分离图像法速解2017年高考函数题

<正>分离图像法就是把一个复杂的函数分解成便于求导研究单调性的常见函数的方法,在解决高考函数压轴题上有广泛的应用,下面笔者用此法尝试解决2017年的高考试题。例1(2017年新课标全国卷Ⅱ理21题)已知函数f(x)=ax2-ax-xln x,对f(x)≥0恒成立,求a的值。解析:分离函数得a(x-1)≥ln x对x∈(0,+∞)恒成立,令g(x)=a(x-1),h(x)     

高考一道数学题的加强

1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),     

从一道高考题谈一类新定义下的函数问题的求解策略

2002年上海春季高考数学试卷中有这样一道题:第(22)题:若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).     

一个由高考题得出的结论拾遗及应用

1994年全国高考数学试卷中有这样一道题:定义在(-∞,+∞)上的任意函数.f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( ).     

对一道高考题的探究

2010年高考福建卷理科第15题很值得探究:已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

2022年高考北京卷导数题的溯源、求解与推广

<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明.     

由一道高考题谈单变量与双变量的恒成立、有解、无解

(2010年全国高考山东卷(理)22题)已知函数f(x)=lnx-ax+1-a/x-1,a∈R.(Ⅰ)当a≤1/2时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=x<'2>-2bx+4,当a=1/4时,若对任意x<,1>∈(0,2),存在x<,2>∈[1,2],使f(x<,1>)≥g(x<,2>),求实数b的取值范围.     

另类“恒成立”与“有解”问题——对《新高考试卷中的全称量词和存在量词》的补充

文[1]中,作者就新高考中与全称量词“”、特称量词“■”有关的不等式及方程问题作了系统的整理与区分.因为此类问题经常涉及到诸如“已知不等式恒成立,或不等式、方程有解,求参数的取值范围”等问题,我们不妨将其称之为“恒成立”问题与“有解”问题.受文[1]的启发,结合自己的思考,笔者对文[1]作一点补充,以更全面地认识此类问题.“恒成立”问题与“有解”问题的处理思路是将其等价转化为与函数最值或值域有关的问题.当函数的最大或最小值不存在时,该如何思考例1(文[1]中例1改编题1)x∈(1,2),12x2-lnx-a>0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,2),12x2-lnx-a>0x∈(1,2),a<21x2-lnx.当x∈(1,2)时,f(x)=21x2-lnx递增,其值域为12,2-ln2,故a≤21.注文[1]中例1“x∈[1,2],12x2-lnx-a>0”,此时函数f(x)=21x2-lnx值域为12,2-ln2,从而a<12.(文[1]中答案有误)例2(文[1]中例1改编题2)x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0,则实数a的取值范围是.分析x∈(1,+∞),21x2-lnx-a<0x∈(1,+...     

“三角函数”考点例析

高考三角函数内容约占总分的13%,主要考查①三角函数的性质和图象变换,尤其是三角函数的最值和周期;②三角函数式的恒等变形,包括求值、化简和证明;③与其他知识的综合运用.一以三角函数的概念、性质、图象为中心的问题例1对于函数f(x)=sinx+3姨cosx,给出下列命题:(1)存在琢∈(0,仔2),使f(琢)=53;(2)存在琢∈(0,仔2),使f(x+琢)=f(x+3琢)恒成立;(3)存在兹∈R,使函数f(x+兹)的图象关于y轴对称;(4)函数f(x)的图象关于点(2仔3,0)对称.其中正确的序号是.点拨:化简f(x),再利用函数的性质和图象求解.解:(1)f(x)=2sin(x+仔3),由0相似文献   

“定曲线”与“动直线”——从2017年一道高考函数题说起

<正>1题目已知函数f(x)=x-1-alnx,且f(x)≥0,求实数a的值.(2017年课标Ⅲ卷第21题)2分析本题是常见的一次函数与对数函数的复合型函数问题,利用导数研究其极值和最值,再根据f(x)≥0在(0,+∞)恒成立?f(x)_(min)≥0(x∈(0,+∞))可以求解.考虑到f(x)≥0可以转化为alnx≤x-1,     

一个下凸函数不等式的加细及应用

设函数 f(x)=x (1/x),x∈(0,1),易知函数 f(x)在(0,1)上是下凸函数,由下凸函数的性质有:当 x_1,x_2∈(0,1)时,f(x_1) f(x_2)≥f((x_1 x_2)/2) ①当且仅当 x_1=x_2时取等号.对于下凸函数 f(x)x 1/x,我们给出以     

破解抽象函数问题六法

所谓抽象函数,简单地说是指没有给出具体的函数(对应法则),仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数类型.对抽象函数问题的考查在近几年的高考中有逐年提高的趋势,这体现高考加大对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于同学们解决抽象函数问题.一、赋值法例1设函数f(x)的定义域为(0, ∞),且对于任意正实数x、y都有f(xy)=f(x) f(y)恒成立.若已知f(2)=1,试求:(1)f(21)的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数.分析合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.解(1)令x=y=1,则f(1)=f(1) f(1),∴f(1)=0.再令x=2,y=12,则f(1)=f(2) f(12),∴f(12)=-f(2)=-1.(2)由于f(2-2)=f(12) f(21)=-2,f(2-3)=f(21) f(12) f(12)=-3,依此类推,可得f(2-n)=-n,其中n为正整数.点评利用抽象条件,通过对相关条件的赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法.二、逆用单调性法例2若f(x)是定义在(0, ∞)上的增函数,且对一切a,b∈(0, ∞)...     

2014年陕西省高考理科数学第21题研究

<正>最近,在研究陕西省高考理科压轴题时,有了意外的收获,得到了标准答案以外且优于标准答案的新解法,汇总如下,与读者共享.题目(2014年陕西高考理科数学第21题)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x≥0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;     

从一道高考题谈一类新定义下的函数问题的求解策略

2002年上海春季高考数学试卷中有这样一道题:第(22)题:若存在 x_0∈R,使 f(x_0)=x_0成立,则称 x_0为f(x)的不动点。已知 f(x)=ax~2+(b+1)x+b=1(a≠0)(1)a=1,b=-2,求 f(x)的不动点;(2)若对实数 b 函数 f(x)恒有两个相异的不同点,求 a 的范围;     

数学高考八戒

一戒小题大作例1　(2 0 0 3年全国高考)设函数f(x) =2 -x-1 ,x≤0 ,x12 ,x >0 . 若f(x0 ) >1 ,则x0 的取值范围是(　　)(A) (-1 ,1 )(B) (-1 , ∞)(C) (-∞,-2 )∪(0 , ∞)(D) (-∞,-1 )∪(1 , ∞)分析　若直接求解,需分类讨论,较繁,其实小题只宜小(巧、简)作.可用赋值排除法.设x0 =12 ,由f 12 =1212 <1 ,不满足f(x0 )>1 ,可排除A、B、C .故选D .例2　(2 0 0 0年春季高考)已知函数f(x) =ax3 bx2 cx d的图象如图,则(A)b∈(-∞,0 )(B)b∈(0 ,1 )(C)b∈(1 ,2 )(D)b∈(2 , ∞)分析　直接求出b是不可能的,注意到f(-1 ) <0再结合f(0 ) =f(1 …     

函数图象的对称轴和最小正周期

[定理1] 设函数f(x)(x∈R)以w为最小正周期,它的图象有对称轴x=c,则存在实数a、b∈(0,w],a≠b,使得x=a,x=b也是它的图象的对称轴。证:对实数c和正数w,总可以找到一个整数k,使得kw<0≤(k 1)w,令a=-kw c,则有a∈(0,w]。∵x=c是对称轴,∴对任意x∈R,有f(c x)≡f(c-x),又w是周期,∴f(kw x)≡f(x)(k∈Z)。从而对任意x∈R,f(a x)=f(-kw c x)=f(c x)=f(c-x)=f(kw a-x)=f(a-x)。     

追寻题源 探究新法

问题(2007年广东省高考理科第21题)已知函数f(x)=x2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),是f(x)的导数,设a1=1,an 1=an-f(an)/f'(an)(n=1,2,…).(1)求α,β的值;     

江苏卷第20题别解

第20题设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需要给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.