关于多元函数可微的注记

一般数学分析教材中(如[1]),都给出多元函数可微的充分性定理是:偏导数f′_x,,f′_y,f′_z不仅在点(x_0,y_0,z_0)处存在,并在它的某一邻域内也存在,此外,它们(作为x,y,z的函数)在这点连续,则函数u=f(x,y,z)在点(x_0,y_0,z_0)处可微。文[2]用另一种方法证明Henle的如下定理:如f:R~2→R的偏导数存在,且至少有一个偏导数连续,则f可微。文[2]并指出这定理在n≥3元时的相应命题一般不真。     

对隐函数存在定理的注记

在理工科高等数学教材中通常是这样来叙述隐函数存在定理的:定理设函数 F(x,y,z)在点 P(x_0,y_0,z_0)的某一邻域内具有连续的偏导数,且 F(x_0,y_0,z_0)=0,F_(x_0,y_0,z_0)≠0,则方程 F(x,y,z)=0在(x_0,y_0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x,y),它满足条件 z_0=f(x_0,y_0),并有=-F_x/F_z,=-F_y/F_z。但在许多教材中举例时均不验证 F(x_0,y_0,z_0)=0这一必要条件,因而可能出现谬误,在教材[2]119     

再谈一条美妙性质

文[2]对文[1]作了推广,文[2]中定理如下:定理:过圆锥曲线准线上一点,作该曲线的两条切线,两切点所在直线过相应焦点(其中双曲线准线上的点应在两渐近线之间).笔者受其启发,对文[2]再作推广如下:定理:直线z与圆锥曲线无交点,P∈l,过P若存在两条直线与圆锥曲线相切,则两切点所在直线恒过定点,并以该定点为中点的弦平行于直线 l.证明:设直线 l 方程:Ax By C=0(C≠0),两切点为 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_0,y_0).     

三维Mbius变换M(~3)的椭圆群

文[1]定义了G{x_(?)y0}={g∈ M((?)),g为椭圆元素,g(x_0)=x_0,g(y_0)==y_0}其中x_0、y_0∈R~3,x_0≠y_0.并得到以某一G{x_0,y_0}为子群的椭圆群等于该G{x_0,y_0}.本文引进Clifford矩阵的酉阵概念.利用文[2]的结论得到在共轭意义下一切椭圆群都是G_(10)(?)的子群,同时得到文[3]定理4.3.7(P_(70))在三维情形下的推广.本文的符号使用与文[2]相一致.     

直线方程yoy=p（x0＋x）的几何意义

文[1]、[2]、[3]分别给出了直线方程:x_0x y_0y=r~2,(x_0x)/a~2 (y_0y)/b~2=1,(x_0x)/a~2-(y_0y)/b~2=1的3种几何意义,笔者认为直线方程:y_0y=p(x_0 x)(p>0)也有类似的几何意义,而且它揭示了圆及二次曲线内在的一般规律.定理1:若点 P(x_0,y_0)在抛物线 y~2=     

四面体的体积—顶点式方程

定理 设四面体V-ABC四顶点为V(x_1,y_1,z_1),A(x_2,y_2,z_2),B(x_3,y_3,z_3),C(x_4,y_4,z_4),则它的方程为     

三点共线定理的应用

三点共线定理是:平面上三点(x_1,y_1)(x_2,y_2),(x_3,y_3)共线的充要条件是x_1 y_1 1x_2 y_2 1=0.x_3 y_3 1 关于这个定理的应用大致有两类:一是判断三点共线;二是根据三点共线证明或求解某些特殊问题。本文列举数例说明三点共线定理的后一种应用,供教学参考。     

一个关于复合函数极限的定理

几乎所有的微积分教科书都论述了下列复合函数的连续性定理: 设函数y=g(z)在z_0点连续,且函数z=f(x)在点x_0连续,z_0=f(x_0),又设复合函数y=g[f(x)]在点x=x_0的某一领域内是有定义的,则复合函数y=g[f(x)]必在x_0处连续。上述定理告诉我们:连续函数的复合函数仍旧是连续函数。现在问:关于复合函数的极限问题,也有类似的结论吗? 为回答这个问题,我们给出如下定理。     

直线方程y0y=p(x+x0)的几何意义

文[2]作为文[1]的续文,在直线方程(x_0x)/(a~2) (y_0y)/b~2=1的三种几何意义探讨启发下,给出了直线方程(x_0x)/(a~2)-(y_0y)/(b~2)=1的几何意义.本文再给出直线方程y_0y=p(x x_0)的几何意义,以告对此类问题的探讨圆满解决.     

多元函数极值充分条件的证明

一、本文首先指出同济大学数学教研组编《高等数学》(第二版)中,关于多元函数极值充分条件证明有错误。这一错误在樊映川等《高等数学讲义》中也同样存在。在上述《高等数学》(下册)第72页,将函数z=f(x,y)在(x_0,y_0)处全增量写成:△f=f(x_0 h,y_0 k)-f(x_0,y_0) =1/2(Ah~2 2 Bhk Ck~2) 1/2(a_1h~2 2a_2hk a_3k~2)其中A=f_(xx)(x_0,y_0), B=f(xy)(x_0,y_0),C=f(yy)(x_0,y_0), θ_1=f_(xx)(x_0 θh,y_0 θk)-A θ_2=f_(xy),(x_0 θh,y_0 θk)-B θ_3=f(yy)(x_0 θh,θy_0 θk)-Ca_1,a_2,a_3均为当ρ=(h~2 k~2)~(1/2)→0时的无穷小量。该书编者提出以下的论断作为证明的出发点:“当P=Ah~2 2 Bhk Ck~2(?)0时,因为P是     

一类直线方程的统一求法

贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求     

求直线与抛物线交点的一类习题的简捷解法

定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为:     

数学科

例一:已知幂函数图像过点M(2,1/4),则f(0.5)=( )(A)2~(1/2)/2 ;(B)1/4;(C)4;(D)2~(1/2)[评析]这道题考查了函数的基本概念,初等函数的解析表达式,当x=x_0时求函数值y_0=f(x_0),及待定系数法等重要内容.解答本题首先要清楚幂函数的解析式是y=x~n,其次对函数图像的概念:“设函数y=f(x)定义在数集A上,则坐标平面上的点集{(x,y)|x∈A,y=f(x)}称为函数y=f(x)的图像”有明确的认识.一般的函数图像过点M(x_0,y_0).可以理解为x=x_0时y=y_0由已知幂函数     

利用参数t的几何意义巧解距离问题

<正>我们知道,经过点M_0(x_0,y_0),倾斜角为α(α≠π/2)的直线l的参数方程为{x=x_0+tcosα,y=y_0+tsinα(t为参数),其中参数t的几何意义是:|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M_0(x_0,y_0)的距离,若t>0,则动点M在定点M_0的上方;若t<0,则动点M在定点M_0的下方;若t=0,则动点M与     

二元函数可微的充要条件

在现行的《高等数学》教材中,对二元函数的可微性仅分别给出了必要条件和充分条件,而对其可微的充要条件均未涉及。本文试图给出一种二元函数可微的充要条件并证明之,以期抛砖引玉。 命题:二元函数Z=F(X,Y)在点P(x_0,y_0)处可微的充要条件是f(x,y)在点P处的偏导数(f_x~′(x_0,y_0),     

勾股多项式

在整数环Z中,通常把满足不定方程x~2+y~2=z~2的正整数解(x_0,y_0,z_0)叫做勾股数,我们可把这一问题引申到实数域R上的多项式环R[t]中进行讨论,相应地得到了有关勾股多项式的有趣结论。     

二次曲线动弦中点的轨迹方程及应用

定理设二次曲线方程为F(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey +F=0。(1)过平面上任意一定点M(x_0,y_0)(除去曲线的中心)作动直线,与曲线(1)交于P_1、P_2两点,则弦P_1P_2的中点轨迹方程是Φ(x-x_0,y-y_0)÷F_1(x_0,y_0)(x-x_0) ÷F_2(x_0,y_0)(y-y_0)=0(2)并且曲线(1)与曲线(2)同族。其中Φ(x,y)=Ax~2+2Bxy+Cy~2 F_1(x,y)=Ax+By+D F_2(x,y)=Bx+Cy+E 证明:设过定点M(x_0,y_0)的动直线为     

错在哪里

1.湖北咸丰李永贵来稿题:过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的弦;求这些弦的最大值。解设M(x_0,y_0)为椭圆上任一点,由两点间的距离公式可得 |BM|~2=(x_0~2-0)~2 (y_0 b)~2=x_0~2 y_0~2 2by_0 b~2, ①因点M(x_0,y_0)在椭圆上,∴x_0~2=(a~2b~2-a~2y_0~2)/b~2,代入     

关于方向导数的几点注

定义。设函数f(x,y,z)定义于空间区域Ω,P_0(x_0,y_0,z_0)是Ω的一个内点,l是从P_0出发的一条射线,点P是Ω内在l上的任意点,ρ是P与P_0间的距离,如果极限存在,这个极限值称为f(x,g,z)在点P_0沿方向l的方向导数,记作f_l(x_1,y_0,z_0)。这个定义,有的学生理解不透的是,首先函数在定点沿定方向的方向导数是一个数     

二次曲线的一组统一性质

笔者最近得到了二次曲线的一组统一性质,现介绍如下,供读者参考.定理1 点 N(x_0,y_0)不在二次曲线 ax~2+by~2=1上,过 N 任作一直线,交曲线于 A、B 两点,交直线l:ax_0x+by_0y=1于点 M(异于点 A、B),设=λ_1,=λ_2,则λ_1+λ_2=0.证明:如图,设点 A(x_1,y_1)、M(m,n).由条件=λ_1知点 A 分向量所成的比为λ_1.