

设F1，F2为椭圆C1：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a&;gt;b&;gt;0)或双曲线C2：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b&;gt;0)的两个焦点，点P（x0,y0)在C1或C2上（x0≠&;#177;a),∠F1PF2=θ,半焦距为c，则     

椭圆、双曲线焦点三角形的一个性质

文[1],[2]研究了椭圆和双曲线焦点三角形的一些性质,本文给出椭圆和双曲线焦点三角形的另一个性质.     

椭圆、双曲线外切矩形的一个性质

文[1]介绍了椭圆与双曲线准圆的概念及其准圆与准线的一种关联．笔者在研究椭圆与双曲线外切矩形时,得到了一个和准圆相关的性质,阐述如下。     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

椭圆x2/c2 y2 b2=1(a＞c＞6＞0,c=√a2-b2)内含于椭圆x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0)、双曲线x2/c2-y2/b2=1(a＞0,b＞0,c=√a2 b2)内含于双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,6＞0).所以,我们不妨把它们叫做"母子"椭圆和双曲线.经过探索研究,它们有如下一个十分有趣性质.     

椭圆双曲线和抛物线性质的相关性

着重从椭圆，双曲线，抛物线二种曲线的统一定义规则二种曲线之间的相互演变规律两方面着手。研究了二种曲线之间一系列性质的内在联系。     

椭圆和双曲线的性质与应用

本文介绍椭圆和双曲线的一个垂直性质与应用,供读者参考. 定理1 经过椭圆x/a2+y/b2=1(a＞b＞0)准线和x轴的交点E且倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A,B两点,O是椭圆中心,则OA上⊥OB的充要条件是sinθ=b/a√a2-b2/a2+b2.     

黄金椭圆和黄金双曲线的性质

椭圆和双曲线是非常重要的两种圆锥曲线 ,在每年的高考试题中都有出现 .本文主要论述离心率为 5 -12 的椭圆和离心率为5 +12 的双曲线的性质 .1　概念如果一个椭圆的离心率为 5 -12 ,则称该椭圆为黄金椭圆 .如果一个双曲线的离心率为 5 +12 ,则称该双曲线为黄金双曲线 .2　性质性质 1　黄金椭圆的短轴长和长轴长的平方比等于 5 -12 .证明 :不妨设黄金椭圆的方程为 x2a2 +y2b2 =1( a >b>0 ) ,则 5 -12 =ca.因为 c2 =a2 -b2 ,所以 a2 -b2a2 =( 5 -12 ) 2 =3 -52 ,则 b2a2 =5 -12 .所以黄金椭圆的短轴长和长轴长的平方比等于 5 -12 .类似地 ,我…     

椭圆、双曲线有关切准点的一个性质

将椭圆中有关切准点的一个性质推广到双曲线上,并发现了椭圆与双曲线另外一个有关切准点的性质。     

椭圆和双曲线的一个有趣定值

最近笔从向量的角度对椭圆和双曲线作了一点研究，得到了一个十分有趣的性质，现论述如下，与读共享．[第一段]