巧用对偶思想解三角函数题

利用对偶思想,有时可以大大减少运算量.所谓对偶式,就是成对出现的对称结构.在三角函数的求值问题中,如果将某个三角式中的角的关系转化为同角互余的弦值,那么得到的式子叫做原式的对偶式.在化简求值或证明一些三角函数问题时,如果能灵活地运用对偶的数学思想,合理地构造出对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的计算,我们就可以使问题得到巧妙的解决.     

构造互余对偶式巧解几类三角题

在化简、求值或证明一些三角问题时,如果能灵活地运用对偶的数学思想,合理的构造出互余对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的运算,不但可以简化解题过程,还能切身体会到数学中的对称美,这种美不仅给予我们在欣赏和陶冶之时的愉悦之感,还能启迪我们的思维,引领我们的解题方向．下面例谈构造互余对偶式,巧解几类三角题,供大家欣赏．     

构造互余对偶式 巧解几类三角题

在化简、求值或证明一些三角问题时,如果能灵活地运用对偶的数学思想,合理的构造出互余对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的运算,不但可以简化解题过程,还能切身体会到数学中的对称美,这种美不仅给予我们在欣赏和陶冶之时的愉悦之感,还能启迪我们的思维,引领我们的解题方向.下面例谈构造互余对偶式,巧解几类三角题,供大家欣赏.     

例析对偶式在三角问题中的妙用

<正>在求解或证明一些三角问题时,认真观察题目的结构特征,灵活运用对偶的数学思想,构造出对偶式,并对原式和对偶式进行和、差或积的运算,就能使问题巧妙地解决,达到事半功倍的效果.一、求值例1求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.     

“对偶法”在三角解题中的应用举例

众所周知,是三角等式中典型的“对偶式”,它蕴含的“对偶”思想给了我们很大的启示,本文拟用设立“对偶式”的方法来巧解几例教材中的三角题。 例1 (1)用sinhθ表示sin3θ;(2)用cosθ表示cos3θ,(高中《代数》(必修)上册P,175;其中(2)中的结论选为88年高考题)     

关于一阶逻辑中的谓词公式对偶式的讨论

提出谓词公式对偶式、对偶前束范式等概念以及对偶原理，并给出若干结论。     

巧妙构造对偶数式 架设新颖解题通道

配偶(对配)思想是四大主要数学思想——等价转化思想的一个重要分支、配偶思想是利用矛盾双方既对立又统一的二重性,寻找衔接点,巧妙构造对偶数式,架设解题通道,思维灵活、思路清新、方法独特、过程流畅、别具风格.在配偶思想指导下所构造的一对对偶(配偶)命题真伪性一致.对偶命题的基本特征是结     

配之以对偶 赋之以精魂

<正>在数学里,在某种意义下成对出现的两个数学结构,如对偶点、对偶数、对偶式、对偶图、对偶空间、对偶运算、对偶命题,称之为对偶关系.若对于一个孤立的研究对象,有意识地构造与之相应的对偶关系,往往可获得新颖别致的解法.我们把这种解决问题的技巧称为配以对偶的技巧.运用该技巧的通常做法是:(1)将已知式令为,A并配其对偶式B;(2)对A与B进行适当地运算;(3)转化或消去B,从而解决原问题.对偶式的形     

排序定理和Chebyshev不等式的对偶及其推广

给出了排序定理和Chebyshev不等式的对偶定理，并对排序定理、Chehyshev不等式及其对偶定理进行了推广。     

运用“对称、对偶”原理解题

在数学解题中，我们经常会发现有些数学问题，或其式、或其形具有一定的对称、对偶性．深刻理解对称、对偶问题的内涵与对称、对偶原理的思想，对破解有关数学问题有着举足轻重的作用．下面就此谈点认识，供参考．[第一段]     

对偶式在三角函数中的应用

在化简、求值、证明一些三角问题时如能灵活运用对偶式,合理构造对偶式,并对原式和对偶式进行和差积的运算,则可以使问题得到巧妙解决．下面列举几例与读者共享,共同提高．     

构造对偶式的八种途径

在数学解题过程中，合理地构造形式相似、具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果．下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种实施途径．     

构造对偶式解题的途径与技巧

我们把在某种意义下成对出现的两个数学式叫对偶式。数学中的研究对象与人间万物一样,大部分也以成对的形式出现,若对于一个弧立的研究对象,有意识地构造出与其对偶的式子,则往往可获得新颖别致的妙解来,本文就构造对偶式解题的途径与技巧作以简要的概述,供参考。一、利用互为倒数构造对偶式     

构造对偶式求一类三角函数式的值

三角函数式求值的方法很多，笔者发现，构造对偶式来求某些类型的三角函数式的值时非常简便，并且能够推导出比较好的结论，下面举例说明。     

初等数学中的“对偶化方法”

一、什么叫“对偶化方法”? 对偶原则是射影几何中特有的重要方法,而“对偶化方法”是一种对称类比联想。它的思想方法在中学数学中已有强烈的渗透。何谓“对偶”?对偶两字在文学中是一个修辞,其含义是:“用数字相等,结构相同或相似的一对语言表示相反、相近或相关的意思。这个修辞在数学中用于表述结构对称的数学问题也屡见不鲜。如:对偶点、对偶式、对偶图、对偶空间、对偶运算、对偶命题等等.这些对偶的数学问题虽然其内涵各有不同,但却具有以下共同点: 1.数量上是成对的(如,3~(1/2) 1与3~(1/2)-1); 2.外观结构上是对称的(指元素和运算功能、语言表述等对称);     

运用对偶思想巧解问题

对偶思想是指,在求解数学问题时,根据题目中一个式子的结构特征,构造一个与之地位完全相伺,彼此间存在内在联系的对偶式,通过二者的协同作用,从而使问题获得巧妙解答.下面介绍几种常用方法,供参考.一、倒序对偶.把已知式的各部分施以倒序调节,所得式子称为已知式的倒序对偶式,再把它们对应部分相加(或相乘),促使问题解决.例1.证明:C_n~1 2C_n~2十3C_n~3十… nC_n~n=n·2~(n-1)证明:设M=C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … (n一1)C_n~(n-1)十nC_n~n,其倒序对偶式为:M’=nC_n~n (n-1)C_n~n (n-2)C_n~(n-2) … C_n~1两式相加得2M=nC_n~n nC_n~(n-1) nC_n~(n-2) … nC_n~1 nC_n~n=n(C_n~n C_n~1 C_n~3 … C_n~n)=n·2~n,∴M=n·2~(n-1).例2.求M=(1 tg1°)(1 tg2°)……(1 tg44°)的值解:注意到1° 44°=2° 43°=…=45°可构成M的倒序对偶式M’,M’=(1 tg44°)(1 tg43°)……(1 tg2°)(1 tg1°),两式相乘得:     

巧用对偶式妙解难题

数学上有些题目初看上去很难，但只要有针对性的巧用对偶式，就可迎刃而解。     

构造对偶式 妙证不等式

<正>构造对偶式,是指在解题过程中抓住代数式的结构特征,构造一个与其结构相似或相近并具有某种对称关系的代数式,而后通过对这组对偶关系式进行加、减、乘、除等运算,促使问题的转化与解决.构造相应的对偶式,使其结构更加均衡,体现了数学的对称美和构造美.下面我们通过实例来介绍构造对偶式的几种常用方法,以及如何对所构造的对偶关系式进行合适的处理.     

构造对偶式 巧解数学题

<正>对偶式是指与原数学式子结构对称,或结构相似或相近的数学式子.根据原式结构,构造一个对偶式,与原式进行配对,通过合理的变换和运算,可以使问题得以巧妙解决.正是因为对偶式解题的简洁性,使得许多学生对此心生向往而又望而却步.下面通过一个例子来揭开对偶式解题的神秘面纱.     

关于积分学中互否概念的教学

本文分析了数学分析中可积与不可积一对互否概念的结构式，并据此导出其对偶定义式，通过例题分析，说明了直接应用定义证明函数可积与不可积的一般方法。