一个坐标平移公式及其应用

设l_1:Ax+By+c=0,l_2:Bx-Ay+d=0,则以l_1为x″轴,l_2为y″轴的坐标变换公式是: x″=Bx-Ay+d/A~2+B~2,或y″=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2)x=Ay″+Bx″+c/(A~2+B~2)-(A c/(A~2+B~2)+B d/(A~2+B~2)+c)/(A~2+B~2)~(1/2),y=By″-Ax″+d/(A~2+B~2)~(1/2)-(B c/(A~2+B~2)-A d/(A~2+B~2)+d)/(A~2+B~2)~(1/2)便于记忆,设f(x,y)=Ax+By+c/(A~2+B~2)~(1/2),g(x,y)=Bx+Ay+d/(A~2+B~2)~(1/2),则坐标变换公式是:x″=y(x,y),或y″=f(x,y)     

直线与圆锥曲线相切的充要条件及其应用

关于直线与圆锥曲线相切的充要条件有下述定理: 一、直线l:Ax By=1 (A·B≠0)与椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1相切的充要条件是 a~2A~2 b~2B~2=1。证明:(1)必要性: 由方程组消去y得关于x的一元二次方程 (a~2A~2 b~2B~2)x~2-2a~2Ax a~2(1-b~2B~2)=0。再由它的判别式等于0,得 a~2A~2 b~2B~2=1。 (2)充分性(略) 推论:直线l:Ax By=1与圆x~2 y~2=R~2相切的充要条件是: (A~2 B~2)·R~2=1 利用推论和平移,不难证明直线Ax By C=0     

2006年初中数学竞赛模拟试题

第一试一、选择题(满分42分,每小题7分)1.设方程 x+1/x=2005的两根为 a、b,则代数式 a((1-b~3)/(1-b))的值是( ).A.2004 B.2005 C.2006 D.20072.已知平行四边形 ABCD 中.AB=3,BC=2.∠A=60°,则平行四边形的内接三角形面积小于等于( ).A.6 B.3 3~(1/2) C.(3 3~(1/2))/2 D.6 3~(1/2)3.已知A=(3+5~(1/2))~(1/2),B=(3+5~(1/2))~(1/2),则应有( ).A.11相似文献   

一个不等式的推论及应用

本刊85年1期P12证明了下述不等式: x,y,z∈R,A~1B~1C~1是三角形,则恒有 x~2 y~2 z~2≥2xycosC~1 2yzcosA~1 2zxcosB~1:(*) 本文给出两个推论并举例说明其应用。推论1.x,y,z∈R,ABC是三角形,则 (x y z)~2≥4(xysin~2C yzsin~2A zxsin~2B) 证:在(*)中,置A~1=π-2A,B~1=π-2B,C~1=π-2C,从而A~1 B~1 C~1=π,于是有     

轴对称直线方程的简捷求法

由曲线关于直线的对称变换 定理 曲线f(x,y)=0关于定直线Ax By C=0的对称曲线是:f(x-(2A(Ax By C))/(A~2 B~2), y-(2B(Ax By C))/(A~2 B~2))=0。 （证明略） 由此可知,直线ax by c=0关于直线Ax By C=0的对称直线是:a[x-(2A(Ax By C))/(A~2 B~2)] b[y-(2B(Ax By C))/(A~2 B~2)] C=0,整理之不难得到:     

三个连续数码

(A+B)(B+B)=C~2+C~2+C~2+C~2+A~2+A~2+B~2+B~2 上式中A、B、C是代表三个连续数码中的数,请你把它们确定下来,使等式成立。     

关于亚正定矩阵的两个不等式

文献[1]给出了不等式(1):A、B都是正定矩阵,当A≥B时,A~(-1)≤B~(-1)。 文献[2]给出了不等式(2):对于正定矩阵A、B,2(A~2 B~2)≥(A B)~2。 本文将上述两个不等式推广到亚正定矩阵。 定义1:设A为n阶实距阵,如果对任意都有x>0,则称A为亚正定的。     

关于直线与圆锥曲线的位置的判定

一条直线和一条圆锥曲线的位置可以有相交、相切或相离三种情况。下面给出在给定一条直线方程和一条圆锥曲线的方程的条件下,判定它们的位置关系的定理。定理一已知直线l:Ax+By+C=0和椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1,若a~2A~2+b~2B~2>C~2则l和E相交;若a~2A~2+b~2B~2=C~2则l和E相切:若 a~2A~2+b~2B~2相似文献   

一类矩阵方程的简便解法

对于系数矩阵可逆的矩阵方程AX=B,XA=B及AXB=C,一般线性代数教材中讲述求解方法时通常分两步进行:首先求系数矩阵A的逆阵A~(-1),再用A~(-1)与B相乘得解(或先求出A~(-1),B~(-2)本文兹介绍一种简便解法,不需要先求逆阵,只需对A与B的合并矩阵(类似于增广矩阵)施行初等变换,便可一举获解.     

伴随矩阵几个性质的证明

<正>文[1]对伟随矩阵进行了较为全面的讨论,本文在此基础上给出下述性质的统一证法.性质1 |A~*|=|A|~(n-1)性质2(A~*)~*=|A|~(n-2)A(n>)性质3(AB)~*=B~*A~*性质4(A’)~*=(A~*)’性质5 若A与B相似,则A~*与B~*也相似.首先我们不加证明地给出如下引理(它们均可从有关参考书中找到):引理1 设A是n阶方阵,则存在常数χ_0*当x>x_0时,有|A-x_0E|≠0;引理2 AA~*=A~*A=|A|E;引理3 设A=(a_(ij)(x)),B=(b_(ij)(x)),若存在常数x_o,对所有的x>x_o有A=B_*则对任意的x_*恒有A=B     

对称曲线的方程及其应用

[定理1] 设曲线a:F(x,y)=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称曲线是a’,则a’的方程为 F(x-(2A(Ax+By+C))/(A~2+B~2),y-(2B(Ax+By+C))/(A~2+B~2))=0 (1) 证:设a上任一点P(x_1,y_1)关于l的对称点是M(x,y).则PM的中点((x+x_1)/2,(y+y_1)/2)∈l,且PM⊥l.当A≠0且B≠0时,     

点到直线距离公式的细化及应用

<正>若把A~2+B~2≠0时平面直角坐标系中的向量n=(A,B)叫做直线l:Ax+By+C=0的一个"法向量",那么我们就可按文[1]的思路方法将点到直线的距离公式进行细化.     

矩阵方程简速解法

若给了一矩阵方程AX=C,XB=C或AXB=C,(A、B、C、均可逆)通常解法要分两步、三步以上去解,先是用初等行变换或伴随矩阵法求出A~(-1)、B~(-1),然后再作矩阵乘法运算,这才能求出方程的解。 下面给出一种新解法,在用初等行变换求 A~(-1)(B~(-1))的同时又进行A~(-1)C(CB~(-1)C)的运算,从而两步并一步求出了矩阵方程的解。     

妙用复数推导点到直线距离公式

推导点到直线距离公式可归结为证明如下条件不等式：若Ax By c=0(A~2＋B~2≠0),求证妙用复数推导点到直线距离公式@安振平$陕西咸阳市永寿中学     

关于正定矩阵的迹的不等式

文[1]推广了Bellman.R获得的正定矩阵A、B的迹的不等式:2tr(AB)≤tr(A~2)+tr(B~2)(*);tr(AB)≤[tr(A~2)]~(1╱2)·[tr(B~2)]~(1╱2)(**)。本文在两两相乘可交换的条件下给出更一般的不等式:tr(multiply from i=1 to m (A_i~(ai))≤sum from i=1 to m (a_i)·tr(A_i)(a_i〉0,sum from i=1 to m (a_i)=1);sum from 1-i to m(-tr) multiply from j=1 to k(A_(i-j))≤multiply from j=1 to k[sum from i=1 to m (tr(A_i~(β_i)]~(β~1)(β〉0,sum from j=1 to k(β=1))。     

关于根式(m±n~(1/2))/(1/2)的化简

形如(m±n~(1/2))~(1/2)的根式,其中m、n是整数,且n不是完全平方数(即对任何整数k,有n≠k~2);取“-”号时,m~2≥n。这类根式中有能化简为两个二次根式之和,即A~(1/2)±、B~(1/2)形式的,其中A和B为正有理数。本文所说的化简均指化简为这种形式的。     

轴对称坐标变换公式的另一种证法

已经有很多文章介绍了轴对称坐标变换公式{x′=x-2A·(Ax By C)/(A~2 B~2) y′=y-2B·(Ax By C)/(A~2 B~2) (1)其中(x,y)和(x′,y′)是关于直线Ax By C=0对称的两个点。从公式(1)可以看到,对称点(x′,y′)的坐标与点(x,y)到直线Ax By C=0的距离有联系,这就容易联想到用点到直线的距离来推导公式(1),从而使公式(1)具有更明显的几何意义。本文就上述思路,给出公式(1)的一个证明方法。在证明之前,先介绍下面两个命     

“凯旋归来”有语病吗

笔对以“重复”为由说“凯旋归来”有语病是不大以为然的。要说“重复”的话，那成语（或惯用语）中以语意重复的方式构成的例子可真太多了。且不说“难解难分”、“推波助澜”、“呼朋唤友”这一类明显重复的语例，单就和“凯旋归来”结构相同的就有“停滞不前”、“从容不迫”、“参差不齐”等常用成语、熟语，其前后两部分不也是语义重复吗？其实，汉语四音节成语允许语意重复。     

以任意实数为条件的问题解法探讨

几乎所有的数学复习资料和习题集中,都有这样一类习题:“对于任意实数a,…”,“若…对于任意实代入上式得f(-x)=f(x). 故f(x)为奇函数. 例7.设a、b、A、B∈R,且 f(θ)=1-asinθ-bcosβ-Asin2θ-Bcos2θ, 若对于所有的实数θ恒有f(θ)≥0,求证: A~3+B~2≤1,a~2+b~2≤2. 证明,引入辅助角α、β,使得a/r=cosα,b/r=sina,A/R=cosβ,B/R=sinτ,其中r=(a~2+b~2)~(1/2),R=(A~2+B~2)~(1/2).则由f(θ)≥0得1-rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(1) 由于(1)式对任何实数θ都成立,则对于π+θ也成立.即1-rsin(π+θ+α)-Rsin(2x+2θ+β)≥0. 即1+rsin(θ+α)-Rsin(2θ+β)≥0.(2) (1)+(2)得2-2Rsin(2θ+β)≥0.(3) 由于(3)式对任何实数日亦成立,则对于2θ+β=π/2也成立,即2—2R≥0. ∴ R≤1,即(A~2+B~2)≤1,故A~+B~2≤1. 用同样的方法可证a~2+b~2≤2(略). 四、求导法如果关于任意变量的解析式恒等于一个常数,就可以对这个恒等式两边求导,然后利用零解析式的特性求其他的条件变量. 例8.sin~2θ+sin~2(θ+α)+sin~2(θ+β)=3/2对任意的实数θ都成立,求α、β的值(0≤α<β≤π). 解:题设等式两边对口求导得 sin2θ+sin[2(θ+α)]+sin[2(θ+β)]≡0, 即(1+cos2α+cos2β)sin2θ+(sin2α+sin2β)cos2θ≡0, 由此得解得α=π/3,β=(2π)/3。     

近义成语的辨析

成语的运用和理解是高考必考内容,尤其是近义成语,学生最易混淆,辨析此类成语的关键是分清细微差别,掌握其运用规律,结合具体语言环境和语法功能来理解。下面比较几组近义成语,略见一斑。一、不谋而合不约而同辨析:这两个成语结构相同,意义相近,都有“偶然一致”的意思,其区别在于:1、适用对象不同。“不谋而合”多指见解、计划、理想等相同;“不约而同”多指(不同人的身体各部分)活动的相同,侧重动作。2、“不约而同”有动作、活动“同时”发生的意见,而“不谋而合”无此意思。3、语法功能不同。“不谋而合”一般在句中作谓语,“不约而同”…