一类数论函数的性质

对于任意给定的自然数n，Euler函数φ（n）定义为不大于n且与n互素的正整数的个数，ω（n）表示n的不同素因子的个数．为了研究方程φ（φ（φ（n）））=2^ω（n）的可解性，首先要了解数论函数φ（φ（φ（n）））的相关性质．本文在这方面作了初步工作，并给出了有关数论函数φ（φ（φ（n）））的几个性质．     

三角辅助公式的解读

三角辅助公式αsinx＋bcosx=√α^2＋b^2sin（x＋φ）（其中角φ所在象限由α,b符号确定,角φ的值由tanφ=b/a确定）能将一些函数化成y=Asin（ωx＋φ）＋k（其中A,ω,φ为常数,A〉0,x∈R）的形式．在近几年的高考中,三角函数的图象和性质的考查,常常围绕y=Asin（ωx＋φ）的问题展开．下面谈谈辅助公式在解题中的应用．     

关于Smarandache LCM函数对偶函数的方程

摘要：对于任意的正整数n,著名的SmarandacheLCM函数的对偶函数SL（n）=max｛k：[1,2,…,k]｜K,K∈N}表示n的不同素因子的个数.利用初等数论和分析的方法研究函数方程SL（d）＋1=2^ω（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

由五点作图法确定正弦型函数中的ω与φ

运用换元思想,利用正弦函数图象的五个基本点可以作出正弦型函数y=Asin（ωx＋φ）的图象（以下称五点作图法）．将这个作图过程逆向思考,即根据y=Asin（ωz＋φ）的图象,通过关系式u=ωx＋φ中x与u的对应关系建立关于ω,φ的方程,便可求出ω,φ的值．如果φ的范围不属于给定范围,加减2kπ（k∈Z）便可。下面举例说明．     

关于一个加强的Hardy不等式

证明了如下权系数ω（k）的不等式：（ω（k）=√k∞∑n=kn2 n∑j=i 1/√j≤4（1-θ/√k）（k∈N））,这里,θ=（1-1/4∞∑n=1 1/n2 m∑k=1 1/√k）=0.13788928^＋是最佳值.从而建立了一个加强的Hardy不等式（P=2）.     

探究运用三角函数对称性、奇偶性解题

一、三角函数对称问题三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象具有对称性.根据图象,由ωx+φ=κπ+π/2,得对称轴方程是x=1/ω（κπ+π/2-φ）;再由ωx+φ=κπ,得对称中心是（（κπ-φ）/ω,0）（以上k∈Z）.下在同通过一道高考题,给出求解三角函数图象对称问题的几种处理策略.例1函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-π/8对称,求实数a的值.分析一般地,可考虑利用公式asinx+bcosx=（a²+b²）^1/2sin（x+φ）,将f（x）化为只含一个三角式的形式,f（x）=（a²+1）^1/2(sin2x·1/（a²+1）^1/2+cos2x·a/（a²+1）^1/2)=（a²+1）^1/2sin（2x+φ）,其中sinφ=a/（a²+1）^1/2,cosφ=     

一类高次Diophantine方程的求解

目的研究Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解问题.方法初等方法.结果设n是正整数,m=2^n,证明了当n〉1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）没有非零整数解（x,y）.指出当n=1时,方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）是关于x,y的恒等式.结论彻底解决了Diophantine方程（x^2＋y^2＋（x＋y）^2）^m=m（x^2m＋y^2m＋（x＋y）^2m）整数解的问题.     

关于数论函数方程φ（n）=S（n^t）

对正整数n,设φ（n）和S（n）分别是n的Euler函数和Smarandache函数.本文应用函数的单调性证明了,方程φ（n）=S（nt）,当t=6时方程仅有解n=1,81,96,169,338.     

与Smarandache双阶乘对偶函数有关的方程

对任意的正整数n,S^＊＊（n）表示Smarandaehe双阶乘对偶函数,Ф（n）表示Euler函数．利用初等方法研究方程S^＊＊（n）=n,（S^＊＊（n））^2=2n及S^＊＊（n）=Ф（n）的可解性,并给出了每个方程所有正整数解．     

一个Hilbert型不等式的加强

引入如下权系数的不等式：ω（n）=∑k=1^∞1/max{k,n}√n/k≤4-θ/√n（θ=1.3876^＋）.从而得到一个Hilbert型不等式的一个加强式．     

双warped积流形之间2-调和的积映射

讨论了积映射Φ2=φ×ψ和2个广义的投影φ和ψ的2-调和性,得到了几个主要结论：Φ2=φ×ψ是恰当2-调和映射的充分必要条件是函数b,f分别为方程-1/f2 Jφ（dφ（grad（lnb）））＋n/2grad dφ（grad（lnb））2=0,-1/b2Jψ（dψ（grad（lnf）））＋m/2grad dψ（lnf）=0的非常值解;Φ2=φ×ψ是恰当2-调和映射的充分必要条件是φ和ψ都是恰当2-调和映射.     

一类高阶非线性微分方程周期解的存在性

运用Mawhin连续性定理,研究一类高阶非线性微分方程(φp(x(t)-cx(t-r)(m)(m))+∑i=1mfi(x)(i-1)(t x(i)(t)+g(t,x(t))=e(t),获得了其周期解存在性新的充分条件.     

两对称态叠加多模叠加态光场的部分奇次Nj次方振幅压缩

对两对称态叠加多模叠加态光场｜φ^（2）〉q的广义非线性不等幂次Nj次方振幅压缩特性进行了详细研究．结果发现多模叠加态光场｜φ^（2）〉q在一定条件下可呈现出周期性变化的部分奇次Nj次方振幅压缩效应,这一结果不同于现有报道．     

关于Mordell方程y^2=x^3＋k

设l,l1,l2,…,ls为任意整数,n为正整数,n1,n2,…,ns为任意非负整数．用初等数论方法证明了：如果k满足k=（4l＋2）^3-Пi=1^s（4li＋1）^2ni或k=（4l＋3）^3-2^2nПi=1^s（4li＋1）^2ni,则Mordell方程y^2=x^3＋k无整数解．     

关于一个幂级数收敛域的探讨

本文主要利用比较判别法,Sdding公式和Raabe判别法证明了幂级教^∞∑n=0（2n）!/（n!）^2x^2n在其收敛区间右端点的发散性。     

从H_(log)~∞到混合范数空间的Volterra复合算子

用B表示Cn中的复单位球,S表示B的边界,H(B)表示B上的一纯函数全体。设f,g∈H(B),φ是B上的全纯自映射,Volterra复合算子Tg,φ定义如下:Tg,φf(z)=0∫1f(φ(tz))Rg(tz)(dt)/t,z∈B。研究了从对数型空间的Hlog∞到混合范数空间上Volterra复合算子Tg,φ的有界性及紧性。     

可换环上严格上三角矩阵李代数的拟导子

设R是含幺可换环,Nn（R）表示R上的所有n×n严格上三角矩阵组成的李代数,对Nn（R）上的一个线性变换φ,若存在Nn（R）上的一个线性变换φ,对任意的x,y∈Nn（R）都有[φ（x）,y]＋[x,φ（y）]=φ（[x,y]）,则称φ为Nn（R）上的拟导子.本文定出了Nn（R）上的任一拟导子的具体形式,并对导子的概念进行了推广.     

一类双重退化的奇异扩散方程

根据YIN和WANG的方法,结合Fichera-Oleinik理论,研究奇异扩散方程：φ（ u）/t =div（ραu p-2u）,（x,t）∈QT =Ωx（0,T）,其中Ω是RN 中的有界区域,边界Ω充分光滑,ρ（x）=dist（x,Ω）, p 〉1,α〉0,φ满足：φ∈C2,且存在δ〉0使得φ′（s）〉δ〉0.证明了α≥p -1时,不需要任何边值条件,方程最多有一个满足初值条件的解;而0〈α〈 p -1时,方程存在唯一满足初边值条件弱解.     

一类具功能反应的食饵-捕食系统的定性分析

研究一类具功能反应的食饵-捕食系统：x=xg（x）-yφ（x）,y=y（-d＋eφ（x））在g（x）=a-bxα2-cxα,φ（x）=kxα及23≤α〈1情形下,分析了该系统的平衡点性态,运用Dulac判别法和Poincare-Bendixson环域定理得出系统极限环不存在性及存在性的条件。