对一道例题结论的探究

九年义务教育三年制初中教科书《几何》第三册中有这样一道例题：例1如图1．⊙O_1和⊙O_2都经过A,B两点,经过点A的直线CD与⊙O_1交于点C,与⊙O_2交于点D,经过点B的直线EF与⊙O_1交于点E,与⊙O_2交于点F．求证：CE∥DF：证明：连接AB．∵ABEC是⊙O_1的内接四边形．∴∠BAD=∠E．又∵ADFB是⊙O\-2的内接四边形,∴∠BAD+∠F=180°．∴CE∥DF．     

用“动”的观点对一道例题的再探讨

数学知识是纵横贯通、前后联系的整体，应当用“动”的观点去看待它们，而不是孤立的、静止的、永恒不变的内容。因此，对于某些典型命题，在证完之后，可引导学生用“动”的观点，多角度、多层次的去寻找另外的形式和解法。这不仅能够极大地增强学生的学习兴趣，拓宽学生的解题思路，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力以及创造性思维等都能收到良好的效果。现在，我们对初中几何第三册（人教版）第83页例题进行形式变动的探讨：命题：⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D。经过点B的直线EF…     

去掉“如图”,变化多(初三)

一个几何问题,如果给出了图形,那么除了直观这一功能之外,还可能限制人们更广泛的自由思考.下面就是一例: 如图1,⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于C,与⊙O2交于点D.经过点B的图1直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求     

对一道几何题的再思考

现行初中几何课本第二册第88页中有这样一道例题:如图1⊙O_1和⊙O_2相交于A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O_1交于点C,与⊙O_2交于点D,经过点B的直线EF与⊙O_l交于点E,与⊙O_2交于点F,求证:CE∥DF     

几何证明中添加辅助线的途径

一、构造基本图形，添加辅助线 例 1.如图 1，过△ ABC的顶点 C任作一直线与边 AB及中线 AD交于 F、 E两点，求证 . 证明 1：过 D点作 DG∥ AB交 CF于 G点， 证明 2：如图 2，过 D点作 DG∥ CF交 AB于 G点，下略 . 这里通过构造平行线分线段成比例定理的原型图形，添加了辅助线，使问题得到证明 . 二、构造经验图形，添加辅助线 例 2.如图 3，已知：⊙ O1与⊙ O2外切于点 P，两圆的外公切线 AB切⊙ O1于 A，切⊙ O2于 B， AC是⊙ O1的直径， CD切⊙ O2于 D，求证： AC=CD。 (连云港市中考题 ) 证明：利用例题 (＊ )，…     

一个数学问题的简证

问题:⊙O1、⊙O2内切于P,⊙O1的弦AB切⊙O2于C,设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r,求证:AACP22=RR-r.这个问题曾两次刊登于《数学通报》的“数学问题解答”栏目,分别是问题1436和问题1578,并分别由两位老师给出不同的证明方法,笔者通过研究发现,利用平行线分线段成比例这一性质和圆的切割线定理可巧妙地解决这一问题,现给出这一问题简证如下.证明:因为⊙O1、⊙O2内切于P,所以O1、O2、P三点共线,如图连结O1、O2、P三点,并延长使其与⊙O1、⊙O2分别相交于M、N,连结AP,设其与⊙O2交于点D.当A、D分别与M、N重合时,由圆的切割线定理得:AACP22=MMNP=2R-2r2R=RR-r.当A、D与M、N分别不重合时,连结DO2、AO1,所以∠DO2N=2∠DPN,∠AO1M=2∠APM,则∠DO2N=∠AO1M.所以DO2∥AO1,AADP=OO11OP2=R-rR.又由切割线定理得:AACP22=AADP=RR-r.综上所述,AC2AP2=RR-r.(责任编辑李闯)一个数学问题的简证@罗建宇$张家港市暨阳高级中学!江苏215600     

巧用切线的性质定理

切线是和圆有唯一公共点的直线,它的性质定理是:圆的切线垂直于经切点的半径。对于某些与圆的切线有关的证明问题,巧用切线性质定理,可找到很好的解题途径。一、线段垂直问题图1例1　如图1,AB为⊙O的直径,CE切⊙O于C点,过B点的直线BD交直线CE于D点,如果BC平分∠ABD,求证:BD⊥CE证明:连OC∵CE切⊙O于C点　∴OC⊥CE∵OB=OC　∴∠OCB=∠OBC∵∠OBC=∠DBC∴∠OCB=∠DBC,OC∥BD　∴BD⊥CE图2二、线段平行问题例2　如图2,△ABC内接于⊙O,AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D,BE与AC相交于点F,且CB=CE,求证:BE∥…     

两圆位置关系中出现的两线平行及其应用

两圆位置关系中,在一定的条件下图形中常常会出现两线平行的情况.解题时,如果抓住了两线平行,那么也就找到了解题的钥匙.1两圆相交出现的两线平行性质1:如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D;经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点     

一道课本例题的开放和探究

美国心理学家布鲁纳认为:“探索是数学的生命线.”在数学课堂教学中,教师创设情境,为学生构建一种开放的学习环境,引导学生主动参与,自主进行问题探究学习,有利于调动学生的积极性、主动性,充分发挥学生的潜能,培养学生的创新精神和实践能力.九年义务教育三年制初中《几何》第三册第七章“圆”的第7.14节中,在学习了两圆的公切线之后,有一道例题如下:如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.利用上述例题,笔者构思了一堂习题课,将由例题变化而来的一系列开放性问题作为线索,一方面培养学生发现知识…     

等幂轴及其应用

设平面上有定点P和半径为R的定圆⊙O,过P点向定圆⊙O作任一割线PAB,与⊙O交于A、B两点,由圆幂定理知PA^→·PB^→=PO^2-R^2为常数,则常数k=PA^→·PB^→=PO^2-R^2称为点P对⊙O的幂．平面内与两圆等幂的点的轨迹称为两圆的等幂轴或根轴．     

一道竞赛题的解法举隅

2008年全国初中数学联赛第二试第二题为：如图1,⊙O与⊙D相交于A、B两点,BC为⊙D的切线,点C在⊙O上,且AB=BC．     

垂径定理的拓展与移植

如图 1,AB是⊙ O的弦 ,CD是过 AB中点P的⊙ O直径 ,则 CD垂直平分 AB,这是我们大家都非常熟悉的垂径定理 .点 P将弦 AB,直径 CD分成了四条线段 AP,PB,CP,PD,连OA,OB,容易计算有 :AP2 +PB2 +CP2 +PD2 =4R2 ( R为⊙ O的半径 )成立 ,很自然的就提出了这样一个问题 :该结论对圆内任意垂直两弦都成立吗 ?经探索 ,回答是肯定的 ,并可将其移植到椭圆中 .定理 :设⊙ O的半径为 R,两互相垂直的直线 l1 ,l2 的交点为 P,它们分别与⊙ O相交于A、B、C、D,令 P内 (外 )分弦 AB,CD所得的四条线段长为 d1 、d2 、d3 、d4.则 d21 +d22…     

一道中考压轴题的解法

已知：如图，⊙O1和⊙O2外切于点C，AB切⊙O1于点A，切⊙O2于点B，O2O1的延长线交⊙O1于点D，并与BA的延长线交于点P。     

源于课本的中考题

近几年的中考题有不少是由书本的例题、习题改编而成的郾这类题具有典型性,它源于教材,高于教材,活于教材.为此,认真研究教材的例题和习题是一种行之有效的学习方法.下面以华东师大版教材九年级(上)第76页第18题为例,分析以此题为背景的2005年的两道中考题.教材原题:如图1,已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B,过点B作CD⊥AB,分别交⊙O1和⊙O2于点C、D,过点B任作一直线分别交⊙O1和⊙O2于点E、F.试说明:数学学习S H U X U E X U E X I39(1)AC、A D分别是⊙O1和⊙O2的直径;(2)AE与AF的比是一个常数.2005年三明市中考第23题:如图2,已…     

“一题一课”在数学教学中的应用

<正>本文从"一题一课"的几种主要教学方式谈起,介绍"一题一课"教学模式在数学教学中的实施策略.一、一题多解,多解归一一题多解,可以开阔思路,发散思维,使学生学会多角度分析问题和解决问题.例1 (2011年武汉中考题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.     

一类两圆相交问题中的不变量

两圆相交,有一类特殊的情形,就是其中一圆的圆心在另一圆上,由于其位置的特殊性,使其具有一些特殊的性质,这里举例如下:一、线段长度不变例1已知如图1,⊙O的半径为R,CD是⊙O的直径,以点D为圆心,以r(r相似文献   

由一道中考试题所想到的

为了突出课本在教学中的地位,多数中考试卷中都会出现一些课本上的例题,以课本题目为原型,充分挖掘拓展,推陈出新。曲靖市2003年中考数学试题在这方面作了一些有益的尝试,对今后的初中数学教学起到很好的导向作用。如:曲靖市2003年中考试卷第26题: 已知:⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1、⊙O2的外公切线,B、c是切点。     

2005年IMO中国国家集训队选拔考试

第一天 一、设⊙ O的内接凸四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点为P,过P、B两点的⊙O1与过P、A两点的⊙O2相交于两点P、Q,且⊙O1、⊙O2分别与⊙O相交于另一点E、F.求证:直线PQ、CE、DF共点或者互相平行.     

对一道中考试题解法的探究

试题:(2011年武汉市初中毕业升学考试第22题)如图1,PA为⊙O的切线,A为切点.过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.(1)求证:PB为⊙O的切线;     

圆的内接四边形的中考复习

在中考的复习中,几何定理、例题的复习固然重要,但要提高解几何题的能力,就要在复习中加强对几何变形题的复习训练。下面是对圆的内接四边形变形题的复习训练。1.圆的内接ABCD中,∠A=70°,∠CDE=85°,则∠C=度,∠B=度。分析这是对圆内接四边形定理的复习,让同学们通过一个简单的练习题复习定理。2.在左题的图中,过点C、D作⊙O2,和AD、BC的延长线交于E、F点,求证=AB∥EF。分析这是课本中的例题,由上题变形得到,这样同学们既复习了例题,又观察到题型的变换。ABCDEO1O2F··EABO·DC3.在第2题中,如果添加AE∥BF条件,求证:AB=…