第39届IMO预选题8的简证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。     

第39届IMO预选题解答(上)

1.本届IMO第1题. 2.已知ABCD是圆内接四边形,E、F分别为B、CD上的点,且满足AE:EB=CF:FE。设P是线段EF上满足PE:PF=AB:CD的点.证明:△APD和△BPC的面积之比不依赖于E、F的选择。     

第33届IMO预选题

第33届IMO于1992年7月在莫斯科举行,由俄罗斯主办。本届组委会共征集到试题65道,经初步筛选后,提交领队会议讨论的预选题为22道(先提交了前18题,后又补入4题)。     

第35届IMO预选题

本届预选题一共24题,其中6题已选为考题,现将其余18题刊登出来,供师生们参考,解答将陆续给出。 代数部分(共5题) 1.(美国)设a_0=1994,对任何非负整数n,a_(n 1)     

第37届IMO预选题

1.设a、b、c是正实数,并满足abc=1.证明: ab/(a~5 b~5 ab) bc/(b~5 c~5 bc) ca/(c~5 a~5 ca)≤1,并指明等号在什么条件下成立. 2.设a_1≥a_2≥…≥a_n是满足下述条件的n个实数,对任何整数k>0,有a_1~k a_2~k … a_n~k≥0成立.令p=max{|a_1|,|a_2|,…,|a_n|}.证明:p=a_1,并且对任何x>a_1,均有     

第30届IMO预选题解答

说明各国向第30届IMO共提供了107道试题(我国提交的试题由于某种原因,组织委员会未能收到),选题委员会从中初选出32道题供主试委员会决定.这些题可以列成一个简表:     

第33届IMO预选题解答

1.首先,二一y一l是一组解.其次,如果(二,y)是一组解,有y)x,那么,考察整数对(x:,y),其中 犷+从~x·‘T 1.(二)显然.由(,)可知,二,与y的任何公约数都是m的约数,又由(2)知,该公约数亦为,的约数,因此,有 (Jl,夕)=1. 此外,由(2)和(*)可知 二2(x}+m) 一(犷+m)’+尹m ~犷十Zn理2+m(‘扩+胡)是y的倍数.由于(二,y)一1,因此·(一二、,y)满足题设条件(1)一(3).再由(二)知.二,>y,因而这一过程可无限多次进行下去,使我们私l到无穷多组合乎条件的整数. 2.记j一’‘’(、)=j’(f‘””(x)),其中,,一1,2,…,且 f‘“‘(x)~、r,f‘”(,)=f(二).利用这些记号…     

第31届IMO预选题解答

1.(澳大利亚3)整数9可以表成两个相继的正整数之和:9=4 5;此外,9还恰可用两种方法表成相继的正整数之和:9=4 5=2 3 4.试问是否存在正整数,它既可表成1990个相继的正整数之和,又恰可用1990种方法表成至少两个相继正整数之和?     

第35届IMO预选题解答

第35届IMO有预选题24道,其中有6题已选为竞赛题,尚有18题,以本届IMO学术委员会(香港)提供的预选题解答(英文本)为基础,作者作了一些修改、补充,整理成文,供读者参考。     

一道IMO预选题简证

IMO11(1990,泰国)预选题2是:a,b,c,d∈R~-且∑ab=1。则 ∑ (a~3/(b c d))≥1/3。 证明 ∵∑(a~3/(b c d)) 1/9∑a(b c     

第32届IMO预选题及解答

1 (菲律宾)设 P 是△ABC 内任一点,P_1和 P_2分别是从 P 到边 AC 和 BC 的垂线的垂足,Q_1和 Q_2分别是从 C 到 AP 和 BP 的垂线的垂足.求证三条直线 Q_1P_2,Q_2P_1和AB 共点.证易知 C,P_1,Q_2,_P,Q_1,P_2六点共圆.由于 CP_1与 PQ_1交于点 A,Q_2P 与P_2C 交于点 B,应用巴斯卡定理可知 Q_1P_2与 Q_2P_1的交点在直线 AB 上,即直线 Q_1P_2,Q_2P_1和 AB 共点.2.(日本)已给锐角三角形 ABC.设     

第48届IMO预选题（一）

数论部分 1.求所有的正整数对(k,n),使得(7k-3n)|(k4 n2). 2.设b、n是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得k|(b-ank),证明:存在整数A,使得b＝An.     

第53届IMO预选题（四）

1．设A为整数集合,若对于任意的x、y∈A（允许x、y相同）,及每个整数k,均有戈。＋kxy＋y2∈A,则称集合A是“允许的”．求所有非零整数数对（m,n,）,使得包含m、n的唯一允许的集合是由所有整数构成的．     

第48届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX．证明：∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X．     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

第49届IMO预选题（四）

数论部分 1.设n是一个正整数,p是一个质数.证明:如果整数a、b、c(不必是正的)满足an+pb=bn+pc=cn+pa, 则a=b=c.