一道习题的引申与推广

１引子许多书上都列有这样一道练习题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ,那么对 ｘ∈Ｒ,恒有 ｆ（ｘ ３） -３ｆ（ｘ ２） ３ｆ（ｘ １） - ｆ（ｘ）＝０（１）解答该题似乎无甚奇妙之处 .然而只要我们仔细观察（１）的结构特征 ,就会发现该习题改写成下面问题 :设 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ ,ｎ为自然数 ,ｇ（ｘ,ｎ）＝Ｃｎｎｆ（ｘ＋ｎ）＋Ｃｎｎ－１ｆ（ｘ＋ｎ－１）（－１）＋ … ＋Ｃｎ１ｆ（ｘ＋１）（－１）ｎ－１＋Ｃｎ０ｆ（ｘ）（－１）ｎ （２）试求 ｇ（ｘ,３）的值 .自然提出 :（Ａ）当 ｆ（ｘ）＝ａｘ２ ｂｘ ｃ时 ,…     

几类基本图的整性

特征值均为整数的图称为整图,本文研究了几类基本图的整性,证明了圈图Ｃ３,Ｃ４,和Ｃ６是整图,Ｃｎ（ｎ）６是整图的必要条件是ｎ＝８ｋ或ｎ＝１６ｋ＋１２（ｋ∈ｎ）路图Ｐｎ（ｎ〉１）中唯有Ｐ２的整图,对Ｖｎ∈Ｎ,完全图Ｋｎ和完全二部图Ｋｎ,ｎ均是整图。     

n—星形图的广播距离

广播是信息在网络上的传播过程，本文研究信息ｎ－星形图上的广播距离，得到其上界是２ｎ（ｌｏｇｎ）－２＾（ｌｏｇｎ）＋１＋１，下界是（ｌｏｇｎ！）。     

k阶等差数列的求和法则

ｋ阶等差数列的求和法则江苏省新沂市教师进修学校贾玉友六年制重点中学代数课本第二册Ｐ．７７第１５题的第一小题为：用数学归纳法证明１×２×３＋２×３×４＋３×４×５＋…＋ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）＝１４ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）．通过观察，很容易发现，...     

关于布尔矩阵行空间基数的连续分布状况

设Ｂｎ表示所有的ｎ阶布尔矩阵的集合,Ｒ（Ａ）表示Ａ∈Ｂｎ的行空间,｜Ｒ（Ａ）｜表示Ｒ（Ａ）的基数,设ｍ,ｎ,ｋ,ｒ为正整数,本文证明了（１）当ｎ≥１３为奇数且ｎ＋５２≤ｋ≤ｎ－３时,对于任意ｍ∈［２ｋ,２ｋ＋２ｎ－ｋ＋１＋２ｎ－ｋ＋…＋２１＋２０］,存在Ａ∈Ｂｎ,使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ;（２）当ｎ≥１４为偶数时,对于任意ｍ∈［２ｎ２＋２＋２ｎ２＋１,２ｎ２＋２＋２ｎ２＋１＋２ｎ２－２＋２ｎ２－３＋…＋２１＋２０］或［２ｎ２＋２＋２ｎ２＋１＋２ｎ２－１＋２ｎ２－２＋…＋２ｎ２－ｒ,２ｎ２＋２＋２ｎ２＋１＋２ｎ２－１＋２ｎ２－２＋…＋２ｎ２－ｒ＋２ｎ２－ｒ－２＋２ｎ２－ｒ－３＋…＋２１＋２０］（其中１≤ｒ≤ｎ２－４）,都存在Ａ∈Ｂｎ,使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ     

“sinnA+sinnB+sinnC”的最小值

ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的下界就一般△ＡＢＣ来说是０,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的最小值问题． 当ｎ＝１或２的时候,易证所求的下界为２,本文着重于ｎ≥３的情况． 设ｙ＝ｓｉｎｎｘ,则ｙ’＝ｎｓｉｎｎ－１ｘｃｏｓｘ,再求导得： ｙ”＝ ｎ（ｎ－１）ｓｉｎｎ－２　ｘｃｏｓｘ－ｎｓｉｎｎｘ ＝ｎｓｉｎｎ－２ｘ［（ｎ－１）ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ］． 当 ｔｇｘ≤ 　　　　　ｙ”≥０,此时ｙ＝ｓｉｎｎｘ是凸函数,应用有关凸函数性质可知：（１）当ａｒｃｔｇ　　…     

一个不等式的加强与巧证

文〔１〕给出了不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的证明．文〔２〕给出了１＋１２２＋…＋１ｎ２＜１３１４ｎ－１＋５３的证明．下面我们将给出不等式１＋１２２＋…＋１ｎ２＜２的一个加强式，然后利用放缩法巧妙地给出它的证明．加强式　设Ｓｎ＝１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２，则Ｓｎ＜１１９７２，且ｌｉｍｎ→∞Ｓｎ＞１１６７２．证　１＋１２２＋１３２＋…＋１ｎ２＝４９３６＋１４２＋１５２＋…＋１ｎ２＜４９３６＋１３×５＋１４×６＋…＋１（ｎ－１）（ｎ＋１）＝４９３６＋１２１３－１５＋１４－１６　＋…＋１ｎ－１－…     

杨辉三角在三维空间的推广

由二项式（ａ＋ｂ）ｎ（ｎ＝１，２，３……）展开式中的系数所构成的“杨辉三角形”里蕴藏着许多组合恒等式，还有着许多不为一般人熟悉的其他的性质和作用。 由（ａ＋ｂ＋ｃ）ｎ（ｎ＝１，２，３，４……）三项式展开式中的系数也可以构成一个“三角”，不过它是三维空间的“三维锥体”。为了方便记述我们用１Ｃｋｎ（ｋ，１是非负整数，且０≤１＋ｋ≤ｎ）表示这样当ｒ＝０时，恰为二项式系数。三项式定理：（ａ＋ｂ＋ｃ） 若将其系数按ａ，ｂ，ｃ的幂次升降规律排起来为： 这一“三角”只是三项式（ａ＋ｂ＋ｃ）”展开式中系数的“第ｎ…     

关于Klambauer不等式的加强

给出了Ｋｌａｍｂａｕｅｒ不等式：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／４ｎ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／２ｎ）（ｎ＝１,２,．．．）的一个加强：（１＋１／ｎ）＾ｎ（１＋１／（１＋１／√１＋ａ）＾ｎ＋１／√１＋ａ）〈ｅ〈（１＋１／ｎ）ｎ（１＋１／２ｎ）（０≤ａ〈ｅ（３ｅ－８）／（４－ｅ）＾２,ｎ＝１,２,．．．）     

正项等差数列的一个有趣性质

９９８年全国高考数学文理科压轴题中所要证明的不等式是：对于一切大于１的自然数ｎ,求证：（１）（１＋１３）（１＋１５）…（１＋１２ｎ－１）＞２ｎ＋１２;（２）（１＋１４）（１＋１７）…（１＋１３ｎ－２）＞３３ｎ＋１２．我们将不等式（１）、（２）的左端转...     

关于图的优美性的若干结果

研究非连通图CmUPn的优美性，证明了C2n＋1UPn．C4aU2n＋2，C4mUP2n＋3，C4a-1UP2n＋2，C4m-1UP2n＋1，C8n-1UP2m＋3,C8mP2m＋3,C8m＋1P4m。是优美图，还证明了一类细分图是优美图．得到了相应的优美标号．     

一类2-连通无爪图的最长圈

讨论了一类2-连通无爪图的最长圈,若G是2-连通的无爪图,C是G的最长圈,G的阶为n,并且ξ(G)<1/2λ(G),则C(G)≥2/3(n+6).     

特殊子图的计数

计数问题是图论研究的一个课题,图的一些特殊子图的计数确定了图的着色性;在这里使用组合数学的方法,估计了二部图K（u,v）-A和三部图K（n＋a1,n＋a2,n＋a3）-A的三角形子图和没有弦的四边形子图的计数,在三部图中比较了这些特殊子图的计数。     

完全二部图的边优美性

研究了完全二部图及其局部边迁移图的边优美性.主要结果有:当(m,n)=1时,奇阶完全二部图K_(m,n)为边优美图的充要条件是m+n|mn+1.     

D_n并图的补图的色唯一性

本文讨论了Pn 与Dn 之间的整除关系 ,由此证明了 :当ni≠ 3k +2 ,ni≠ 5k +3且ni为奇数时 ,(k =1,2 ,… ,i=1,2… ,r) ,则Dn1∪Dn2 ∪…∪Dnr的补图是色唯一的     

亚完备二分图的算术性

图的算术性是图的一个重要性质,有广泛的应用．文章给出亚完备二分图的算术标号。并证明亚完备二分图是（k,d）-算术图．这一结果丰富了图的算术性理论,也为研究其它图类的算术性提供了有价值的参考．     

关于类似广义Dedekind和S_2(h,m,n,k)的几个恒等式

利用初等方法研究了类似广义Dedekind和S2(h,m,n,,k)的算术性质.借助Bernoulli多项式及三角恒等式,探究了S2(qh,m,n,qk)与S2(h,m,n,k)的关系,以及当P为奇素数时∑S2(h+bk,m,n,pk)与S2(h,m,n,k)和S2(ph,m,n,k)的关系,提出并证明了两个恒等式,推广了有关文献的结论.     

Covers with Less than 10 Moduli and Their Applications *

本文得到了全体适合ｋ＜１０的整数环上覆盖系｛ａｓ（ｍｏｄｎｓ）｝ｋｓ＝１,事实上算法对所有正整数ｋ都是有效的．作为应用我们给出一个较为一般的定理,得到若干每项均为奇数的（无穷）算术级数（例如１３３０３１９＋３４６７２９１１０Ｚ）,其中所有项都不能表成一个２的幂次与一个奇素数之和．另外,我们对２ｎ＋ｃｐ（ｃ为常数,ｐ为素数）型整数也获得了一些有趣的结果．     

{P4，C4，S4）——分解

本文给出了完全图Kv，完全二部图Km,m及完全多部图Kr(t)存在{F1,F2}——分解的充分必要条件，其中F1,F2是{P4,C4,S4}中任意两图。     

On a max-type difference equation

1 Introduction In 1996, Ladas [1] proposed the conjecture that every positive solution of 0 111nmax{ , , , k}n n n kxA AA = x x ? L x?, n = 0, 1,…, (1) is eventually periodic when at least one of the parameter Ai, as well as all initial conditions x?k, …