向量问题一览

1．向量的平行与垂直 例1已知向量a=（1,2）,b=（2,-3）,向量c满足（c＋a）//b,c⊥（n＋b）,则c=____（09年浙江卷）分析此题主要考查平面向量平行和垂直的坐标关系．对于向量的平行垂直判定,需要熟知结论：     

空间向量在立体几何中的应用

向量引入中学数学 ,大大丰富和发展了中学数学知识结构体系 ,进一步拓宽了中学数学问题解决的思维空间 .空间向量在处理立体几何中有关度量、角度、平行、垂直等问题时具有独到之处 ,可以减少一些复杂的思维和推理过程 ,提高解题效率 .现就空间向量在立体几何中的有关应用分别举例说明 .一、平行问题( 1)共线向量定理 :对空间任意两个向量a、b(b≠o) ,a∥b的充要条件是存在实数λ ,使a =λb .( 2 )设a =(a1 ,a2 ,a3) ,b =(b1 ,b2 ,b3) ,a∥b a1 =λb1 ,a2 =λb2 ,a3=λb3.例 1　已知直线OA⊥平面α ,直线BD⊥平面α ,O、B为垂足 ,求证 :…     

例谈立体几何垂直问题的向量解法

通过合理地建立空间直角坐标系,利用空间向量,数形结合,可以很方便地解决立体几何中的垂直问题.一、直线与直线垂直问题设a,b分别为直线a,b的一个方向向量,那么a⊥b(?)a⊥b(?)a·b=0.     

例谈“基向量法”的应用

正我们知道,如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.由此可知,空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来,这能为解决问题带来方便.本文运用基向量法解决立体几何中常见的几个问题.1.证明位置关系(平行与垂直)     

对一个有关向量平行命题的探讨

问题　判断命题“若a∥b ,则a与b的方向相同或相反”的真假。观点一　当a∥b时 ,a与b的方向相同或相反 ,否则 ,a与b不平行 ,故此命题为真。观点二　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 ,当a =0时 ,虽然有a∥b ,但由于a的方向是任意的 ,故a与b方向可能既不相同也不相反 ,所以此命题为假。那么如何看待这个问题呢 ?我们先看一下高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页的有关定义“方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ,平行向量也叫共线向量 ,规定长度为 0的向量叫做零向量 ,记做 0 ,规定 0与任一向量平行”。大家知道 ,概…     

空间角的向量解法——建基法

通过建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算,根据向量的数量积公式a·b=abcosθ,可求向量a与b的夹角θ.但这种建系法有很大的局限性,它要求坐标轴两两互相垂直．下面介绍空间角的一般向量解法——建基法,它不要求坐标轴两两互相垂直,因此具有明显的优越性．     

新旧知识在立几解题中的应用

在立体几何解题中,一般利用线面平行和垂直及面面平行和垂直的判定性质定理,将立几问题化归为平几问题,进而利用平面几何的有关性质,解决有关空间中线线、线面、面面之间所成角及相互位置关系的问题;在学习空间向量之后,利用向量知识在解决空间角的求解上,特别是解决垂直关系的问题上,恰有独到之处.下面就一道老题,探讨新旧知识在立体几何解题中的应用.     

梳理向量知识脉络 增强解题归属感

一、梳理知识1．0的特殊性．0有方向，它的方向是任意的，因此可以看作它和任何向量平行，却不可以与任何向量垂直，对此a·b=0=＞a⊥b是错误的，必须加上a、b都是零向量．[第一段]     

利用向量求解空间角

高中数学教材中,(→a)·(→b)=|(→a)| |(→b)| cos〈(→a),(→b)〉,称为向量(→a)与(→b)的数量积,〈(→a),(→b)〉为向量(→a)与(→b)的夹角.此公式无论对于平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何和空间几何提供了一个实用、方便的工具.     

向量共线的充要条件的应用

向量共线的充要条件是由实数与向量的积推出的,它是平面向量的基本定理的一种特殊情况,具体内容为:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa, 由于零向量与任一向量共线，故上述定理又可叙述为向量b与向量a共线的充要条件是：存在不全为0的实数λ1, λ2, 使得λ1a+λ2b=0, 它的逆否命题为：若向量a, b不共线，(a≠0, b≠0)，且λ1a+λ2b=0, 则λ1=λ2=0，这些结论可用来证明几何中三点共线与两直线平行等问题.举例说明如下：     

两向量垂直充要条件的又一表现形式

<正>在向量一章中,探求有关向量位置关系的等价条件是很重要的问题.教材中给出了向量垂直的向量形式和坐标表示,但有时用这两种表示形式做题不能起到简化运算作用,甚至带来麻烦.现给出向量垂直坐标表示的另外一种形式,并通过实例展现其解题的优势.一、知识介绍结论1两非零向量a与b,并设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b垂直等价于a·b=0(向量形式),a与b垂直等价于x1x2+y1y2=     

平面向量错例简析

1．混淆向量运算与实数运算 例1 已知a,b都是非零向量,a＋3b与7a-5b垂直,a-46与7a-26垂直,求a与b的夹角．     

立体几何中平行和垂直问题的证明

平行与垂直关系的证明是高考考查立体几何的高频考点,大部分问题都可以用传统的几何方法解决,有一部分问题需要建立空间直角坐标系利用空间向量解决。用传统法解题时,应注重线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等问题的性质定理和判定定理的灵活应用。用向量法解题时,应建立恰当的空间直角坐标系,准确表示各点与相关...     

平面向量数量积性质的妙用

平面向量的数量积是平面向量的核心内容,也是高考考查的热点内容.平面向量的数量积分坐标形式与几何形式两种.利用这两种形式及相关的性质,我们不仅可以解决平面向量的长度、角度、垂直等问题,还可以解决一些函数的最值问题,往往可以收到化繁为简、化难为易的效果.下面举例说明平面向量数量积性质的妙用.证明两向量的垂直问题判断两向量垂直的依据:①若a与b为非零向     

剖析向量运算小的错误

1．忽略0向量 例1命题：（1）若向量a与b平行,b与c平行,则a与c平行; （2）若向量a与b平行,则a与b一定同向或反向;     

关于职业中学空间向量教学的思考

关于职业中学空间向量这部分内容的处理和讲课时如何处理,本文作者根据教学经验谈了以下两个问题：一是对比几何法和向量法,提出了处理证明平行问题时通常用几何法,对于垂直问题的处理用向量法;二是就向量的两种方法作了对比阐述,对于一些四面体、平行六面体这些不具备建立直角坐标系的条件或建立直角坐标系写坐标很复杂时,直线用向量法解决,而对于长方体、直棱柱这些具有三线两两垂直的问题建系设点用向量的坐示法较为简单,根据职业中学学生的特点,详细地分析了各个模型以及用各种方法的易错点。     

数学知识记忆的方法

1．编制顺口溜 例1 （1）设向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）, 若a∥b,则x1y2-x2y1=0; 若a⊥b,则x1y2＋y1y2=0． 可编出这样的顺口溜：两向量平行,交叉相乘差为零;两向量垂直,对应相乘和为零．     

空间角的向量解法

在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算,均可归结为求两个向量的夹角.对于空问向量a,b,利用cos〈a,b〉=a·b/|a|·|b|这一结论,我们可以较方便地处理立体几何中角的问题.     

错例点拨平面向量

正学习平面向量,最为主要的数学思想是等价转化思想,但在解决实际问题中常易发生下列错误.1.混淆向量运算与实数运算例1已知a,b都是非零向量,a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,试求a与b的夹角.错解由题意得{(a+3b)(7a-5b)=0(a-4b)(7a-2b)=0整理得2a·b=(b)2,所以2a=b.     

利用向量法证明线面平行或垂直

证明线面平行或垂直是高考数学的常考题型,向量法是证明线面平行或垂直的常见方法.在利用直线的方向向量证明线面平行或垂直时,容易出现易漏点造成答题不严谨而失分.而对于计算能力不强的学生,法向量的求解也是易错点.为此,可采用避免求法向量的向量法进行证明.