两届IMO第5题的解析证明

第39、第40届IMO试题的第5题都是纯几何题,本文给出这两道题的解析证明,并予以推广. 第39届IMO第5题是: 　　设I是ABC的内心,并设ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别相切于点K、L、M.过B点平行于MK的直线分别交直线LM及LK于点R和S.证明:∠RIS是锐角.……     

集锦 第41届IMO两赛题的证明与评注

第 41届 IMO试题已刊载在《中等数学》2 0 0 0年第 4期上 ,笔者对其中的第 1,2两题给出证明与评注 ,供参考 .1　圆 Γ1 和圆 Γ2 相交于点 M和 N.设 l是圆Γ1 和圆Γ2 的两条公切线中距离 M较近的那条公切线 .l与圆 Γ1 相切于点 A,与圆Γ2 相切于点 B.设经过点 M且与 l平行的直线与圆 Γ1 还相交于点 C,与圆 Γ2 还相交于点 D.直线 CA和 DB相交于点 E,直线 AN和 CD相交于点 P,直线 BN和 CD相交于点 Q.证明 :EP=EQ.图 1证明　连结MA,MB,ME,延长 NM交 AB于F.∵ l是⊙Γ1 ,⊙Γ2 的公切线 ,又CD∥l,∴∠ EAB =∠ C=∠ MAB…     

第52届IMO第六题的常规证明

第52届IMO第六题是一道形式简洁、内涵丰富、难度大的平面几何题．     

第36届IMO第5题的背景

题 设ABCDEF是凸六边形,满足AB=BC=CD,DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60°。设G和H是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠DHE=120°。     

第46届IMO第5题的推广

试题：给定凸四边形ABCD，BC=AD，且BC不平行于AD，设点E和F分别在边BC和AD的内部，满足BE=DF，直线AC和BD相交于点P，直线EF和BD相交于点Q，直线EF和AC相交于点尺．求证：当点E和F变动时，△PQR的外接圆经过除点P外的另一个定点．[第一段]     

第50届IMO第5题另解

受文献[1—4]的启发,本文给出第50届IMO第5题的一个另解． 题目求所有的从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数f：对所有正整数a和b,都存在一个以     

第42届IMO第二题的证明与加强

本文给出了第42届IMO第二题的一个简捷证明与一个加强,丰富了权方和不等式的使用功能.     

第39届IMO试题第一题充分性的证明

本刊1998年第5期刊登的第39届IMO试题解答中第一题的充分性是采用反证法完成的,本文给出充分性的直接证明. 题目 在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的     

第45届IMO第5题的简证

题目 在凸四边形ABCD中，对角线BD既不是∠ABC的平分线，也不是∠CDA的平分线，点P在四边形ABCD内部，满足∠PBC=∠DBA和∠PDC=∠BDA．证明：四边形ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是AP=CP。     

两道29届IMO备选题的订正与证明

一文,对备选题16、17作了订正,并给出了证明;     

第41届IMO第 2题的两种解法

第41届IMO第2题: 设a、b、c是正数,且满足abc=1。证明:     

用一个推广的命题证明第50届IMO第6题

题目 设a1,a2,…,an是互不相同的正整数.M是有n-1个元素的正整数集,且不含数s=a1＋a2＋…＋an.一只蚱蜢沿着实数轴从原点0开始向右跳跃n步,它的跳跃距离是a1,a2,…,an的某个排列．证明：可以选择一种排列,使得蚱蜢跳跃落下的点所表示的数都不在集合M中．     

第33届IMO预选题

第33届IMO于1992年7月在莫斯科举行,由俄罗斯主办。本届组委会共征集到试题65道,经初步筛选后,提交领队会议讨论的预选题为22道(先提交了前18题,后又补入4题)。     

第35届IMO预选题

本届预选题一共24题,其中6题已选为考题,现将其余18题刊登出来,供师生们参考,解答将陆续给出。 代数部分(共5题) 1.(美国)设a_0=1994,对任何非负整数n,a_(n 1)     

第37届IMO预选题

1.设a、b、c是正实数,并满足abc=1.证明: ab/(a~5 b~5 ab) bc/(b~5 c~5 bc) ca/(c~5 a~5 ca)≤1,并指明等号在什么条件下成立. 2.设a_1≥a_2≥…≥a_n是满足下述条件的n个实数,对任何整数k>0,有a_1~k a_2~k … a_n~k≥0成立.令p=max{|a_1|,|a_2|,…,|a_n|}.证明:p=a_1,并且对任何x>a_1,均有     

第43届IMO第2题探源

第43届国际数学奥林匹克竞赛第2题为: 1.BC为圆Γ的直径,Γ的圆心为O,A为Γ上的一点,0°<∠AOB<120°,D是弧AB(不含C的弧)的中点,过O平行于DA的直线交AC于J,OA     

第41届IMO第三题简解

题目　设 n≥ 2为正整数 ,开始时 ,在一条直线上有 n只跳蚤 ,且它们不全在同一点 ,对任意给定的一个正实数 λ,可以定义如下的移动 :( 1 )任意选取两只跳蚤 ,设它们分别位于点 A和 B,且 A位于 B的左边 .( 2 )位于 A点的跳蚤跳到点 B右边的点C,且 BCAB=λ.要使跳蚤跳得任意远 ,试确定所有可能的正数 λ.分析　本题是第 41届 IMO中国队得分率最低的一道题 ,仅一人全对 .本题看似容易 ,答案也不难猜测 .但在否定 λ<1n- 1 时却很困难 ,原因是跳蚤初始位置千变万化 ,移动顺序错综复杂 ,如果从细节着手 ,剪不断理还乱 .下面解法从整体着手 …     

第29届IMO候选题解答

1.(保加利亚1) 证:设序列b_0,…,b_n,…使得b_n=pb_(n-1)+qb_(n-2).(n>1)由等式b_n=pb_(n-1)+qb_(n-2),b_(n-1)=pb_n+qb_(n-1),b_(n-2)=pb_(n+1)+qb_n消去b_(n-1)和b_(n+1,得b_(n+2)=(p~2+2q)b_n