“对偶法”在三角解题中的应用举例

众所周知,是三角等式中典型的“对偶式”,它蕴含的“对偶”思想给了我们很大的启示,本文拟用设立“对偶式”的方法来巧解几例教材中的三角题。 例1 (1)用sinhθ表示sin3θ;(2)用cosθ表示cos3θ,(高中《代数》(必修)上册P,175;其中(2)中的结论选为88年高考题)     

对△ABC内几个恒等式的逆向探究

高中《代数》(必修本)上册第三章《两角和与差的三角函数》中有下面几道题: 1.在△ABC中,求证:sinA sinB sinC=4cosA/2cosB/2cos2/C。(第193页例5) 2.在△ABC中,求证:     

一道课本习题的应用

高中《代数》(必修)上册P198有一习题为三角恒等式:     

从一道习题的证法谈起

题目：设a、b、c是△ABC的三边长，此题是江苏《中学数学》93年第9期中学生课外基本练习题中的一题，原文用函数的单调性给予了证明，显得比较繁，下面用课本一例的变形给出简洁的证明．0时取等号．此定理是现行高中《代数（必修）》下册P12例7的变形，它有着广泛的应用，先用此定理证明上面一题，然后再举几例供参考．证：由a、b、c是△ABC的三边长，用上述方法易证下面几题：例1设x、y∈R，且0≤x≤1，0≤y≤1，求证：y/(1 x) x/(1 y)≤1（1988年列宁格勒数求证y/(1 x) x/(1 y)≤1(1988年列宁格勒数学奥林匹克试题的第25题）．证由对…     

一个反三角恒等式的新证法

高中《代数》上册(必修)第282页例2,求证:arctgx arcctgx=π/2。 本题有多种证法,下面笔者给出一个新的简洁证法。     

两个常用公式及其应用

高中《代数》上册(必修本)P_(214)上有这样两道习题sin(α β)sin(α-β)=sin~2α-sin~2βcos(α β)cos(α-β)=cos~2α-sin~2β上述两题结构整齐,形式优美,易于记忆,应用甚广.应用它们解有关三角题能收到化繁为简,化难为易,快速简捷之功效,建议作为常用公式加以记忆,下面分八个方面举例说明其应用.     

课本中一道反三角函数恒等式的多种证法

高中(代数》上册(必修本)第220页例2,求证:arc tgx arc ctgx=π/2。 这个等式的证明有多种方法,具体证法如下。 证法一 根据诱导公式及反余切的定义得     

挖掘例题潜能一例

一个好的例题,不仅是做习题临摹的范本.而且对思维训练和方法的灵活运用,都会给人启示. 然而,例题蕴含的潜在功能,必须靠教师挖掘.高中《代数》上册P.202第8题: (1)已知A B=π/4,求证:(1 tgA)(1 tgB)=2;     

利用课本习题巧证一个不等式

题若正数a，b，c满足a b c=1，，求证本刊1994年第7期P．46上，田正平老师用逐步调整法证明了此题．这里，笔者给出两种简洁证明，证1因对任意实数a，b，c，d有（高中代数课本下册P．14练习第2题）因此，原不等式成立．证2因对任意复数z_1，z_2有（高中代数课本下册P．197习题第6题）（i为虚数单位）因此，原不等式成立．最后，我们指出：原题的条件可放宽为“a、b、c，为满足a b c=1的实数”．利用课本习题巧证一个不等式@宋庆$江西永修县一中     

考题探源

1.高中《代数》上册第62页例4为:解方程 仅就数值改动,即得1993年全国高考文科第(25)题:解方程 2.高中《代数》上册第194页例7(2):化下列各式为一个角的一个三角函数的形式,得 令a=200°,得 由此立即编拟出1993年全国六省新高考文科第(24)题: 求tg20° 4sin20°的值.     

一石激起千层浪：一道课本复习题的引伸及应用

高中课本《代数》下册(必修)P_(32)复习参考题五第5题“已知 abc∈R~ ,且两两不等,求证2(a~3 b~3 c~3)>a~2(b c) b~2(a c) c~2(a b).”本文将此不等式作完善引伸,进而由此推证出一些著名不等式及竞赛不等式.     

对课本中一道习题的挖掘

对课本中一道习题的挖掘□金昌市一中张高中《代数》上册（必修）１９７页第４题的第（２）题是：证明恒等式ｓｉｎａ＋ｓｉｎ３ａ＿ｓｉｎ５ａｃｏｓａ＋ｃｏｓ３ａ＋ｃｏｓ５ａ＝ｔｇ３ａ．此题尽管被编排在三角部分,但是,她是一道集三角、数列、复数等知识于一身的...     

三倍角公式另一形式及应用

高中代数(必修本)上册P175例2是三倍角的正弦及余弦公式.若将其进一步推导则会得到另一个公式形式     

某道不等式练习题的多方位探索

高级中学课本《代数》下册(必修)P14练习第2题是：求证：ac+bd≤√a^2+b^2·√c^2+d^2．本题看似十分平常，实则隐含着丰富的内涵，具有很高的探索价值，本文就有关方面作一点肤浅的探索，供读者参考．     

用等比定理巧解三角题

等比定理是指:a/b=c/d=e/f=…(?)a c e …/b d f …=a/b.在三角问题中,若能根据式子的结构特征,恰当运用等比定理,常能避免复杂的公式变换,巧妙获得结果.一、证明三角恒等式(或条件等式)例1求证sinα cotα/tanα cscα=cosα.简析:cosα=sinα/tanα=cotα/cscα=sinα cotα/tanα cscα例2求证1 secα tanα/1 secα-tanα=secα tanα.     

对中学数学教材一例题的补充

对中学数学教材一例题的补充羊兰高中《代数》（必修）上册第１７０页例３；设ｔｇα，ｔｇβ是一元二次方程的两个根，求的值。原解：在一元二次方程由一元二次方程根与系数的关系，得由题设，故，代入得此题应分两种情况求解。因时，不存在，无意义。对中学数学教材一例...     

一个不等式的两种几何解释

题目 已知a,b,m仨R_ ,并且aa/b。 这是高中课本《代数》(必修)下册第12页例7,书上用“分析法”证明了此题。本文给出该不等式的两种几何解释。     

关于一个复数命题真假判定的异议

新编高中《代数》（必修）教材下册P220复习参考题八第2题中，要求判别命题“复数集C与复平面内的所有向量的集合一一对应”的真假，并说明理由．此题原出现在高中《代数》甲种本第二册P236上．对于此题的解答，无论是原来由某些省编的《教参》还是现由人民教育出版社数学室编的《教参》（1990年1l月版P242）都一致解答如下：“假，因为实际上是复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量的一一对应．”笔者认为这一解答值得商榷，理由如下．首先让我们看看“复平面内所有向量的集合”是指的什么．必修本(P184）及甲种本（P194)都规定：“…     

高中《代数》中几个求证题的归纳推广

高中《代数》中几个求证题的归纳推广临洮中学谢立亚高中课本《代数》下册中有如下求证题：１．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３；（第７页例２）２．已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，并且ａ≠ｂ，求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３；（第７页练习题３...     

等比定理在数学解题中的应用

代数、几何,三角中有一类题目,若利用等比定理来解,则可以使解题过程大大简化,请看下面数例: 例1 若(x(y+z-x))/(log_αx)=(y(z+x-y))/log_αy=(z(x+y-z))/(log_αz)。求证:y~zz~y=z~xx~z=x~yy~x。证明:∵(y+z-x)/((1/x)log_αx)=(z+x-y)/((1/y)log_αy)=(x+y-z)/((1/z)log_αz)。两次运用等比定理得