三道习题的常见错解分析

题 1　设ｘ∈ [0 ,π],方程ｃｏｓ2ｘ +4ａｓｉｎｘ +ａ -2=0有两个不同的解 ,求实数ａ的取值范围 .错解 :原方程可化为 2ｓｉｎ2 ｘ -4ａｓｉｎｘ +1 -ａ =0 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则方程 2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ =0在 [0 ,1 ]上有一个解 .又令 ｆ(ｔ) =2ｔ2 -4ａｔ+1 -ａ ,则有Δ =1 6ａ2 -8( 1 -ａ) =0 ,0≤ａ≤ 1 ,或 ｆ( 0 )ｆ( 1 )≤ 0 .解得ａ =12 或 35 ≤ａ≤ 1 .这是文 [1 ]介绍含参数二次方程求参数取值范围的一道例题 ,其解答过程是错误的 .上述错解在一些数学期刊中流传甚广 ,有必要予以剖析纠正 .分析 :上述解答有两处常见错误 .首先 ,…     

构造二次函数求参数取值范围

构造二次函数来解答三角方程或三角不等式中所含参数取值问题 ,是一种有效的方法。举例说明如下 :例 1　 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛题 )若关于ｘ的方程ｓｉｎ2 ｘ +ｓｉｎｘ +ａ =0有实数解 ,求实数ａ的最大值与最小值的和。分析与解答　如果把ｓｉｎ2 ｘ +ｓｉｎｘ +ａ =0单纯看作一个关于ｓｉｎｘ的方程 ,用判别式和求根公式来求解 ,则十分冗繁。视ａ为关于ｓｉｎｘ的二次函数 ,则易于求解。令ｔ=ｓｉｎｘ ,则 -1≤ｔ≤ 1 ,ａ =-ｔ2 -ｔ=-(ｔ+12 ) 2 +14 ,当ｔ=-0 5时 ,ａｍａｘ=0 2 5 ,当ｔ=± 1时 ,ａｍｉｎ=-2 ,∴ａｍａｘ+ａ…     

构造二次函数求参数取值范围

构造二次函数解答三角方程或三角不等式中求所含参数取值问题 ,是一种有效的方法 .举例说明如下 :例 1　 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛题 )若关于ｘ的方程ｓｉｎ2 ｘ+ｓｉｎｘ +ａ=0有实数解 ,求实数ａ的最大值与最小值的和 .分析　如果把ｓｉｎ2 ｘ+ｓｉｎｘ +ａ=0单纯看作一个关于ｓｉｎｘ的方程 ,用判别式和求根公式来求解 ,则十分冗繁 .视ａ为关于ｓｉｎｘ的二次函数 ,则易于求解 .令ｔ=ｓｉｎｘ ,则 -1 ≤ｔ≤ 1 .ａ=-ｔ2 -ｔ=-ｔ+ 122 + 14 .当ｔ=-12 时 ,ａｍａｘ =14 .当ｔ=1时 ,ａｍｉｎ =-2 .∴ａｍａｘ +ａｍｉｎ =-74.例 2　…     

函数思想的应用

函数思想是数学中的重要思想 ,用运动、变化的观点分析、处理变量和变量之间的关系是函数思想的精髓 .在解题中如能运用函数思想合理选择函数关系式 ,就能使解题思路自然流畅 .例 1　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　方程等价变形为4+ａ =-3 ｘ+43 ｘ .令ｆ(ｘ) =-3 ｘ+43 ｘ ,则ｆ(ｘ) ≤ -4 .∴ 4+ａ≤-4 ,ａ≤-8.ａ的取值范围为 ( -∞ ,-8] .例 2　关于ｘ的方程 9ｘ+( 4 +ａ) 3 ｘ+4 =0有两个实数解 ,求实数ａ的取值范围 .解　令ｔ =3 ｘ,则问题等价于方程ｔ2 +( 4 +ａ)ｔ+4 =0在 ( 0 ,+∞ )上有…     

审题的“五要素”

一、注意关键的字词例1 m为何实数时,方程mx2-2x+3=0有实根误解∵方程mx-2x+3=0有实根,∴△=(-2)2-4·m·3≥0,解得m≤1/3.∵二次项系数m≠0,     

例说不等式中恒成立问题的求解思路

不等式中恒成立问题是各类考试中的常见题型,其解法灵活.那么,如何求解呢?下面通过例题加以说明.一、分离参数,转化为求函数的最值例1　设ｆ(ｘ)是定义在(-∞,3]上的减函数,已知ｆ(ａ2-ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+1+ｃｏｓ2ｘ)对于ｘ∈Ｒ恒成立,求实数ａ的取值范围.分析:应在定义域和增减性的条件下去掉函数符号ｆ,使ａ从ｆ中解脱出来.解:原不等式等价于ａ+1+ｃｏｓ2ｘ≤ａ2-ｓｉｎｘ≤3对ｘ∈Ｒ恒成立,即　　　　　　　　ａ2≤3+ｓｉｎｘ,ａ2-ａ≥1+ｃｏｓ2ｘ+ｓｉｎｘ①②对ｘ∈Ｒ恒成立.令ｔ(ｘ)=3+ｓｉｎｘ,则①对ｘ∈Ｒ恒成令ｓ(ｘ)=1+ｃｏｓ2ｘ…     

一类分式函数值域的求法

求形如 ｙ =ａ1ｘ2 ｂ1ｘ ｃ1ａ2 ｘ2 ｂ2 ｘ ｃ2(ａ1与ａ2 ,ａ1与 ｂ1,ａ2 与ｂ2 均不同时为零 )的分式函数的值域 ,最常用的方法是“判别式”法 ,但当自变量ｘ仅在定义域内的某个子区间上取值时 ,判别式法就不再能用 ,而若转化为一元二次程实根的分布问题 ,如求函数 ｙ=ｓｉｎ2 ｘ - 3ｓｉｎｘ 4ｓｉｎ2 ｘ 3ｓｉｎｘ 4的值域 .若设ｓｉｎｘ =ｔ,则转化为求函数 ｙ=ｔ2 - 3ｔ 4ｔ2 3ｔ 4(- 1≤ｔ≤ 1)的值域 ,由文 [1]知判别式法不能用 .文 [1]是将问题转化为关于ｔ的一元二次方程 (ｙ- 1)ｔ2 3(ｙ 1)ｔ 4(ｙ -1) =0在区间…     

用判别式解某些超越方程不是错解

近年来,各种有关中学数学教学的小册子以及开辟“错在哪里?”或“作业讲评”等专栏的杂志常把用判别式解下列方程作为典型“错误”之一并加以“分析”。先摘录如下: “求 x~2-2xsin1/2πx+1=0的一切实根错解∵方程有实根,∴⊿=(-2sin1/2πx)~2-4≥0,即sin~21/2πx≥1;又sin~21/2πx≤1,故sin~21/2πx=1,     

两个取值问题的错解与正解

例 1　已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解　∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析　由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解　y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2　已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解　∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 ,　　 -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -…     

一元二次方程问题错解例析

在解与一元二次方程相关的问题时 ,如果考虑问题不全面 ,思维欠缜密 ,就常常出现错误解答 .例 1　已知关于ｘ的方程 (ｍ - 1 )ｘ2 +2ｍｘ +ｍ =0有实数根 .求实数ｍ的取值范围 .错解 :∵方程 (ｍ - 1 )ｘ2 + 2ｍｘ +ｍ =0有实根 ,∴ ｍ - 1 ≠0 ,( 2ｍ) 2 - 4·(ｍ - 1 )·ｍ≥0 .解得ｍ≥0且ｍ≠1 .故所求的取值范围是ｍ≥0且ｍ≠1 .评析 :解答中忽视了两点 :一是已知条件没有肯定已知方程是二次的 ,而解答是按二次方程考虑的 ;二是方程有实根但题设没有指明有几个实根 ,因而有一个实根也应当是符合题意的 .正解 :分两种情况 :( 1 )当ｍ - …     

用判别式解题不可忽视隐含条件

[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次…     

求函数值域的几种常用方法

求函数值域的方法很多 ,也没有一种固定的方法 .只能依据函数解析式的结构特征来选择相应的解法 .常用的方法有 :一、配方法形如 ｆ(ｘ) =ａｇ2 (ｘ) +ｂｇ(ｘ) +ｃ的函数的值域问题 ,都可使用配方法 .例 1　求函数 ｙ =-ｘ2 +2ｘ+3 的值域 .解　令ｕ=-ｘ2 +2ｘ +3=-(ｘ2 -2ｘ+1 ) +4=-(ｘ-1 ) 2 +4,显然有　　　　 0 ≤ｕ ≤ 4.由 ｙ =ｕ ,得　 0≤ ｙ≤ 2 .因此 ,函数的值域为 [0 ,2 ].例 2　求函数 ｙ =ｓｉｎ2 ｘ -2ｓｉｎｘ +2 -π4<ｘ≤π 的值域 .解　令ｕ =ｓｉｎｘ -π4<ｘ≤π ,则-22 <ｕ≤ 1 ,函数 ｙ=ｕ2 -2ｕ+2=(ｕ-1 ) 2 +1 .…     

求三角函数最值的几种方法

三角函数的最值是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间基本关系式、两角和、差三角公式的综合考查 ,也是函数思想的具体体现 ,有广泛的实际应用 .下面举例介绍几种求三角函数最值的常用方法 .一、利用三角函数的有界性例 1　求函数ｙ=3ｓｉｎｘ -1ｓｉｎｘ + 2 最值 .分析　由函数式 ｙ =3ｓｉｎｘ-1ｓｉｎｘ+ 2 ,得(ｙ-3 )ｓｉｎｘ =-2 ｙ -1,当 ｙ=3时 ,原方程无解 ,所以ｙ≠ 3 .∴ｓｉｎｘ=-2 ｙ-1ｙ-3 .又∵ -2ｙ-1ｙ -3 ≤ 1,∴ -4≤ ｙ≤ 23 .∴ｙｍａｘ =23 ,ｙｍｉｎ =-4 .二、把函数ｙ=ａｓｉｎｘ +ｂｃｏｓ…     

容易忽略a和△解题的四种情形

在讨论解决一元二次方程 ax2 bx c=0实根问题时 ,初学这方面内容的同学们常出现各类错误 ,集中反映在忽略了方程 ax2 bx c=0的 a和 ,主要有如下四种情况 :一、方程有两个实根时 ,忽略 a≠ 0例 1　已知关于 x的一元二次方程 (1 - 2 k) x2- 2 k 1 x- 1 =0有两个不相等的实数根 ,求 k的取值范围。(2 0 0 0年广西壮族自治区中考题 )错解 :由 =(- 2 k 1 ) 2 - 4 (1 - 2 k) (- 1 )= - 4 k 8>0 ,得 k<2 ,∴当 k<2时 ,原方程有两个不相等的实数根。分析 :错解忽略了有两个实数根就说明这方程是一元二次方程 ,故应有二次项系数 1 - 2 k≠ 0 ,k≠1…     

一类不等式问题的常用方法

恒成立不等式问题是高考、竞赛中一类常见的题型,综合性强、覆盖面广、灵活性大,令不少同学望题生畏.下面通过例题介绍解这类问题的六种常用方法,供大家参考.一、判别式法例1　若不等式2x2+(2x+1)lgm4x2+6x+3<1对任何实数x成立,求实数m的取值范围.解:∵4x2+6x+3=4(x+34)2+34>0,∴原不等式等价于不等式2x2+(2x+1)lgm<4x2+6x+3,整理得,2x2+(6-2lgm)x+3-lgm>0(*)由题意知,不等式(*)对任意实数x恒成立,∴判别式Δ=(6-2lgm)2-8(3-lgm)<0,∴10(a>0)的解集…     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理和其逆定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛中应用也较多 ,现举例如下 .例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ+ｂ2= 1,且ｔ =ａｂ-ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是 (2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 ) .解　由ａ2 +ａｂ+ｂ2 =1,ｔ=ａｂ -ａ2-ｂ2 得 ,ａ2 +ｂ2 =1-ｔ2 ,ａ2 ｂ2 =1+ｔ22 ,则以ａ2 、ｂ2 为根的一元二次方程为 :ｘ2 -1-ｔ2 ｘ+ 1+ｔ22 =0 ( ) ,因为ａ、ｂ为实数 ,所以方程 ( )有实数根 ,即Δ =1-ｔ22 -4 1+ｔ22 ≥ 0 ,得 -3 ≤ｔ≤-13 .例 2　…     

解一元二次方程的错误例析

下面收集的是同学们在解答一元二次方程问题中的典型错误,你出现过类似的错误吗? 一、忽视二次项系数不能为零 例1 (2010年荆门卷)如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是____. 错解:因为方程有两个不等实根,判别式△=4-4a＞0,所以实数a的取值范围是a＜1.     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

一题多解,探根溯源

题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值. 预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2). 方法一:(消元法) 解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1