Morse引理的进一步推广

设En是0∈R^n的C^∞函数环，M是En中唯一的极大理想，如果f∈M^2，其二阶Hessain是非退化 ，则f同构于其二阶Hessain，这就是著名的Morse引理。本节将讨论两个变元 的C^∞函数芽。得到：（1）若f∈M^2k 1包含于Exy，其中2k 1阶Hessain是非退化的，在一般情况下不会同构于它的2K 1阶Hessaibn，但给f加上一定条件后，则f同构于它的2K 1阶Hessain。（2）若f∈M^2k 2包含于Exy,其2k 2阶Hessain是非退化的，在一般情况下f不会同构于它的2k 2阶Hessain，但给f加上一定条件后，f同构于它的2k 2阶Hessain，其中k∈N。当k=1时，就是参考文献^[2]的结论，这在某种意义上来说是他的结论的进一步推广。     

高一数学单元测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合M={x｜x=k2π+π4,k∈Z},N=x｜x=kπ4+π2,k∈Z,则()(A)M=N(B)MN(C)MN(D)M∩N=2.若1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()(A)sin12(B)π6(C)1sin12(D)2sin123.已知角α的终边与角-690°的终边关于原点对称,其中绝对值最小的角α是()(A)30°(B)-150°(C)60°(D)-120°4.若cos(-100°)=k,则tan80°等于()(A)1-k2k(B)-1-k2k(C)1+k2k(D)-1+k2k5.若π4<α<π2,则sinα、cosα、tanα的大小关系是()(A)tanα<…     

浅谈利用函数最值确定恒不等式中参数的范围

问题的提出:“已知对x∈D,F(x,k)≥g(k)恒成立,求实数k的取值范围”问题解决的思路之一:“函数最值法”。 一般地,对于函数f(x)=F(x,k)(其中x∈D是自变量,k为参数),若F(m,k)、F(M,k)分别是f(x)的最小值和最大值,那么在x∈D时F(x,k)≥g(k)恒成立的充要条件是F(m,k)≥g(k);F(x,k)≤g(k)恒成立的充要条件是F(M,k)≤g(k)。以下举例说明此结论的应用。例 1 若对x∈R,不等式-4≤cos2x+4sinx+     

保持秩1矩阵的加法映射

设m、n、p、q是正整数,F是不同构于它自身的真子域的域,Mmn(F)记F上所有m×n矩阵的集合,M1mn(F)记Mm(nF)的包含所有秩1矩阵的子集。若一个映射f:Mm(nF)→Mpq(F)满足f(M1mn(F))哿M1pq(F)且f(A+B)=f(A)+f(B),坌A,B∈Mmn(F),则称f是保持秩1矩阵的加法映射。证明了:若一个保持秩1矩阵的加法映射f:Mm(nF)→Mp(qF)满足存在G,H∈Mm1n(F)使得rank(f(G)+f(H))>1,则存在P∈GL(pF),Q∈GL(qF)和F的域自同构啄使得1)p叟m叟2,q叟n叟2,f:A｜→P(A啄堠0)Q;或者2)p叟n叟2,q叟m叟2,f:A｜→P((A啄)T堠0)Q。     

关于一个求和算子的逼近阶

设f（x）∈c2π,Un（f,x）是f（x）的基于结点x（kn）=（2kπ/2n＋1）（k=0,1,2…n）的求和算子。研究用Un（f,x）逼近f（x）的问题,得到了阶的估计。     

Durrmeyer-Bézier算子收敛阶的估计

对于有界变差函数 f的Durrmeyer B啨ｚｉｅｒ算子Ｄｎ,α(f ,x)在区间 (0 ,1)上收敛于 :1α + 1f(x+ ) + αα + 1f(x -)的收敛阶进行估计 .在Zeng和Chen关于Dn ,α(f ,x)算子的收敛阶研究的基础上 ,对其所估计的结果作进一步的改进 ,得到更精确的系数估计 ,并且所得到的系数估计关于n和x是一致有界的 ,改进了原估计非一致有界的不足     

错在哪里

sinθ=|cost|~(1/2) ①题已知 cosθ=|sint|~(1/2) ②其中θ∈[0,1/4π],求参变量t的取值范围。解’∵≤θ≤1/4π,∴ cosθ≠0,①+②得 tgθ|ctgt|~(1/2),由0≤tgθ≤1可得0≤|ctgt|~(1/2)≤1,故有kπ+1/4π≤t≤kπ+3/4π (k∈Z) 解答错了!错在哪里? 对于“若命题f(p)成立,求参变量p的取值范围(数集M)”这类问题,正确答案应该符合两条标准:(1)若数p∈M,则命题f(p)成立(不混杂);(2)若数pM,则命题f(p)不成立(不遗漏)。本题若t=1/4π,     

函数不动点在解题中的应用(上)

设F(x)是关于x的一个代数函数 ,称方程F(x) =x的根为函数F(x)的不动点 .本文以实例来说明求函数不动点的方法和函数不动点在数学解题中的应用 ,供读者参考 .1　求函数的不动点求解函数的不动点时需要运用各种方法与技巧 ,才能使问题迅速获解 .例 1　M是形如f(x) =ax +b(a、b∈R)的实变量x的非零函数集 ,且M具有下列性质 :(i)若f、g∈M ,则g f∈M ,其中定义(g f) (x) =g[f(x) ];(ii)若f∈M ,且f(x) =ax +b ,则反函数f-1也属于M ,这里f-1(x) =x -ba ;(iii)对M中每一个f,存在一实数xj,使得f(xj) =xj.求证 :总存在一个实数k ,对所有f∈M有f…     

新定义客观试题集训

一、选择题1·(2005湖北卷)设P、Q两个非空实数集,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是()A·9B·8C·7D·62·已知向量集合M={a|a=(0,1)+λ(0,1),λ∈R},N={a|a=(1,0)-2λ(0,1),λ∈R},则M∩N=()A·{(0,1)}B·{(1,0)}C·{(1,1)}D·3·设全集∪={1,2,3,4,5,6},集合A、B都是∪的子集,若A∩B={1,3,5}则称A、B为“理想配集”记作(A、B),这样的“理想配集”(A,B)共有()对·A·7B·8C·27D·284·某班试用电子投票系统选举班干部候选人,全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号是1,2,……     

对一道高考数列压轴题的拓展与研究

在高三复习备考中,笔者遇到如下问题:例1已知函数f x=sin x+tan x.项数为27的等差数列a n满足a n∈-π2,π2,且公差d≠0,若f a 1+f a 2+…+f a 27=0,则当k=时,f a k=0.这是2009年上海市高考题,普遍能找到的解答如下:因为函数f x=sin x+tan x是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,其图象过原点.而等差数列a n有27项,a n∈-π2,π2.     

图Pm+Pn的Smarandachely邻点边色数

对简单图G(V.E),f是从E(G)到{1,2,…,k}(k是自然数)的映射,若f满足:(1)()uv,uw∈E(G),v≠w,f(uv)≠f(uww);(2)()uv∈E(G).|C(u)＼C(v)|≥1,并且|C(v)＼C(u)|≥1;则称f是G的Smarandachely邻点边染色.文章给出了m(m=2,3,4)阶路与n阶路的联图的smarandachely邻点边色数.其中C(u)={f(uv)|uv∈E(G)且u≠v}.     

2006年全国高中数学联赛江西省预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.函数y=f(x)与y=g(x)的定义域和值域都是R,且都有反函数.则函数y=f-1(g-1(f(x)))的反函数是().(A)y=f(g(f-1(x)))(B)y=f(g-1(f-1(x)))(C)y=f-1(g(f(x)))(D)y=f-1(g-1(f(x)))2.集合M由满足如下条件的函数f(x)组成:当x1、x2∈[-1,1]时,有|f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.对于两个函数f1(x)=x2-2x+5,f2(x)=|x|,以下关系中成立的是().(A)f1∈M,f2∈M(B)f1∈M,f2∈M(C)f1∈M,f2∈M(D)f1∈M,f2∈M3.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线y=x+m对称.若2x1x2=-1,则2m的值是().(A)3(B)4(C)5(D)64.在△ABC中,…     

"我命高考题"优秀题目选登

(3162)已知双曲线x2-y32=1的焦点为F1、F2,点M为此双曲线上的动点,当MF1·MF2<0时,点M的横坐标的取值范围是.(供题者于明辉)(2905)利用函数f(t)=12+3sin326π5(t-81)可估算某一天的白昼时间的长短,其中f(t)表示白昼的小时数,t是某天的序号,t=0表示1月1日,以此类推0≤t≤365.若2月份28天,则这个地区一年中白昼最长的大约是月日.(供题者江伟)(2985)已知x1、x2、…、xn只能取0、1、2三个数中的一个,且f1=x1+x2+…+xn,f2=x12+x22+…+x2n,fk=x1k+x2k+…+xnk(k∈N*且k≥3),用f1、f2表示fk,则fk=.(供题者侯玉强)(3246)已知向量a=2cosx,tanx+4π…     

二阶变系数线性微分方程的一类通解

文章利用待定函数法,把二阶变系数线性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)降为一阶线性微分方程,从而推导出二阶变系数线性微分方程的一类通解为y=(x+k)∫1/(x+k)~2e~(-∫p(x)dx) [∫(x+k)f(x)e~(∫p(x)dx)dx+C_1]dx+C_2(x+k),其中C_1,C_2为任意常数,k为常数,并证明该通解存在的充要条件是p(x)+(x+k)q(x)=0,同时还得出特殊情形的相应结果.     

关于K极光滑空间

2001年冼军引入了k极光滑空间的概念,作为与其对偶的想法苏雅拉图和李广利引入了k极凸空间,并充分地研究了这一类凸性空间.虽然k极光滑空间概念较早被提出来,但是这一类光滑性空间尚未得到深入的研究,甚至这一类光滑性与其它光滑性之间的关系尚未弄清楚,本文深入研究了这一类光滑性空间,得到了它的一些性质以及与其它光滑性质之间的关系.另外,证明了:若X是弱局部k一致凸空间,则对每个x∈S(X),f∈Sx是X*的k光滑点。     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

λK_(n,n)的P_(2k+1)-因子分解

给出了当d=gcd(λ,4k)≠1时,平衡完全二部多重图λKn,n存在P2k+1-因子分解的充分必要条件为n=0(mod 4k(2k+1)/d)。     

关于度量投影的一些结果

设X是(实或复)域K上的赋范线性空间,M是X的闭线性子空间,令P_M(x)={m∈M;、||x-m||=d(x,M)},则称PM为x到M上的度量投影,耳中d(x,M)=inf||x—y||是x到M的距离, M称为可最佳逼近(Chebyshev)的,若对x∈X,P_M(x)至少含且仅含一点,若M是可最佳逼近的,定义 P_M的范数为 ||P_M||=sup{||b||:b∈P_M(x),且||x||,且||x||≤1} 易知1≤||P_M||≤2,我们主要有下列结果: 命题1 设X是自反Banach空间,M是Chebyshev子空间,PM线性,则||P_M||<2。 命题2 设M是e_p(或L_p)的闭子空间,则当p≥2时,||P_M||≤1+1/2~(1/p);当1相似文献   

差分思想在数列中的应用

数列是函数的离散形式,差分是微分的离散形式.一阶差分就是离散函数中连续相邻两项之差.如有离散函数x(k),则y(k)=x(k+1)-x(k)就是此函数的一阶差分;y(k)的一阶差分z(k)=y(k+1)-y(k)=(x(k+2)-x(k+1))-(x(k+1)-x(k)),就是x(k)的二阶差分.随着《数列与差分》作为选修内容进入广大师生     

关于证明非周期函数的几个定理

设f(x)是定义在数集M上的函数,若存在一个常数T(T≠O),当任何x∈M时,有x±T∈M,且有f(x+T)=f(x),那么称f(x)为数集M上的周期函数。T称为这个函数的周期。如果这样的常数T不存在,则称f(x)为数集M上的非周期函数,