40 40≠80

40 40=?相信即使小学一年级的学生也足以告诉你一个让数学老师满意的答案:80。从小到大,无论爸爸妈妈还是老师都告诉我们:1 1=2、2 2=4……似乎成为了我们固定的思维模式。然而,当40只猫加上40只老鼠,当40个爸爸加上40个妈妈,当40分钟加上40分钟,答案则截然不同了。40只猫加上40只老鼠,试想一下,猫能和它有着不共戴天之仇的老鼠融洽相处吗?所以最后答案是只剩下40只猫了;40分钟加上40分钟,岂不正是不多不少两节课的时间?因此答案应该是2;而当40个爸爸加上40个妈妈的时候,情况似乎更有趣了,你想想看,按照每一对父母生一个孩子,那不就是有40个孩子了吗?其实,除了在特殊的情况下40 40并不等于80以外,实验也足以给40 40和80之间划上不等号。不信可以试一试把40毫升的酒精加上40毫升的水,结果肯定不等于80,要么77毫升,要么76毫升,要么78毫升,至于为什么嘛,那你得问一下你的化学老师了。答案不是唯一,方法不是一定,凡事都有例外,凡事都没有绝对可言。只要不被惯性思维的条条框框绑住手脚,你就能走得更远,看得更多。(指导老师罗盈)40 40≠80$广州市东风西路小学六年级@黄沂     

逆代、构造巧用柯西不等式

柯西不等式是指：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有（a1b1＋a2b2＋…＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），当且仅当这两组数对应成比例，即a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立，通常我们多用n=2或3时的形式。     

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无意中看到了这样一一组奇怪的等式：1＋1=1，1＋2=1，3＋4=1，4＋9=1，5＋7=1，6＋18=1。怎么可能有这样的等式呢？该不是哥德巴赫猜想的变种吧？有贤者提示：加上单位如何？1里＋1里=1公里，1月＋2月=1季度，3天＋4天=1周，4点＋9点=1点（下午1点），5月＋7月=1年。6时＋18时=1天。哈哈，原来如此。小小的单位把原本的不可能变成了可能。     

五年制小学语文第十册检测题(时间:90分钟)

一、认真听读短文，然后回答问题。 (4分 ) 　　1.这段文字主要告诉了我们什么内容 ? 　　2.作者把“冬去春来”写得非常生动形象，很有艺术性，作者写“冬去”的句子是这样写的：　　写“春来”的句子是这样写的：〔附听读题签〕 　　今年冬天很冷。可是春天来了，冬天就大发脾气，降下了严寒。太阳出来了，冬天夹着一些残雪溜走了。春天打扮得很漂亮，成了一片绿色的海洋。第一只蜜蜂从蜡制的王国里飞出来，去寻那早开的花朵，真正的春天来到了。 二、基础知识及运用。 (6＋ 3＋ 3＋ 2＋ 2＋ 1＋ 2＋ 5=24分 ) 　　1.看拼音，写汉字。 jù…     

一个递推数列中的素数

设{an}^∞ n=1是满足递推关系a1=1，an＋1=a^2n＋4an＋2（n≥1）的数列，本文证明了：当n是偶数时，an仅当n=2时是素数。     

“平方差公式”教学片断

师：我们已学过多项式乘法，现在举行一次微型比赛，如下 6题 (发下题卷 )，看谁做得又准、又快。 1. (3m＋ 2n)(3m－ 2n) 2. (a＋ b)(a－ b) 3. (2a3－ b2)(2a3＋ b2) 4. (－ x＋ 2y)(－ x－ 2y) 5. (－ 4a－ 1)(4a－ 1) 6. (1－ 5ab)(1＋ 5ab) (3分钟后，陆续有人举手，表示做完； 8分钟，全部做完。 ) 　　师： (问第一个举手的学生甲 )你是怎样做的 ?为啥这样快 ? 　　甲：做完前两道题，我就看出，乘出的四项中，总有两项互相抵消，后面题的过程就可略去，只留两项。 　　(教师又问几个“快”的学生，大同小异。 ) 　　师：你们只做了…     

无奈的一天

都说小学时代是快乐的，我倒觉得在幼儿园才是最快乐的，天天无忧无虑。小学里老是考试，还要那永远也做不完的作业，想做那永远也做不完的作业，想起来真烦死人。如果你不信，我就把一天中的功课给摆一摆。题1已知：今天上午第一节要数学考试。求：能否考满分？解：设每道题做半分钟，110道题需用110×1/2=55（分钟）。一节课40分钟，加上课间15分钟，40+15=55（分钟），55-55=0（分钟），根本不可能有检查的时间。数学老师批阅：不是因为题多，而是你的速度太慢，以后要加强速度训练，我这里有一本《口算训练》，你先拿去做吧。题2已知：…     

算法与程序框图的高考命题走向

例1图1是一个算法的流程图,最后输出的W=——。 解循环框的运算是这样的：S=0,T1,S=1^2-0=1：T=1＋2=3,S=30—1：8;r=3＋2=5,S=52-8=17≥10,于是输出W=S＋T=17＋5=22．故本题的答案是22．     

一道中考试题的分析及启示

题目（2011年西宁市高中招生考试数学试卷第22题）： 给出三个整式a2，b2和2ab （1）当a=3，b=4时，求a2＋b2＋2ab的值。     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

求不定方程ax＋by=0特解的几个简便方法

我们研究二元一次不定方程ax＋by＝c（ab≠0，a，b，c都是整数）的特解，不失一般性，只讨论a，b都是正整数的情形.1辅助观察法若方程中的c满足条件c=aq bb'（q，b'为整数），则方程有一待解：作为上述情形的特例，当c=aq时，显然方程有一个待解x0=q，y0=0；当c=bb'时，方程有一特解x0=0，y0=b'上述方法有助于观察法求方程特解，我们称之为辅助视察法，现举例如下：例1求2《X-5勿一72一0的一个整数解.解原方程即为24X-5如一72，因24X3-56X0一72，故得方程一个整数解是X。一3，八一凡例2求3X＋sy一回306的一个特解.解因3X2＋5X260—1306…     

换个方向想问题

数学教学中，运用正向思维解决不了的问题为数不少，学生碰了钉子后往往感叹“山重水复疑无路”，当他把正向思维转变为逆向思维后，就会豁然地出现“柳暗花明又一村”的美景，这就是换个方向想问题的妙处。例1 已知实数a，b，c满足a＋b＋c=0，abc=8，那么＋＋的值（）。（A）是正数；（B）是零；（C）是负数；（D）正负不能确定。答案是（C）。下面证明＋＋< 0。因为＋＋== ，所以，要想证明＋＋< 0，只需证明ab＋ca＋ab< 0。因为abc=8，所以，a,b，c全不为0，从而a2＋b2＋c2 >0。又（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca)=0，所以ab＋…     

3．方程或方程组

1．如图1是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数abcd，则：（1）a、c的关系是：＿＿；（2）当a＋b＋c＋d=32时，a=＿＿．     

“殊途同归”好解题

一道简单的代入求值问题却在老师的组织下,变成了几个同学的＂精彩＂表演,而我们收获的不仅是这个习题的答案,还有更多.请看题目.题目：如果a-3b=-6,那么代数式5-a＋3b的值等于______.老师先安排一个同学（他反应很快,但经常出错）到讲台上讲解：朱同学：a-3b=-a＋3b-a＋3b=65-a＋3b=5＋6=11.他的答案看上去是对的,但是老师让大家帮助挑错,正在我们面面相觑时.     

新课标下的教师、学生和教学效果——《加法结合律》的教学片断与反思

一、教学实录 片段一：（复习加法交换律后） 师：同学们学得那么好．老师讲一个故事给你们听,怎么样？有一天,数学老师在班里出了一道题．要他们算出1＋2＋3＋…＋100的得数。同学们都愁了,这个题目肯定要算到下课才能算出来。可是,过了5分钟．一个小朋友举起了手说小了答案．而且答案非常准确。     

古法今用 解题轻松

名数学家、物理学家高斯在读小学的时候．他的算术教师出了一道题,要同学们计算1＋2＋3＋…＋100的值． ．同学们马上开始把数字逐一相加,而高斯沉思了一会儿。就把答案写出来了．老师一看,答案是5050,一点儿也不错．老师很吃惊,就问高斯是怎么算的．高斯笑着答道：“我找到一个迅速求解的方法：1＋100：101,2＋99=101,…,50＋51=101．这么一来,就等于50个101相加,也就是50&#215;101．等于5050．”     

聚焦判别式与韦达定理

中考知识梳理 1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（0≠0）根的判别式Δ=b2-4ac的性质： （1）当Δ〉0时,方程有两个不相等的实数根： （2）当Δ=0时,方程有两个相等的实数根： （3）当Δ〈0时,方程无实数根．     

一个猜想结论的证明

文[1]提到一个猜想结论：用线性规划知识易得当M1（x1，y1），M2（x2，y2）在直线l：Ax＋By＋C=0的两侧时，有（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）〈0，类比猜想：直线l1：Ax＋By＋C1=0和直线l2：Ax＋By＋C2=0是两条平行直线，点M（x0，y0）是夹在这两条平行直线之间的任一点，则有（Ax0＋By0＋C1）（Ax0＋By＋C2）〈0.[第一段]     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

选择主元解数学题

当一道数学题比较复杂，含有多个变量时，我们可选择其中某个变元为主，其他的变元为辅或当作常量进行研究，从而把多个变元问题转化成为一元 (或者少数元 )问题，这种解决问题的方法称之为主元法。下面通过问题的求解，谈谈选择主元在解题中的应用。 　　一、化简与求值 　　例 1已知 x＋ 3y＋ 5z=0,2x＋ 4y＋ 7z=0,求的值。分析：题设条件中含有 x， y， z三个变量，不妨选择其中 x,y为主元，将 z当作常量，解关于 x,y的方程组得， x=－ ,y=－ z,将 x,y的值代入原式可得所求值是。 例 2已知 x2＋ 2y2=1,求 2x＋ 5y2的最大值和最小值。 　…