圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

听故事得灵犀巧解中考题

1考题回顾例1在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.(1)如图1(a),四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形DEFG的边长;(2)如图1(b),△ABC内有并排的两个相等的正方形,由它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形GDKH的边长;(3)如图1(c),△ABC内有并排的三个相等的正方形,由它们组成的矩形内     

封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题

文[1]讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最大问题.1.圆内接四边形的面积最大值如图1,四边形ABCD是圆O的内接四边形,圆O的半径为R.设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠A=α,∠C=β.     

介绍三道几何题(初三)

有三道中考几何题出得很好,特介绍给同学们. 例1 如图1,四边形ABCD内接于O,延长DA、CB交于点E,EF∥DC交AB的延长线于点F,粥切O于点G.求证:EF=FG. (2001年北京丰台区中考) 证明在△EBF和△AEF中.因为EF//DC,所以∠1=∠2.因为对于圆内接四边形ABCD有∠3=∠2,     

负指数的运算技巧

设ABCD为圆内接四边形,连结对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形．如图1．     

托勒密定理·证明·应用(初三)

托勒密,2世纪希腊数学家.定理在圆的内接四边形ABCD中.AB·CD+BC·AD=AC·BD.证明如图1所示,在BD上找一点P,使∠1=∠2.于是在△ABP和△ACD中。     

用托勒密定理能求出圆内接四边形的对角线长

《数学奥林匹克中级读本(下)》(四川大学出版社出版,1991年10月第二版)一书中有这样一道例题(P75,例6): 如右图,设圆内接四边形ABCD的四边AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求对角线AC和BD的长(要求用a,b,c,d来表示)。书中在用余弦定理和圆内接四边形内对角之和为180°求出了两对角线之长后,有如下说明:“这例题用托勒密定理是不能求出圆内接四边形对角线的长。”然而我们说这说明是不正确的,用托勒密定理同样也能求出圆内接四边形的对角线长,现具体推理如下: 解法一:在弧ADC上取点M,使AM=CD=c,连MC,则△AMC≌△CDA(边、角、边),从而MC=AD=d,对圆内接四边形ABCD及     

2005年全国初中数学联赛

一、选择题(每小题7分,共42分)1.化简14 59 302 13-66-402的结果是().(A)无理数(B)真分数(C)奇数(D)偶数2.圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14.则这个四边形的面积为().(A)7821(B)9712(C)90(D)1023.设r≥4,a=1r-r1 1,b=1r-r1 1,c=r(r 1r 1).则下列选项中,一定成立的是().     

欧拉不等式的推广

欧拉不等式是指:若三角形的内切圆和外接圆半径分别为r和R,则R≥2r。将此不等式推广到四边形中,有: 定理设双圆四边形(既有内切圆又有外连圆的四边形的内切圆和外接圆的半径分别为r和R,则 R≥2~(1/2)r ①分析如图,设ABCD为双圆四边形,边长依次为a、b、c、d,令AC=u,则 u=((ac bd)(ad bc)/(ab cd))~(1/2) (参见[3]) 设ABCD的面积为△,则△A=rs,其中s=1/2(a b c d)∴r=△/s。     

几个三角不等式的几何证法

例1 在锐角△ABC中,求证:sinA sinB sinC>3~(1/2), 证 如图1所示是一个直径为1的圆。△ABC内接于圆。由于A、B、C都是锐角,则不妨设60°≤C<90°。由图易知:BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC=1,∴sinA=BC,sinB     

一道几何命题的证明与变式训练

圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1　　　　　　　　图 2证明　连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) …     

九年级第一学期期中数学质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)图11.如图1,△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转180°,点C落在C′处.则CC′的长为().(A)42(B)4(C)23(D)25图22.如图2,在四边形ABCD中,∠B ∠D=180°,AB=AD,AC=1,∠ACD=60°.则四边形ABCD的面积为().(A)3(B)23(C)43(D)33图33.如图3     

浅述圆锥曲线中的特征Rt△ABC

定义1 在圆O:x2+y2=r2中,AB为⊙O的任一直径,如图1,我们把以直径AB为斜边的圆内接△称为圆的特征Rt△.     

圆与直线形“牵手”

<正>圆是初中几何的重要内容,常与三角形、四边形等相结合出现在解答题中,其考查形式具有一定的综合性和创新性．金题展示考点一、圆与全等三角形例1如图,已知四边形ABCD是圆的内接四边形,且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,试探究线段AD,BC,AC之间的等量关系,并证明．     

化隐为显 与圆共舞——例谈“四点共圆”的判定及妙用

一、"四点共圆"(圆内接四边形)的判定判定1如果四边形的一组对角互补或一个外角等于它的内对角,那么这个四边形是圆内接四边形,即四边形的四个顶点共圆(如图1).     

国家基础教育课程改革实验区2004年中考试题分类选编(二)

一、直线形 (三角形、四边形、相似形 )图 11 . (贵阳市 )如图 1 ,直线a ∥b,则∠ACB =　　　　°.2 .(灵武市 )在同一时刻 ,身高 1 .6m的小强的影长是 1 .2m ,旗杆的影长是1 5m ,则旗杆高为 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1 6m　 (B) 1 8m　 (C) 2 0m　 (D) 2 2m3 .(南宁市 )顺次连接一个任意四边形四边的中点 ,得到一个　　　　四边形 .4.(灵武市 )如图 2 ,等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC ,AD =5,AB =6,BC =8,且AB ∥DE ,△DEC的周长是 (　　 ) .(A) 3　 (B) 1 2　 (C) 1 5　 (D) 1 95.(灵武市 )如图 3 ,…     

一道数学联赛预赛题的解法探究

<正>2019年全国高中数学联赛广西预赛第11题是一道平面几何试题:题目如图1所示,AD、AH分别是△ABC (其中AB>AC)的角平分线、高线,点M是AD的中点,△MDH的外接圆交CM于点E．求证:∠AEB=90°．此题的主要构形为三角形与圆,涉及圆内接四边形、角平分线及四点共圆的有关性质．文[1]利用相似和到角给出了证明．笔者观察图形的结构特征,结合平面几何中的常用定理及几何变换,从多个视角给出下面几种不同的证明方法．     

一道高考题的变式及推广

2009年高考江西卷（文）第22题：如图1,已知圆G：（x-2）^2＋y^2=r^2是椭圆x^2/16＋y^2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点．     

对江西卷文科第22题的探究

2009年高考江西卷（文）第22题： 如图1,已知圆G：（x-2）^2＋y^2=r^2是椭圆x^2/16＋y^2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点．     

等补三角形的性质及其应用

定义有一角对应相等而另一角对应互补的两个三角形,称为等补三角形。 等补三角形广泛存在于下列几何图形中:(1)有内或外角平分线的任意三角形;(2)顶点与底边所在直线上任一点连线的等腰三角形;(3)有对角线的等腰梯形;(4)对角线平分一内角的圆内接四边形;(5)一组邻边相等的圆内接四边形。鉴于等补三角形的存在范围非常广泛,笔者研究了它的一些性质,本文介绍其中较为优美的几个,并例谈其在解题中的应用,供参考。 定理1 等补三角形中,相等角的对边与互补角的对边对应成比例。 证明如图1,等补△ABC和△A’B’C’中,