两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

用拉格朗日乘数法解决一类与凸函数有关的多元函数条件最值

<正>1凸函数的定义及性质凸函数的定义当x∈区间I时,若函数f(x)满足f″(x)≤(≥)0恒成立且f″(x)=0的解集是孤立的点集,即f'(x)是减(增)函数,则f(x)是I上的上(下)凸函数.例如,f(x)=xα(0<α<1,x>0),g(x)=logax(a>1,x>0),h(x)=sinx(0≤x≤π)都是上凸函数.凸函数的性质1函数f(x)是区间I上的上凸函     

证明(或)恒成立的几种常见思考方法

正一般来说,欲证不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x))在区间I上恒成立,则可构造函数h(x)=f(x)-g(x),通过讨论h'(x)在区间I上的符号情况,判断出h(x)的单调性,然后由函数h(x)在区间I上的一个初始值,证得不等式成立.但有时由于方程h'(x)=0的根不好求,或者利用初等方法根本求不出来,于是我们可以分别考虑f(x)与g(x)的最值来完成.本文就证明f(x)g(x)(或f(x)g(x))恒成立的几种常见思考方法梳理如下.1.构造函数h(x)=f(x)-g(x),判断函数h(x)的单调性,给出h(x)的一个初始值     

七类求函数解析式的常用方法

一、拼凑法形如f[h(x)]=g(x)的结构,通过对g(x)进行观察、分析、变形,转化为关于h(x)的多项式,用x替换h(x)即得函数的解析式.例1已知函数f(x)满足:f(x-x1)=x2+x12,求f(x).解∵f(x-x1)=x2+x12=(x-1x)2+2,∴设x-x1=t,则有f(t)=t2+2.∴f(x)=x2+2.二、换元法形如f[h(x)]=g(x)的结构,可设h(x)=t,解出x,代入g(x)进行换元来解,以达到求f(x)的目的.例2已知f(11+-xx)=x(x≠-1),求f(x).解设1-x1+x=t,则x=11+-tt.∵f(t)=11+-tt,∴f(x)=11-+xx(x≠-1).三、待定系数法在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写成一般形式,其中系数待定…     

Selmer多项式不可约性的一个新证明

由n次多项式f(x)的全部根α1,α2…,αn ,构造一个关于根的对称多项式S(f)=n∑i=1(αi-1/αi) ,如果多项式f(x)在(◎)[x]可以分解为多项式g(x)h(x) ,利用恒等式S(f)=S(g)+S(h) ,得出多项式g(x)的可能形式,并利用上述方法给出Selmer多项式不可约性的一个统一证明.     

一类有关函数不等式问题的探究

正题1设函数f(x)1=lnx+1/x,已知xf(x1)=f(x2),x2x10.求证:x1+x22.参考答案的思路是用函数的单调性证明x1+x22,主要步骤有:一是引入函数g(x)=f(2-x)与h(x)=f(x)-g(x),并结合导数研究其单调性;二是证明当x1时h(x)0即f(x)g(x);三是结合已知并根据以上两步推出x1+x22.详细过程类似于     

也谈由函数方程确定的周期函数

读本刊1991年第五期《由一类函数方程确定的周期函数》》,深受启发,特再给出几种由函数方程所确定的周期函数,权作该文的补充。定理1 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+α)+f(x+β)=k (1) (α、β、k均为实常数,α≠β),则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。证明由(1)可知,对(?)x∈R有 f(x+a)=k-f(x+β) 将上式中x换成x-a,则有 f(x)=k-f(x+(β-α)) 反复使用上式,则有 f(x)=k-[k-f(x+2(β-α))] =f(x+2(β-α)) 同理可证 f(x)=f(x-2(β-α)) 则f(x)是以2|α-β|为一个周期的函数。定理2 若函数f(x)(x∈R)对任x满足方程 f(x+a)+f(x+β)=2f(x+(α+β)/2)cosmπ/n(2) (其中α≠β,n为非1自然数,m为非零整数,且n、m     

用几个特殊函数构造零点问题中的辅助函数

在高等数学的很多问题,特别是中值命题中,常通过构造辅助函数的方法达到解决问题的目的,而辅助函数往往与题设中的已知函数密切相关,也就是说,辅助函数的构造离不开已知函数,如拉格朗日定理证明中的辅助函数φ(x)=f(α)f(b)b--fα(α)(x-α)与柯西定理中的辅助函数F(x)=-f(α)-gf((bb))--fg((αα))[b(x)-g(α)]均由题设中函数f(x)或g(x)及其端点的函数值构成。在中值命题中,还有较广泛一类零点问题需用已知函数的导数f‘(x)、ex等特殊函数去构造辅助函数,使命题的假设与结论之间搭建更为便捷的桥梁,从而达到化难为易的目的。本文就几个常用特殊函数对辅助函数的构造予举例说明。1用已知函数f(x)的导数f‘(x)构造辅助函数例1若函数f(x)在区间[α,b]上具有二阶导数,f(x)与f‘‘(x)同号,且f(x)在任何小区间上不恒为零,则f(x)或f‘(x)在[α,b]上至多有一个零点。分析:由结论,可考虑构造辅助函数F(x)=f(x)f‘(x),对其求导,便有f‘2(x)+f‘‘(x)f(x)。由已知条件知,f(x)在[α,b]可导,且x∈[α,b],F‘(x)=f‘2(x)+...     

函数解析式求解面面观

一、直接法例1已知f(x)=x2(x≥0)x(x<0),g(x)=x(x≥0)-x2(x<0),则x<0时,f[g(x)]为()(A)-x(B)-x2(C)x(D)x2解:当x<0时,g(x)=-x2<0,所以f[g(x)]=g(x)=-x2,选(B).求复合函数的解析式,先求内层函数,再求外层函数,另外,分段函数要注意变量的范围.二、换元法例2已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t则cosx=1-t,-1≤1-t≤1,所以0≤t≤2.所以f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2)所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)三、配方法例3f(x-1x)=x2+x12.求f(x).解:f(x-1x)=x2+x12=(x-1x)2+2,所以f(x)=x2+2.四、待定系数法例4已知f(x)=3x-1,f[h(x)]=g(x)=2x+3,h(x)为x…     

函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的应用

通过对函数条件f(α+x)=f(α-x),f(x+α)=f(x-α)的讨论,以结论的形势给出了它们所对应的函数性质,并辅以一定例子说明它们的应用.     

高一数学综合检测

一、选择题1.设sinα=-35,cosα=54,那么下列的点在角α的终边上的是().A.(-3,4)B.(-4,3)C.(4,-3)D.(3,4)2.下列四组函数f(x)与g(x),表示同一个函数的是().A.f(x)=sinx,g(x)=xsxinxB.f(x)=sinx,g(x)=1-cos2xC.f(x)=1,g(x)=sin2x+cos2xD.f(x)=1,g(x)=tanxcotx3.tanx+tany=0是tan(x+y)=0的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到y=sin2x-π3的图象,只需将y=sin2x的图象().A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π5.若α、β∈0,π2,则().A.cos(α+β)>cosα+cosβB.cos(α+β)>s…     

用几个特殊函数构造零点问题中的辅助函数

在高等数学的很多问题,特别是中值命题中,常通过构造辅助函数的方法达到解决问题的目的,而辅助函数往往与题设中的已知函数密切相关,也就是说,辅助函数的构造离不开已知函数,如拉格朗日定理证明中的辅助函数(δ)(x)=f(α)(f(b)-f(α))/(b-α)(x-α)与柯西定理中的辅助函数F(x)=-f(α)-(f(b)-f(α))/(g(b)-g(α)[b(x)-g(α)]均由题设中函数f(x)或g(x)及其端点的函数值构成.……     

抽象函数的解题策略

抽象函数,其性质常常是隐而不露.但就其类型,最基本的有以下几种:(1)线性函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)+f(y);(2)指数函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)f(y);(3)对数函数抽象函数型,如f(xy)=f(x)+f(y)(4)三角函数型抽象函数,如f(x+y)f(x-y)=2f(x)f(y)(余弦函数型),f(x±y)=f(x)g(y)±f(y)g(x)(正弦函数型),f(x±y)=f(x)±f(y)/1-+f(x)f(y)(正切函数型).只要善于借用相应函数的相关性质,就     

一个由高考题得出的结论拾遗及应用

1994年全国高考数学试卷中有这样一道题:定义在(-∞,+∞)上的任意函数.f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( ).     

用“两边夹”定理要注意“恒”字(高二、高三)

数列极限中有著名的“两边夹”定理: 若an≤bn≤cn,且liman=limcn=A,则limbn=A. 由于数列是一种特殊的函数,上述定理可以移植到函数当中: 如果函数f(x)在区间D上满足g(x)≤f(x)≤h(x),且g(x)≤h(x)在区间D上恒成立.若存在x0∈D使g(x0)=h(x0)=A,则f(x0)=A. 不妨将这一命题称为函数中的“两边夹定理”,这个十分简明的结论,在高中数学中有着非常重要的作用,但在具体应用中要注意“恒”成立这一条     

“希望杯”中的创新题8则(高一)

1.对于函数f(x)与g(x),规定:当f(x)≤g(x)时,f(x)※g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)※g(x)=g(x).已知f(x)=3-x,g(x)=(2x 5)(1/2),求f(x)※g(x)的最大值. (第8届97年高一2试) 2.在xoy平面内,如果一条直线上只有一     

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

用单调性求解一类特殊的最值问题

对于任意的函数f(x),g(x)(xε R),令p(x)=f(x)+g(x),s(x)=f(x)g(x),当p(x)(s(x))为定值时,s(x)(p(z))的最值问题可以通过单调性来求解.     

再谈函数的对称性与周期性的联系

本刊2001年第5期蒋贤亮先生关于《函数图像的对称性与周期性的联系》一文,受益匪浅,但也感到文意未尽.因为蒋先生仅讨论了函数自身的对称性与周期性的联系.本文将对“两个函数的对称性与周期性的联系”展开讨论,既可作为蒋先生一文的补充,也为解决高考这一热门话题提供理论依据. 定理1 设两函数f(x)和g(x)均是定义在R上的函数(下同),则它们的图像关于点P(a,b)对称的充要条件是f(x)+g(2a-x)=2b;关于直线x=α对称的充要条件是f(x)=g(2a-x). 作代换可知,等式f(2a-x)十g(x)=     

f'(-x)究竟表示什么

1.引例f(x)和g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的可导奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'x)>0,且g(-3)=0,解不等式.f(x)g(x)<0.分析:f'(x)g(x)+f(x)g'(x)是函数h(x)=f(x)g(x)的导数,据此可知h(x)在(-∞,0)上单调递增.由题意,h(x)为奇函数.又g(-3)=0,