一个无理不等式及其应用

在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式: 问题 设a≥x＞1,b≥y＞1,c≥z＞0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)＜√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.① 等号仅当a:x=b:y=c:z时成立. 下面给出不等式①的几个应用.     

一个均值不等式链的简证

命题 已知a＞0,＞0,求证√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b,当且公当a=b时等号成立. 这是一个均值不等式链.     

一个不等式猜想的再推广及简证

宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下: 猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1. 文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广: 推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ.     

对2017年高考数学全国Ⅱ卷不等式选讲证明题的几种别证

题目 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学第23(Ⅱ)题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3=2.证明:a+b≤2. 证法1不等式的变形. 因为a＞0,b＞0,a3 +b3=2, 所以a+b＞0,且(a-b)2≥0. 从而(a+b)(a-b)2≥0,即有 a2b+ab2≤a3 +b3=2. 不等式两边同乘以3得 3a2b+3ab2≤6.不等式两边同加a3+b3得 a3 +b3 +3a2b+3ab2≤8,即 (a+b)3≤8,所以a+b≤2. 证法2反证法.     

利用基本不等式等号成立条件求解竞赛题

正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

基本不等式题型的最值问题

人教版必修五给出了基本不等式a＋b/2≥√ab（a＞0,b＞0）,当且仅当a=b时取等号。其变形有：（a＋b/2）^2≥ab;a^2＋b^2≥1/2（a＋b）^2。     

例谈柯西不等式在解竞赛题中的应用

柯西不等式为:(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a21 a22 … a2n)(b21 b22十… b2n).其中ai,bi∈R(i=1,2,…,n).当且仅当a1/b1=a2/b2=…=an/bn时取"=",(约定ai=0时,bi=0,i=1,2,…,n).对于许多不等式问题,若善于运用柯西不等式及其等价形式,则往往会使一些棘手的问题变得简单明了.关键是构造适合不等式的条件,并能根据问题探索其等价形式.     

巧用均值凑数证明一类不等式

高中教材中的基本不等式(a b)/2≥ab~(1/ab)(a≥0,b≥0)是证明不等式时经常要用到的,取等号的条件是“a=b”,我们称之为“元等”。若对于a b＝p(定值)当且仅当a=b＝p/2(定值)时,ab~(1/ab)才取得最大值。利用这一结论,我们可以证明一类不等式:     

基本不等式题型的最值问题

正人教版必修五给出了基本不等式a+b2≥槡ab(a0,b0),当且仅当a=b时取等号.其变形有:(a+b2)2≥ab;a2+b2≥12(a+b)2.应用基本不等式的条件:①正数;②和定或积定;③相等.基本不等式的一个应用就是求最值.有以下四类问题:一、隐含积定型若a0,b0且a+b的和为定值p,则积ab有最大值ab≤p24.例1已知x0,求y=x+1x的最小值.解y=x+1x≥21x·槡x=2.(当且仅当x=1x时取"=")例2已知x1,求y=x+1x-1的最小值.解y=x+1x-1=x-1+1x-1+1≥2+1=3.(当且仅当x-1=1x-1,x=2时取"=")变式已知x1,求y=x2-x+1x-1的最小值.     

由一道不等式的错证所诱发的多证

笔者在最近出版的一本新书(1)上看到一道不等式证明题: 已知a＞0,b＞0,a+b=1,求证(a+1/a)·(b+1/b)≥25/4.     

高考全国理科卷1压轴题别解

首先介绍一个重要的不等式: 詹森(Jensen)不等式:若f为[a,b]上凸函数(f″≥0),则对任意xi∈[a,b],λi＞0(i=1,2,…,n),∑ni=1λi=1,有     

柯西不等式的妙用

高中代数下册（必修）事项习题十五第6题是柯西不等式的特殊情形：当且仅当ad=bc时等号成立而柯西不等式的一般形式为：若aibi（i=1，2，……n）都是实效，则有当且仅当a＝kbi时等号成立实践证明用河西不等式证明一些不等式将会大大简化证顾过程，下面举若干可用柯西不等式证明的问题供同仁参考问（甘肃省教材编审室编写的高二年级第一学期代数配套练习5第8题）证：”·“a＞b＞c．”．a－c＞0．故务要证明故不等式成立树2如果a，b6R”，且a一b，求证：a3＋b3＞aZb＋abZ（代数下册第13页例幻例3已知a，b，。ER”，那么／＋P十一＞3abc等…     

不等式的解法

一、有理不等式的解法 例1 解关于x的不等式 解 对原不等式去括号、移项、合并同类项,得: ,显然ab≠0. (i)当a、b同号且a≠b时,有x>-a+b/a-b. (ii)当a、b异号时,有x<-a+b/a-b. (iii)当a=b时,有x∈Φ(?). 方法小结将复杂的一元一次不等式转化为基本形式ax>b或ax相似文献   

一道颇具思考的习题

中师数学课本《代数初等函数》第一册 P_(276)15题:已知 a>0,b>0,a b=20,问 a、b 为何值时,a~2 b~2最小?此题可用均值不等式求解如下:∵a~2 b~2≥2ab.∴2(a~2 b~2)≥a~2 b~2 2ab=(a b)~2.∴a~2 b~2≥((a b)~2)/2=200.当且仅当 a=b 时取“=”.∴a=b=10时,a~2 b~2取最小值200.然而,笔者发现,用柯西不等式解这个题将更简捷,     

a~2 b~2≥2ab的引申与应用

众所周知,基本不等式是不等式中的一个重要内容,它在求解不等式的有关问题时有着十分广泛的应用,因而受到了大家的普遍重视.但是,对于基本不等式的应用,我们往往局限于公式的本身,而忽略变形引申后所得结果,导致其解题功能得不到充分的发挥.下面以a2 b2≥2ab的变形引申与应用为例,谈谈笔者在这方面的做法与体会,供大家参考.一、变形引申将a2 b2≥2ab的两边同时加上a2 b2并整理得:变形Ⅰ:(a b)2≤2(a2 b2)(a、b∈R,当且仅当a=b时取等号).将(a b)2≤2(a2 b2)的两边同时开方并结合|a b|≥a b得:变形Ⅱ:a b≤2(a2 b2)(当且仅当a=b≥0时取等号).…     

一些不等式的新证法

在平均值不等式a~2 b~2≥2ab中,当b>0时,有a~2/b≥2a-b。 (当且仅当a=b时等号成立)。下面我们利用这个不等式给出竞赛中的一些不等式的新的证法。 例1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,求证     

代数不等式的证明与技巧

代数不等式是中学中的一个重要内容,由于它本身具有完美的形式及证明的灵活性,往往可以考察学生的分析能力和应变能力,在这里仅介绍一些证明不等式常用的方法和变形技巧。 一,比较法; 要证明一个不等式A>B可以作一个差证明A—B>0;当B>0时,可以作一个商A/B>1证明 例:已知:a,b∈R~ ,n∈N,求证:(a b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1)) 证明:(a b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1)) =a~(n 1) a~nb ab~n b~(n 1)-2a~(n 1)-2b~(n 1) =ab~n ba~n-a~(n 1)-n~(n 1) =a(b~n-a~n) b(a~n-b~n) =(a—b)(b~n-a~n) Ⅰ)当a>b>0时,b~n-a~n<0,a-b>0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅱ)当b>a>0时,b~n-a~n>0,a-b<0 (b~n-a~n)(a—b)<0 Ⅲ当a=b>>0时,b~n-a~n=0,a-b=0 (b~n-a~n)(a-b)=0 综上Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,有(a-b)(a~n b~n)-2(a~(n 1) b~(n 1))≤0 (a—b)(a~n b~n)≤2(a~(n 1) b~(n 1))     

Pham Kim Hung不等式加强的再探究

正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为     

巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…