组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

关于单叶函数的精确邻域

<正> §1 设f(z)在⊿:|z|<1中解析,且满足f(o)=1-f′(o)=0,记其全体为止A·S·,K, C分别为其星象,凸象和近于凸象子类。对于f(z)=Z+sum from k=2 to ∞(a_kz~k∈A,δ≥0,称 Nδ(f)={g(z)=z+sum from k=2 to ∞(b_kz~k∈A:sum from k=2 to ∞(k|a_k-b_k|≤δ} 为f的δ一邻域。 设F(z),G(z)是⊿中的单叶函数,F(z){G(z)(z∈⊿),F(o)=G(o)=1, 存在}记     

自然数方幂迭乘和sum from m=1 to n m~kC_n~m

自然数方幂和S_k(n)=sum from m=1 to n m~k的表达式,伯努利于1713年就已给出,而对自然数方幂迭乘和 sum from m=1 to n m~kC_n~m=1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n ①(其中k,n为任意自然数),我们只见到一些特例,即k=0时,sum from m=1 to n C_n~m=2~n;k=1时,sum from m=1 to n mC_n~m=n·2~(n-1)等等。而当k为任意自然数时,尚未见到一般的直接计算公式。本文记 R_k(n)=sum from m=0 to n m~kC_n~m,可以利用待定系数法,简便地导出它的直接计算公式。     

单叶函数的系数邻域

本文引进单位圆盘D内的解析函数f(z)=Z+sum from n=2 to ∞ a_nZ~n的二系级数领域N~2(f)={ζ:ζ(z)=z+sum from n=2 to ∞ b_nZ~n且sum from n=2 to ∞ n~2|a_n-b_n|≤ζ}的概念,对于一类星形函数和凸函数,我们获得其系数邻域之两条重要性质。     

关于三角级数S_m(n)=sum from k=1 to n(cos~m(2Kπ)/(2n 1))的和

运用Lagrange级数展开法,获得了三角级数S_m(n)=sum from k=1 to 2kn cos~m(2kπ)/(2n 1)的求和公式1,主要结果本文借助于Lagrange级数展开法获得了下列结论:定理:设S_m(n)=sum from k=1 to ncos~m(2kπ)/(2n 1),则有这里m为自然数,[x]表示x的最大整数部分,(?)为二项式系数     

Legendre级数的积分定理

本文对P.Heywood研究的广义积分:integral from 0 to 1 (f(x)/(1-x)~W dx)进行了探讨。在莫叶、陈留琨、霍守诚、蒋润勃等人的研究基础上,将结果推广到:W=4,或4相似文献   

四元数矩阵的奇异值的几个不等式

本文证明了长方四元数矩阵奇异值的一些不等式:设H为四元数体,A∈H~(n×m),B∈H~(m×k),S=min{n,k},1≤l≤s,则 sum from i=1 to l σ_i(AB)≤sum from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅰ) sum from i=1 to l σ_s _(i+1)(AB)≥sum from i+j=m+s-l+1 σ_i(A)σ_j(B) (ⅱ) multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_(m-i+1) (B)≤multiply from i=1 to l σ_i(AB)≤multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅲ) 其中,σ_1(A)≥σ_2(A)≥…≥σ_m(A)≥0是A的从大到小的奇异值,当i>m时,σ_1(A)(?)0。不等式(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)包含或加强了文[3]、[4]、[5]的一些基本结果。     

关于无穷积分收敛的必要条件

我们知道,无穷积分(积分区间是无穷区间的积分)收敛性方面的理论,几乎是和无穷级数的相应理论互相平行的。这是因为无穷积分和无穷级数有着紧密的联系:一方面,对于给定的函数f(x),有integral from n=0 to+∞(f(x)dx)=sum from n=0 to+∞[integral from n=n to n+1(f(x)dx)]=sum fron n=0 to+∞(u_n).(1)其中u_n=integral from n=n to n+1(f(x)dx)(n=0,1,2,…);另一方面,给定级数sum from n=0 to+∞(u_n),我们可以造一个国数f(x)=u_n,n≤x相似文献   

正项级数收敛的一个充要条件

译文[1]提供了级数绝对收敛的一个充要条件,即定理 (导数判别法) 设sum from n=1 to ∞ u_n为实数项的无穷级数,令f(x)是一实函数,对所有的正整数n,使得f(1/n)=u_n,且(d~2f)/(dx~2)在x=0存在,那末,如果f(0)=f'(0)=0,则sum from n=1 to ∞ u_n绝对收敛;反之是发散的。     

一类一阶泛函微分方程的振动准则

本文研究一般的中立混合型微分方程[x(t)+sum from i=1 to m p_ix(t-t_i)]+sum from k=1 to n q_kx(t-σ_k)+sum from j=1 to s r_jx(t+v_j)=0……(1)的振动性,这里所有p_i、q_k、r_j都是正常数,在文[1]的工作之基础上,我们建立了另一个有效和实用的充要条件。本文的方法适用于高阶的情形。     

对称单叶函数的开始多项式及对称星象函数类的支撑点

<正> §1.引言 用A表示⊿:|Z|相似文献   

关于方程sum from k=0 to n((b-5~rK)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rK)~l)

本文证明了:设l,n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to n((b-5~rk)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rk)~l)仅有正整数解l=1,b=5~rn(n+1)和l=2,b=2.5~rn(n+1)     

Cauchy不等式的一个较简证明

设a_1,a_2,…,a_n是不全相等的正数,则成立着著名的Cauchy不等式 1/n sum from k=1 to n a_k>(multiply from k=1 to n a_k)~(1/2) (0) 不等式(0)有很多证明,本短文借助于不等式 (a-b)/ab>0,给Cauchy不等式一个较简的证明,不等式(1)的证明是简单的,实际上,根据拉格朗日中值定理lna-lnb=1/c(a-b),其中a>c>b>0。由此推得不等式(1)。当a=b时,(1)成为等式。以下我们来证明不等式(0) 令σ=1/n sum from k=1 to n a_k。显然,不失普遍性,可以假定     

关于五个裴波那契公式的推广

公式(sum ∑ from k=1 to n)f_k=f_(n+2)-f_2,(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k-1)=f_(2n)-(f_2-f_1)(sum ∑ from k=1 to n)f_(2k)=f_(2n+1)-f_1,(sum ∑ from k=1 to n)f_k~2=f_nf_(n+1)(sum ∑ from k=1 to n)f_kf_(k+1)=1/2(f_(n+2)~2-f_nf_(n+1)- 中,我们把前三个关于任意的裴波那契序列公式(即 f_n=f_(n-1)+f_(u-2),f_1=a,f_2=b)推广到二阶线性递推序列(即 f_n=pf_(n-1)+qf_(n-2),f_1=a,f_2=b,p,q,a,b 均为实数);把后两个公式推广到任意的裴波那契序列中去.     

构造模型函数巧解题

我们知道函数:f(x)=sum from i=1 to n(a_i~x)(0相似文献   

一个含有二项式系数的Diophantine方程

设n是正整数,本文证明了:方程sum from k=0 to n (_k~n)x~(k 1)=y~(n 1)仅有整数解(x,y)=(0,0)和(-1,0).     

例谈用逐步调整法证明不等式

如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a_k/k~2)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a_1相似文献   

用区间套定理研究Abel收敛域的存在性与唯一性

关于幂级数sum from n=0 to ∞(a_nx~n)收敛域的存在性与唯一性问题一般教科书都未给出详细的证明,给出证明的版本利用了确界定理使初学者感到困难,本文构造出一个闭区间列,利用闭区间套定理证明了收敛域的唯一性。形如sum from n=0 to ∞(a_nx~n)=a_0 a_1x_1 a2x~2 a_3x~3 …a_nx~n ……的函数项级数称为幂级数,为了研究其收敛域问题,我们重述一面的重要定理。     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

谈二项式系数

组合数又称为二项式系数,这个名字起源于二项式定理。即:对于任意非负整数n,有如下等式成立:(a b)~ n=sum from k=0 to n(C_n~ka~kb~(n-k)) 若令n分别取0,1,…,n,则可得到由各项系数排成的如下三角形