算术—几何平均值不等式

算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均…     

算术——几何平均值定理的一种新证法

文章介绍算术——几何平均值定理的一种新颖的证法,证法简单,又有启发性     

平均值不等式的一个几何新证法

平均值不等式(a b)/2≥ab~1/2(a,b∈R~ )是初等数学中重要的不等式之一,其应用广泛,几何含义丰富,是数形结合的一个典型范例,所以在教学这一不等式时,人们都十分重视揭示其几何含义,并且得出了不等式的许多几何证法,常见的如:1.用相交弦定理推证(如图1)2.用求圆的切线长推证(如图2)3.用射影定理推证(如图3)4.用作一中位线与腰相等的等腰梯形来证(如图4).     

平均值不等式的若干几何证法

大家知道,均值不等式(a b)/2≥/(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )是中学数学中的一个重要不等式。在不等式的证明和求解有关最值等问题时有着极为广泛的应用。故加强这一不等式的教学,探寻其多种证题途径与方法,则显得很有必要。下面我们着重用几何方法来证明这个不等式,从而能显示出这个不等式的几何意义。 命题 如果a、b∈R~ ,那么(a b)/2≥(ab)~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号) 证法1 如图1所示,AD是直角三角形的斜边BC上的高,E为DC的中点。     

算术-几何平均值不等式的证明

分别利用初等数学及高等数学知识进行算术-几何平均值不等式的证明。     

一个算术—几何—调和平均值不等式的加细

题目已知a、b、c为正实数,且abc=1．证明： 1/a＋1/b＋1/c＋3/a＋b＋c≥4.     

平均值不等式的五种证法

平均值不等式是一个基本不等式,本文采用五种方法对它进行了证明。比较可知通过引理证明要比用数学归纳法证明简单。     

关于算术一几何平均值的一个新的不等式

设a1,a2,…,an∈R^＊,算术-几何平均值不等式如下：a1＋a2＋…＋an/n≥^n√a1a2…an.     

正定矩阵的算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式

本文给出了正定矩阵的算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式.     

平均值不等式的又一证法

学习重要不等式a~3 b~3 c~3≥3abc,(a、b、c ∈R~ )时,我在课堂上发现一个学生提出了一种比教本上更简单的证法     

算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

一个不等式的两种证法

不等式a2/b c-a b2/c a-b c2/a b-c≥a b c(其中a、b、c为ABC的三边)的证明方法很多,大都技巧性强,本文给出两种基本解法.     

谈谈算术—几何平均值定理在解题中的应用

如果a_1,a_2,…a_n都是正数,那么 其中“=”号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立。 这就是著名的算术—几何平均值定理,这个定理的应用是很广泛的,本文仅从四个方面略论它的一些应用。 一、在求(证)函数极值方面的应用     

一个不等式的几何证法

已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱     

一个不等式的几何证法

证明:如图,作△ABC,使∠A=120°,AB=x,AC=y,延长BA至点D使AD=y.连     

三角不等式的几何证法

有一些三角不等式的证明,依赖如下的一个基本不等式:sinx≤x,x∈[θ,π/2].而这一基本不等式,在中学范围内只能用几何方法证明。一般来说,与其花大力气化不等式为上述基本形式,不如直接利用其几何证法的思想,对不等式赋予相应的几何意义,简便直观地得到证明.     

一道不等式例题的几种几何证法

高中《代数》（必修）下册第12页例7:已知a,b,m∈R_ ,且aa/b 此例课本和参考书上分别用分析法和比较法给出了证明,本文再介绍几种几何证法. 证法 1（构造直角三角形）作 Rt △ABC设, AC=a,AB=b     

两个乘积不等式的新证法

给出不等式Ⅱ^n i=1[xi 1/xi]≥[n 1/n]^n的一种新证法，并给出不等式Ⅱ^n i=1[1/xi-xi]≥n-1/n的证明。     

算术平均值与几何平均值的一个新不等式

命题1 设ai≥λ＞0（或0＜αi≤λ）（i=1,2,…,n,n≥2）,则a1＋a2＋…＋an≤a1a2…an/λ^n-1＋（n-1）λ     

一个推广不等式的两种证法

文 [1]作者用均值换元法证明了两个简单的条件不等式问题 ,并给出了四个推广 .其实 ,我们可以给出它的一个统一推广 ,并用中学生熟悉的柯西不等式 (∑ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ∑ｎｉ=1ａ2 ｉ·∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ、向量的数性积不等式 ａ· ｂ≤｜ ａ｜｜ ｂ｜及函数的单调性等知识就可简洁证明 .推广　已知 ∑ｎｉ=1ａｉ =ｋ ,且ａｉ ≥ 0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,ｋ >0 ,ｌ>0 ,ｍ >0 ,则ｌｋ ｍ (ｎ- 1) ｍ ≤ ∑ｎｉ =1ｌａｉ ｍ≤ ｎ(ｌｋ ｎｍ) .证法 1　先证右边不等式 ,用柯西不等式 ,∵ ∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ =∑ｎｉ=1ｌａｉ ｍ· 1≤ ∑ｎｉ=…