三角形中一组有趣的关系式

在三角形中,关于三角形中诸元素的等式屡见不鲜.本文给出一组有趣的关系式.设G是△ABC的重心,AD、BE、CF分别为三边上的高.∠A、∠B、∠C所对三边为a、b、c,α为△ABC中最大的内角,O、H分别为△ABC的外心、垂心,R为△ABC的外接圆半径.可得出下面几个命题.     

三个几何不等式猜想的证明

正在本文中约定a,b,c分别为△ABC的三边,ra,rb,rc分别为旁切圆半径,s为半周长△为△ABC的面积,R,r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径.另记∑为循环求和符号.文[1,P403]提出如下猜想(LBQ100)     

r_a/(r_br_c) r_b/(r_cr_a) r_c/(r_ar_b)≥2/r-2/R的简证

设R,r,r_a,r_b,r_c分别为△ABC的外接圆,内切圆,傍切圆半径,则     

Janic不等式的推广及逆向不等式

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) …     

一个三角形的面积公式及其及应用

本文将给出一个用三角形的三个旁切圆半径来表示的三角形面积公式。同时还得到了一些几何不等式。 定理 设△ABC的面积为△,三边BC,CA,AB的旁切圆半径分别为r_a,r_b,r_c,则     

关于圆外切闭折线的诸线切圆定理

众所周知,在三角形中,以内心与奈格尔点连线的中点为圆心,内切圆半径的一半为半径的圆,称为三角形的斯俾克圆.它有如下美妙性质:[1] 定理 0 设△ABC 的三个顶点与奈格尔点连线的中点分别为 M1、 M2 、 M3 ,三条边的中点分别为 N1、N2 、N3 ,那么△ABC 的斯俾克圆必内切于△M     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

构建新不等式的一种思路

V.Ocordon曾给出了三角形的高与边长之间的不等式[1]:∑a2/h2b+h2c≥2 ① (关于△ABC三边及其边上的高的循环不等式,a、b、c为△ABC的三边,ha、hb、hc为对应边上的高,R、r分别为△ABC外接圆半径和内切圆半径)     

与旁切圆半径有关的一个等式及两个不等式

为了叙述方便,先给如下约定: △ABC的三边长为a、b、c,三个角分别为∠A、∠B、∠C,旁切圆的半径为r_a、r_b、r_c,外接圆和内切圆的半径分别为R、r,三角形的面积为△,半周长s。     

两个与远切圆相关的不等式

<正>定义与三角形两边延长线及其外接圆相切的圆,叫三角形的远切圆(即外半切圆)．其半径分别用R_a,R_b,R_c表示(R_a表示与AB、AC延长线及外接圆相切的圆半径等)．设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长、面积、旁切圆半径与远切圆半径分别为a,b,c,R,r,s,△,r_a,r_b,r_c,R_a,R_b,R_c,用∑表示循环求和．     

三论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏从这个矿点里挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将又得到的几个性质归结出来以飨读者.图1如图1,记△A′B′C′为△ABC的外角平分线三角形,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,S为其半周长,△为其面积;△A′B′C′的三内角A′、B′、C′所对边的长分别为a′、b′、c′,△′为其面积.则:…     

一道三角形不等式的几何背景

本文研究一道三角形不等式的几何背景。 定理 若△ABC的三边、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r,则有     

两个三角形对偶恒等式

<正>近日,笔者发现了涉及三角形各边上的高及旁切圆半径的两个对偶恒等式.定理在△ABC中,a,b,c分别为其三边长,R,r分别是它的外接圆半径和内切圆半径,ra,rb,rc分别为三边上的旁切圆半径,ha,hb,hc分别为三边上的高.则有:     

关联周界中点三角形的性质

笔者通过对周界中点三角形边长之间的关系的研究，得到下面一个有趣的性质． 命题 设△DEF是△ABC的周界中点三角形，且△ABC的三边长分别为a、b、c，半周长为p，面积为S，外接圆半径为R，内切圆半径为r，EF=a1，FD=b1，DE=c1，∑表示循环和．则     

欧拉不等式一个加强的再改进

<正>设△ABC的三边为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,则有著名的欧拉不等式R≥2r.文\[1\]中建立了如下三角形式的加强.定理1设R、r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径,则有(Σ表示循环和)■当且仅当△ABC为正三角形时取等号.由于式(1)可改写为■,由熟知的不等式■,可知式     

一个不等式猜想的证明

文[1]提出了100个待解决的不等式猜想问题,其中第95题是:设锐角三角形的三边长、三傍切圆半径、内切圆半径和外接圆半径分别为 a、b、c、r_a、r_b、r_c、r、R.则 r_a/r_b r_b/r_c r_c/r_a≥1 R/r (1)本文将证明此猜想.证明:令 a=y z,b=z x,c=x y,则 x、y、z>0,     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

一个三角形不等式的逆向

刘健先生在文《100个待解决的三角形不等式问题》[1]中提出了一个关于三角形中线的猜想不等式:(问题shc15(g)) 在锐角△ABC中,有 32bcmmabcbc冲+, (1) 其中a、b、c;am、bm、cm分别是△ABC的三内角A、B、C所对边长和所对边上的中线长,为循环和. 杨学枝先生在文[2]中证明了较不等式(1)更强的不等式: 在锐角△ABC中,有 114bcmmabca邋. (2) 本文考虑不等式(1)的逆向,得到 命题 在锐角△ABC中,有 44bcmmRrbcr+澹, (3) 其中R、r是△ABC的外接圆半径、内切圆半径. 证明△ABC的外心为O,点O到△ABC…     

重心垂足三角形的一个性质

过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用…